Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

14. Докажите или опровергните Утверждение 6 из п.4 в §3 ТЧ.

Утверждение 6. Л-нейтрал (п-нейтрал, д-нейтрал) сократим слева (соответственно, сократим справа, сократим двухсторонне) тогда и только тогда, когда его левый (соответственно, правый, двухсторонний) аннулятор – пустое множество.

15. Докажите Утверждение 8 из п.4 в §3 ТЧ.

Утверждение 8 (Достаточные условия несократимости группоида)

1)Если в группоиде есть ланэл (панэл, данэл), то этот группоид не является сократимым слева (соответственно, сократимым справа, сократимым двухсторонне).

2)Верна ли обратная импликация?

Доказательство. Докажем это утверждение для случая, когда группоид (1) имеет ланэл. Обозначим его через алан. Сказанное озна- чает, что верно следующее соотношение:

В ней истинна посылка, так как в соответствии с соотношением (I) верно равенство

аланТy = аланТz = алан ,

но ее заключение, в силу неравенства (II), ложно. Таким образом, элемент алан не является лрэлом группоида (1), а посему последний не является сократимым слева.

Предложения, связанные с сократимостью справа и двусторонней сократимостью, доказываются аналогично.

2) Утверждение, обратное к Утверждению 8, выполнимо и опро-

вержимо [14, стр.52, Определение].

Примечания

1)С этимологией слова «идемпотентность» можно познакомиться, например, в [6, стр.188, ст. «Идемпотентность»].

2)Переносы представляют собой отдельные виды частных под- функций [Гл.ХII, §1, п.5] бинарных функций.

171

3)Прилагательные «левый» и «правый» проистекают от суффикс- ной формы записи изображений большинства бинарных функций.

4)Слово «ряд» служит переменной с экстенсионалом {строка, столбец} [13, стр.44].

5)Об экспоненциальной записи операций см. [2, т.5, стр.953, ст. «Экспоненциальная формула»].

6)О понятии «признак» и «свойства» см. [6, стр.477, ст. «Признак»].

§4. Задачи анализа и синтеза группоидов

Общая постановка задач анализа и синтеза для математических объ- ектов и подходы к их решению описаны в пособии [16, стр.65–67]. Там же приведен пример решения этих задач для n-графиков [16, стр.23, Определения 1 и (1)]. В работе [17, стр.47–49] представлена реализация такого рода проблем для соответствий [17, стр.13, определение (1)], а в труде [19, стр.98, п.1] – для одноместных функций, в частности од- номестных операций (уноидов [9, стр.348–349]). В данном параграфе мы попытаемся раскрыть некоторые стороны перечисленных задач для двухместных операций (группоидов [16, §2, п.3.2]).

1. Анкета группоида. Задача анализа группоидов

Говоря содержательно, группоид – это бинарная алгебраическая операция [16, §2, п.3.2], рассматриваемая вместе со своим носителем. Поэтому анализу пары вида

где Х – множество, а Т =df <G, X> – функция типа Х2 → Х [17, стр.13], должна предшествовать процедура выявления следую- щего «факта»: является ли пара (1) воп-операцией? Для этого доста- точно установить справедливость равенства

где G – график функции Т. Выяснив это, мы можем исследовать (анализировать) группоид как с корреспонденциальной [17, стр.13, Определение 1; стр.33 Определение 1], так и алгебраической [гл.XII, §2,3] точек зрения.

К общим, или корреспонденциальным, свойствам соответствий относятся следующие [17, стр.33, Определение 1]:

172

(1)функциональность (ФН);

(2)всюду определенность (ВОП);

(3)сюръективность (СЮР);

(4)инъективность (ИН);

(5)биективность (БН).

Согласно определению группоида свойство (1) присуще всем группоидам, а свойства (2) – (5) не являются для них необходимыми. Но их наличие (либо отсутствие) позволяет говорить о всюду опре- деленных, сюръективных, инъективных или биективных группоидах (соответственно, не являющихся всюду определенными, сюръектив- ными, инъективными или биективными).

Результатом рассмотрений группоида, проведенных в соответст- вии с пп. (2) – (5), является заполненная знаками + и – таблица вида ХII.15 (к-анкета группоида).

К алгебраическим свойствам группоида причисляют следующие:

(6)наличие или отсутствие в нем нейтральных элементов

(см. §2, п.3.2.1);

(7)наличие или отсутствие в нем аннулирующих элемен-

тов(см. §2, п.3.2.2);

(8)идемпотенность (см. §3, п.1);

(9)ассоциативность и его виды (см. §3, п.2);

(10)коммутативность (см. §3, п.3);

(11)сократимость слева (см. §3, п.4);

(12)сократимость справа (см. §3, п.4);

(13)двухсторонняя сократимость (см. §3, п.4);

(14)обратимость слева (см. §3, п.5);

(15)обратимость справа (см. §3, п.5);

(16)двухсторонняя обратимость (см. §3, п.5).

Таким образом, результатами решения задачи анализа для группои- да (1) служат заполненные табл. XII.15 и XII.16, и выводы о нем.

173

Пример 1. Опишем процедуру решения задачи анализ для пары

где – теоретико-множественная константа [13, стр.41, п.3.2],

обозначающая бинарную операцию объединения множеств

[15, стр.44, п.3], а (X1) – булеан множества Х1 [15, стр.44, п.2].

В качестве иллюстрации к процедуре анализа будем считать, что

I. Выявим корреспондециальные свойства пары (I).

I.1. Бинарная операция на множестве (X) является функцио- нальной, поскольку верна формула

( Y1,Y2,Z1,Z2 X)[(<Y1,Z1> = <Y2,Z2>) (<Y1=Y2 Z1=Z2>)].

Поэтому

Пара (I) – группоид.

I.2. Бинарная операция на множестве (X) является всюду оп- ределенной в силу справедливости следующего соотношения:

( Y,Z X)(Y Z X).

I.3. Бинарная операция на множестве (X1) – сюръективная, поскольку правильно такое соотношение:

( Y X)( U,V X)(Y = U V)].

В самом деле, в качестве множеств U и V можно зафиксировать такие: Y и соответственно.

I.4. Убедимся, что операция на множестве (X) – не инъектив- ная. С этой целью установим, что свойство инъективности, которое для группоида (I) формулируется так:

( Y1,Y2,Z1,Z2 X)[(Y1 Z1 = Y2 Z2) (<Y1,Z1> = <Y2,Z2>)], (IV)

– опровержимое.

Рассмотрим группоид < , (X1)> (см. равенства (II) и (III)) – при ин-

тепретациях: Y1 = , Z1 =df {a, c}, Y2 =df {a} и Z2 =df {c}. Тогда соотно-

шение (IV) «переходит» в импликацию

174

[( {a, c}) = ({a} {c})] [< , {a, c}> = <{a},{c}>],

у которой истинна посылка, но ложно заключение.

I.5. В силу результата, полученного в п.I.4, группоид (I) – не биек- тивный. Таким образом, табл. Х.II.15 в данном случае принимает следующий вид (табл. Х.II.17)

II. Выявим алгебраические свойства группоида (I).

II.6. Поскольку верно соотношение

( Y X)(Y = Y = Y),

элемент (X) является двусторонне нейтральным элементом группоида (I).

II.7. В связи с тем, что тождественно истинна формула

( Y X)(Y Х = Х Y = Х),

элемент Х (X) является двусторонне аннулирующим элементом

(анэлом) группоида (I). II.8. Так как выражение

( Y X)(Y Y = Y)

– правильное, группоид (I) – идемпотентный. II.9. Вследствие того, что высказывание

(для любого множества Х: Y,Z,U (X))[ (Y Z) U = Y (Z U) ]

– истинное, группоид (I) – ассоциативный. Согласно результату, по- лученному в п.II.6, пустое множество ( ) – днэл группоида (I). По- этому он является моноидом.

II.10. Поскольку соотношение

( Y,Z X)(Y Z = Z Y),

– справедливое, группоид (I) – коммутативный.

II.11. – II.12. Группоид (I) не является сократимым (обра- тимым) слева, справа и двухсторонне, так как его элемент Х – двусторонний анэл.

Итак, табл.ХII.15 для группоида (I) принимает вид, показанный в табл. ХII.18.

175

Таблица XII.18

Вывод. Пара (I) является идемпотентным, ассоциативным и ком- мутативным группоидом с днэлом и данэлом, но не сократимым и не обратимым ни слева, ни справа.

На этом решение задачи анализа группоида (I) считается за- конченным.

2. Задачи синтеза группоидов

Постановка задач синтеза для одноместных функций и примеры их решения приведены в [19, стр.97–100]. При построении гипотетических группоидов, заданных в п. 4.1 таблицами вида ХII.14 и ХII.15, может случиться так, что интересующих нас группоидов не существует.

Пример 1. Не существует конечного группоида, сократимого слева и необратимого справа.

В заключение повторим еще раз, что при решении какой-либо задачи аналитические и синтетические исследования идут рядом.

Упражнения

Задача анализа группоидов

1. Составьте анкеты для группоидов, основные множества и опе- рации которых указаны в табл. ХII.19.

Здесь используются следующие обозначения:

НОД(x,y) – наибольший общий делитель натуральных чисел х и y; НОК(x,y) – наименьшее общее кратное натуральных чисел х и y;

(X) – булеан множества Х [15, стр.44, п.2];

(X2) – булеан множества Х2;

∩ и \ – бинарные теоретико-множественные операции пересече- ния и вычитания множеств.

° – двухместная теоретико-множественная операция компониро-

вания бинарных графиков [16, стр.95, Определение 2].

2. Существуют ли какие-либо логические связи между алгебраи- ческим свойствами (6) – (16) группоидов?

176

Заполните строки этой таблицы знаками – и + всеми возможными способами. Для каждой ее строки «постройте» группоид, анкета которо- го совпадает с этой строкой, или докажите, что такого не существует.

*2. Задача аналогична задаче, сформулированной в упр.1, но ре- шается применительно к табл. ХII.20.

3. Постройте идемпотентный, ассоциативный и двухсторонне со- кратимый группоид. Что можно сказать о его минимальном порядке?

4. Задание то же, что и в упр.3, но для идемпотентного, ассоциа- тивного и двухсторонне обратимого группоида.

Библиографический список

1.Большая Советская Энциклопедия (БСЭ). 3-е изд., тт. 1–35.

М.: Сов. энц., 1970–1978.

2.Математическая Энциклопедия (МЭ), тт. 1–5. М.: СЭ, 1977–1985.

3.Бурбакú Н. Теория множеств / Пер. с фр. – М.: Мир, 1965. 456 с.

4.Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: ГИТТЛ, 1940. 111 с.

5Ивин А.А., Никифоров А.Л. Словарь по логике. М.: ВЛАДОС,

1998. 383 с.

6.Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975, 720 с.

7.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ, 1968. 432 с.

8. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: ГИФМЛ, 1960. 592 с.

9. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

177

10. Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И. Дискретная математика. Раз- дел: Логико-математические методы: Учеб. пособие. М.: МИСиС, 1997. 92 с. [ № 392].

11. Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И. Элементы семиотики: Учеб.

пособие. М.: МИСиС, 2000. 72 с. [№ 1536].

12. Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И. Дискретная математика и формальные системы. Вводная лекция: Учеб. пособие. М.: МИСиС, 2001. 16 с. [№ 741].

13.Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И., Козловский А.В. Дискретная математика. Элементы логико-математического языка. Ч. I: Учеб.

пособие. М.: МИСиС, 2002. 97 с. [№ 59].

14.Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И. Дискретная математика.

Элементы логико-математического языка. Ч. II: Учеб. пособие.

М.: МИСиС, 2002. 148 с. [№ 1775].

15.Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И., Дубравина Т.В.. Дискретная математика. Основные теоретико-множественные конструкции. Ч. I:

Учеб. пособие. М.: МИСиС, 2003. 117 с. [№ 1751].

16.Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И. Дискретная математика. Ос- новные теоретико-множественные конструкции. Ч. II: Учеб. пособие.

М.: Изд-во МИСиС, 2004. 148 с. [№ 1753].

17.Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И. Дискретная математика. Ос- новные теоретико-множественные конструкции. Ч. III: Учеб. посо-

бие. М.: Изд-во МИСиС, 2005. 77 с. [№ 498].

18.Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И., Грузман В.А. Дискретная ма-

тематика. Основные теоретико-множественные конструкции. Ч. IV: Учеб. пособие. М.: Изд-во МИСиС, 2006. 127 с. [№ 494].

19.Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И., Козловский А.В. Дискретная математика. Основные теоретико-множественные конструкции. Ч. V: Учеб. пособие. М.: Изд-во МИСиС, 2007. 105 с. [№ 495].

20.Козловский А.В. Прокопчук Ю.Ю., Широков А.И. Дискретная

математика. Основные теоретико-множественные конструкции.

Ч. VII: Учеб. пособие. М.: Изд. Дом МИСиС», 2010. 129 с. [№ 1222].

21.Шиханович Ю.А. Введение в современную математику (На- чальные понятия). М.: Наука, 1965. 376 с.

22.Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгоритмов. М.: Наука, 1984.

178

Приложение 1

Указатель знаков и обозначений

179

Приложение 2

Указатель терминов

180