книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf
|
§ 4.2. Главные, квадратичные и линейные модели |
|
371 |
||||
t t |
|
|
Г2 |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
||
- т\Л - т2 )1 Г ){т\)ф\т2 )дт\дф + J ^ |
(2Q77( 0 |
) |
t)+ |
||||
dt |
|||||||
|
|
7=7*1+ 1 |
|
|
|||
о о |
t |
t |
|
|
|||
|
|
|
|
\ |
|||
+ 2 |
д |
d |
~ T \ ,t~ |
T2 )JJ (TI , T 2) |
dr\ |
||
— g77(t - T )J.\s) (t, T )dr - |
7^p77(t |
dr2J . |
|||||
о о
(4.2.276) Плотность энтропии г), согласно (4.1.69) и (4.2.6), в линейной модели
Ап принимает вид |
, , |
|
, = - ^ |
+ ( 1 /р ) а ..Т , |
(4.2.28) |
где фо(в) — функция только температуры.
Функцию рассеивания с помощью формулы (4.1.75) можно представить
в следующей эквивалентной форме: |
|
|
|
|
||||
(п) |
d Л |
dtp |
, |
(дфо |
|
|
|
|
w* = т |
QL |
Т ) - . |
(4.2.28а) |
|||||
— |
—Р~г~ |
+ |
(-1>ж - |
|||||
|
dt |
И dt |
|
' dt |
|
|||
4.2.7. Представление линейных моделей A n в форме Больцмана
Для линейных моделей Ап вязкоупругих сред представление свободной энергии ф в виде (4.2.20), (4.2.21), определяющих соотношений в форме (4.2.24), (4.2.25) и функции рассеивания гс* в форме (4.2.276) называют представлением модели Ап в форме Вольтерры (название связано с тем, что интегральные выражения вида (4.2.25), участвующие в этом представлении, были впервые рассмотрены Вольтеррой в 1909 г.).
Дадим для этих моделей иное эквивалентное представление. Введем но вые двухмоментные ядра ф1 р ( у ,г ) и ф1 1 { у ,г ) , удовлетворяющие следующим
дифференциальным уравнениям: |
|
|
|
|
|
= |
Ы 0 , 0 ) = 1 „3, |
Щ |
^ =Р11(у,г), |
= |
< м о .о ) = (77. |
|
y = t - T \ , |
z = t - r 2, |
(4.2.29) |
тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 4.2.1. Пусть двухмоментные ядра ^ 7Ду, z) и ^ 77(y,z):
1) являются симметричными функциями своих аргументов |
|
^7/з(у. г) = -гДвЦ у), V>77(y, z) = VVr(z’ У)> |
(4.2.29а) |
2)являются дважды непрерывно-дифференцируемыми функциями своих аргументов на (0, t)\
3)удовлетворяют условиям (4.2.29),
376 Глава 4. Вязкоупругие среды
Если ввести тензорный функционал четвертого ранга, аналогичный тен-
о
зору 4М (т. 2, (3.8.61)) для упругих сред: |
|
4R = Е ® EZI + 2Д/2, |
(4.2.47) |
то определяющие соотношения (4.2.44) можно представить в символическом
операторном виде: |
^ |
^ |
|
|
Т |
= J 4R • • Со, |
(4.2.48) |
который аналогичен соотношениям (т. 2, (3.8.62)) для полулинейных изотроп ных упругих сред.
4.2.10. |
Линейные модели A n |
трансверсально-изотропных вязкоупругих сред |
|
Для линейных |
моделей Ап вязкоупругих трансверсально-изотропных |
||||
сред, используя (4.2.11) и (4.2.12), имеем |
|
|
|
||
|
Г = 5, |
г\ —2, |
г2 - |
Г\ = 2, |
(п) |
1 [3\ т ) |
= ( Е - Ц ) - - |
И |
(3) / |
\ _с-2 |
|
С в (т), |
/ у ( т ) = с Щ |
С , ( г ) , |
|||
(п)(п)
J f ] { T \ , T 2) |
= ( ( Е - С § ) |
• с |
в(т\)) • |
• |
(с§ • С |
0 (т2)), 1 ^ ] {т) = |
Д 3)(т,т), |
а = 3 , 4 , |
|||
Г р { т \ , т 2) |
= С |
0 (т\) |
■■ С |
0 {т2) - |
2J^ 3) ( r i , r 2) - |
1 ^ \ т \ ) 1 ^ \ т 2), |
|||||
1зс(т) = |
^ ( O i ® |
O j + |
0 |
2 ® |
0 2) |
• |
• С Щ |
) , i j g ( r ) = |
2 40 |
3 • • С „ ( г ) , |
( 4 .2 .4 9 ) |
где 4Оз определяем по формуле (4.2.12).
Соотношения (4.2.24) для таких моделей принимают вид
(п) |
|
|
|
r(3) |
Cg) + |
{{l22 - |
|
(3) |
r(3)^2 |
|
|
т = |
J( ((ц/[3) + (I2/ D ( E - |
2iAA)iy> + h 2l\0,)ci+ |
|
||||||||
|
|
|
+ |
(Oi (8) Oi + O2 (8) O2 |
Дзз |
. .(n) |
„ |
(n) |
(4.2.50) |
||
|
|
|
/44) Co + 2/44 С 0 |
||||||||
|
|
|
v 9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
линейные |
операторы |
(3) |
- |
(n) |
определяются |
выражениями |
||||
Цр1р |
и /77 С |
||||||||||
(4.2.25), которые можно представить в форме Больцмана (4.2.31): |
|
||||||||||
у |
7(3) |
_ |
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
= |
r77( t - r ) |
d jS ( r) . |
(4.2.51) |
||||
hpip |
~ |
rlP{ t - T ) d l f { T ) , i1TJ ^ |
|||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Для трансверсально-изотропной среды имеются пять независимых кон стант /п, I2 2 , ^12? ^33’ UA и пять аналогичных ядер д7д(£ —г) или г7ц(£ —г).
Если ввести тензорный функционал, аналогичный тензору модулей упру гости (т. 2, (3.8.65)):
§ 4.2. Главные, квадратичные и линейные модели |
377 |
4R —Е 0 Е 1\\ -\~Сд (8) C3Z22 “I- (^12 —/ц)(Е (8) Сд + Сд (8) Е)+ |
|
+ (Oi (8) Oi + 0 2 ® 0 2) • • (l- f - I44) + 2А/44. |
(4.2.52) |
^22 = ^22 “ 2^44 —21 \2 + /п, то определяющие соотношения (4.2.50) можно представить в виде (4.2.48).
4.2.11. Линейные модели А п ортотропных вязкоупругих сред
Для линейных моделей Ап вязкоупругих ортотропных сред инварианты (4.2.22) и тензоры производной (4.2.26) с учетом (4.2.15)—(4.2.17) имеют вид
|
|
|
г = |
6, |
г\ = 3, |
г2 - г\ = 3, |
|
|
Д0)(т) = |
|
• • Сб»(т), |
а = 1,2 ,3 ; |
ДЩ т) = Д 0)(т, т), |
а = 4,5,6; |
|||
|
|
j f \ r \ , T 2 ) = (Щ • C 0(ri)) • • (с| • С е(т2)), |
|
|||||
|
|
4 0)(TI,T2) = (с? • СЩ О) • • |
(с| • С$(т2)), |
(4.2.53) |
||||
|
|
4 |
(т1’т2) = |
(с? • Cfl(Ti)) • • (с | • с в{т2)), |
|
|||
4с(т ) = |
l- ( 0 ! ® О 0 |
• • |
С „(г), |
4 ^ (т ) |
= 2 (0 2 ® 0 2) • • С „(г), |
|||
|
|
|
4 с ( Г |
= 1 ( 0 3 ® 0 3) - - С в(т), |
|
|||
а соотношения (4.2.24) принимают вид |
|
|
|
|||||
Т = |
J |
] Г |
|
|
+ J J 2 ° 7(°7 • • |
^з+7. з+уСв), |
(4.2.54) |
|
|
|
7,/3=1 |
|
|
7=1 |
|
|
|
т. е. и м ею тся |
девять |
н еза в и си м ы х констант / ц , |
/2 2 > ^зз> ^12> ^13> ^23> ^44> ^55> ^бб |
|||||
и девять я дер q1y (t — т) или r 1p {t — г ) .
Если ввести тензорный функционал, аналогичный (т. 2, (3.8.68)):
з з
4R = УЗ 0 |
+ УЗ °7 0 0 7^з+7.з+7’ |
(4.2.55) |
7,/3=1 |
7=1 |
|
то определяющие соотношения (4.2.54) можно представить в символическом виде (4.2.48).
4.2.12. Тензор функций релаксации
Используя операторный вид (4.2.48) определяющих соотношений линей ных моделей Ап вязкоупругих сред, можно ввести тензор четвертого ранга, называемый тензором функций релаксации 4R(£), по тем же формулам, по
378 Глава 4. Вязкоупругие среды
которым был введен тензор модулей упругости 4М для линейных моделей Ап упругих сред (см. т. 2, п. 3.8.7), если в соответствующих формулах сделать замену упругих констант 1ар на функции релаксации rap(t).
Введем этот тензор для изотропных сред следующим образом: |
|
||||||
|
4R(t) = т1(i)E 0 Е + 2r2(i) Д. |
(4.2.56) |
|||||
Для трансверсально-изотропных сред он имеет вид |
|
|
|||||
4тэ /L\ _ ^ /L\тт' /о т |
I сг |
^ <>2 |
I / |
//\ |
^ / 1\\ /тг' -о ^2 I <>2 |
Е)+ |
|
R(i) = гц (£ )Е 0 Е |
+ r22(i)cg (g)Cg |
+ (r[2(t) - |
rn(t))(E ® eg + с3 |
||||
+ ^2 гзз(0 —r44(^)) (Oi 0 |
Oi + 0 2 0 |
0 2) + 2r44(t)A, |
(4.2.57) |
||||
Г2 2 У) = г\\У) + r22(t) - 2r12(t) - |
2r44(t), |
|
|||||
а для ортотропных сред — |
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
з |
|
|
|
|
4R(t) = |
raj3(t)с7 0 cj| + |
|
r3+a>3+a(t)0 7 0 0 7. |
(4.2.58) |
|||
а,13=1 |
|
а=1 |
|
|
|
|
|
Тогда символические функциональные соотношения (4.2.48) можно предста вить следующим образом:
Ы ) |
J |
Ы ) |
(4.2.59) |
Т = |
R С*, |
||
где |
|
|
|
( п ) |
|
( п ) |
(4.2.60) |
С в = |
4R(t —г) • • dC^(r) |
||
— тензорный линейный функционал. |
|
|
|
При мгновенном нагружении |
(t |
—►0+) эти соотношения |
совпадают |
с (4.2.36) и с соответствующими соотношениями (т. 2, (3.8.54а)) моделей Ап линейно-упругих сред, поскольку
4R(0) = 4М. |
(4.2.61) |
Тензор |
|
4K(t) = - | 4R(t) |
(4.2.62) |
называют тензором ядер релаксации. Этот тензор для различных групп Gs имеет точно такой же вид, как и (4.2.56)-(4.2.58), если в этих формулах провести замену ra/3(t) -►qap(t).
С учетом (4.2.61) и (4.2.62) определяющие соотношения (4.2.59) можно
записать в форме Вольтерры: |
|
|
|
|
(п) |
° (п) |
; |
(п) |
(4.2.63) |
T |
= J(4M - - C e - |
|
K (t —т) ■ с в(т) dr), |
|
о
которая очевидно эквивалентна форме (4.2.24).
§ 4.2. Главные, квадратичные и линейные модели |
379 |
Оператор (4.2.39) свободной энергии ф для механически детерминирован ной модели Ап с помощью тензора функций релаксации можно представить
в следующем виде (см. упр. 3 к § 4.2): |
|
|
|
t |
t |
|
|
|
( п ) |
( п ) |
(4.2.64) |
РФ = РФ0 + 2 |
d C e{r\) • • R(2t - |
т\ - т2) ■• й С в{т2), |
|
о о
а функцию диссипации (4.2.40) —
t t |
|
|
j Г Г (п) |
( п ) |
(4.2.65) |
d C e{r\) • • ^ 4R(2t - т\ - |
т2) ■■d C e(r2). |
|
W = ~2 |
|
|
о о
Из формулы (4.2.65) вытекает следующая важная теорема.
Теорема 4.2.2. Для механически детерминированных линейных моделей Ап вязкоупругих сред тензоры ядер релаксации 4К(£) являются:
1) неотрицательно определенными
h • • 4K(t) • • h > 0 Vh ф 0, Vi ^ |
0; |
(4.2.66) |
2) симметричными по следующим комбинациям индексов: |
|
|
4K(t) = 4К (1243Д ) = 4K(2134)(t) = 4К(3412Д ) |
Ш ^ 0, |
(4.2.67) |
|
|
О |
т. е. обладают той же симметрией, что и тензор модулей упругости 4М для линейных моделей Ап упругих сред и тензор модулей упругости 4С в теории малых деформаций.
▼Действительно, поскольку функция рассеивания всегда неотрицательна
( п )
(гс* ^ 0) и обращается в нуль для вязкоупругих сред, только если СДт) = 0, то, выбирая процесс деформирования в виде ступенчатой функции
|
|
( п ) |
h |
h(r), г ^ 0, |
|
(4.2.68) |
|
|
Сб>(т) = |
|
|||
где h{r) — функция Хевисайда, a h |
— симметричный ненулевой постоянный |
|||||
тензор, получаем |
|
|
|
|
||
|
|
( п ) |
|
|
|
(4.2.68a) |
|
|
dCo{r) = h 6{т) dr. |
|
|||
Тогда, |
подставляя (4.2.68a) в (4.2.65), с учетом свойства |
(4.1.16) |
5-функции |
|||
и формулы (4.2.62) находим |
|
|
|
|
||
|
t |
t |
|
|
|
|
w * |
J |
h • • 4K(2t —т\ —Г2) • • Ъ.5(т\)5(т2)йт\йт2 = |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
о о |
|
|
0 Vi > |
|
|
|
|
= |
(J/2) h • • 4K(2£) • • h ^ |
0, (4.2.69) |
||
т. e. тензор 4K(i) действительно является неотрицательно определенным.
380 |
Глава 4. Вязкоупругие среды |
Из существования квадратичной формы (4.2.69) и симметрии тензора h следует симметрия 4К (£) по первому-второму, третьему-четвертому индексам и по парам индексов, т. е. (4.2.67) действительно имеет место. А
Из (4.2.66) и (4.2.62) следует, что тензор функций релаксации 4R(£) образует монотонно невозрастающую форму:
h • • |
• • h < 0 Vh ф 0, т ^ О , |
(4.2.70) |
О
а если тензор модулей упругости М = 4R(0) обладает симметрией вида (4.2.67), то из (4.2.67) следует, что и 4R(£) обладает такой же симметрией
т ^ 0:
4R(t) = 4R (1243)(t) = 4R (2134)(t) = 4R (3412)(t) V t^O . |
(4.2.71) |
4.2.13. Спектральное представление линейных моделей А п вязкоупругих сред
(п)(п)
Для симметричных тензоров С#(т) и Т(т) введем спектральные разло-
О
жения относительно выбранной группы симметрии Gs (см. и. 2.5.8 и т. 1,
(п) |
П |
(п) |
П |
(4.2.72) |
Т = |
Е Р «Т)> |
C , = |
^ P i c ), 1 < п ^ 6. |
|
|
а=\ |
|
а=\ |
|
Здесь Pa J и P Ka J |
(a = 1, ..., n) |
— ортопроекторы тензоров |
T и С#; |
|
п — число ортопроекторов. Для тензора функций релаксации 4R(£) рассмот рим спектральное представление, аналогичное тензору модулей упругости 4С в теории малых деформаций (см. (2.6.41)):
4R(t) = V |
Rap( t ) ^ ^ i . + |
V Raa(t) 4Га , |
(4.2.73) |
а,Р= 1 |
Р |
а = т + 1 |
|
где Rap(t) и Raa(t) — спектральные функции релаксации, однозначно выра жаемые через rap(t) и raa(t) (см. упр. 6 к § 4.2). Тогда определяющие соотно шения (4.2.59) можно представить в виде соотношений между спектральными линейными инвариантами и ортопроекторами (см. упр. 9 к § 4.2):
1 |
(п) |
|
|
|
(п) |
|
|
171 |
|
|
(п) |
a = l , |
|
|
Р Ц ) = — Щ |
Т ) а (а), |
Уа ( Т ) |
= |
7 |
У |
а |
д |
( С |
) , |
. . . , т ; |
||||
йа |
|
|
|
|
|
|
|
/3=1 |
|
|
|
|
|
|
где |
р Ц-* = |
J R |
a |
a |
^ a |
^> |
а |
= |
т |
+ |
I , |
, |
п , |
(4.2.74) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГУ |
- р ( ^ ) |
__ |
R a/ 3( t - r |
) |
d P |
f \ |
T ) . |
|
(4.2.75) |
||||