книги из ГПНТБ / Страхов С.В. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока, 1960. - 247 c
.pdfПреобразуем уравнения потокосцеплений статора. Для
этого умножим слева обе части |
равенства (1-138) на |
[Ас ]: |
Ш = [ 4 ] [^ с ] = [ Л ] [ 4 с] [ ^ ] + [ 4 ] [ ^ с Г] [ ' Р] . |
||
|
|
(1-Г6) |
Введем обратные матрицы [Л. |
159, 160] статорного |
[А^Г1] |
и роторного [Лр- ‘] преобразований, т. е.
" “ oe" |
. |
Гя с Л |
|
[ Hc ] ^ |
= Ur1] |
u cq |
(1-157) |
. Ucc_ |
|
L Ис0 _ |
|
|
|
[ Л’с ] = [ЛГ1] [ Ч»с ],
причем, например, первое из уравнений (1-157) получается умножением слева первого уравнения (1-150) на [ЛГ1]:
[лг1] [ |
= [ л глс1] ][ ис ] = [ и с ]. |
(М 5 8 ) |
|
Аналогично |
для |
ротора |
' |
К ] |
Uf ~ |
Гup |
|
и* |
i |
|
|
|
uh |
_«P0 _ |
(1-159) |
K Ы4Г'][/;];
[^P] = [ 4 ' ] [ ^ р ]-
Сами матрицы обратных преобразований [Ле '] и [Ар1] выражаются так [см. Л. 159, 160]:
cos 8* |
— |
sin |
6* |
|
1 ' |
cos (0А— 120°) |
— |
sin |
(0fc- |
12C°) |
1 |
|
— |
sin |
(0* + |
120°) |
1 |
[ V b
|
|
|
|
(1-160) |
|
|
|
|
(1 |
cos (0* — 0) |
— sin ( % — 8) |
_ |
1 " |
|
cos (0A 8) |
— sin (8* — |
8) |
- |
1 |
2sin (0A— 6) |
2 c o s (9a — |
8) |
|
0 |
|
|
|
|
( 1- 161) |
70
В развернутом виде формулы преобразований, напри мер, дли токов запишутся так:
ha = |
hd cos о* — г'с? sin bk + гс0; |
|
|
|
|
|
|
||||||
Кь = hd со - (вА- |
120°) - |
icgsin (О. - |
|
120°) + г'с0); |
|
(1-162) |
|||||||
he = |
hd cos (0* + |
120’) - |
|
icqsin (8ft + |
|
120°) -f /c0); |
|
|
|||||
if = - j ipdcos (0* - |
6) - |
-i- ipq sin |
(0ft — 0) + |
- у |
гр0; |
||||||||
** = |
hd cos (0* - |
0) ----- ^ |
/p?sin |
(0*~ °)---- \ ~ h o= |
|||||||||
4 = /'pd sin (0ft — 6) + гр? cos (04 - |
0). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-163) |
С |
учетом |
(1-157) |
и |
(1-159) |
перепишем |
равенство |
|||||||
(1-156): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ч.=] = [ 4 ) г д б М г |][ < л |
+ [ 4 |
] [ « а!] [ л р ] [ < ;] . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-164) |
Множители перед |
[ |
г'[] |
и |
[ /р] |
можно |
рассматри |
|||||||
вать как матрицы статорной индуктивности |
[Т.Сс] |
и вза* |
|||||||||||
имоиндуктивности |
[Мср] |
после преобразования, |
т. |
е. |
|||||||||
|
|
|
[ i ; c] = |
[ 4 |
] [ i cJ U |
r ,];j |
|
|
(1-165) |
||||
|
|
[ м ;,] = |
[лЛ [Л 1с„ ] [ л р ] . |
|
|
(1-166) |
|||||||
Выполнив |
перемножение |
матриц |
|
в правых частях ра |
|||||||||
венств (1-165) |
и |
(1-166), получим: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
'^ср + |
^ср |
|
|
|
М0cos 2 (0ft— 0) |
|
|
|
|||
-М0 sin 2 {bk— 0)
—M o sin 2 (0A— 0)
A;p + Mcp — ~ M acos 2 (8Й— 0) |
(1-167) |
0
71
М, + М2 cos 2(6а— 0) |
— М2sin 2(0ft — 6) |
|
[ Мср ] — 4 — М2 sin 2(<)k — 0) |
М1 - М 2 cos 2фк— б) |
|
О |
|
О |
2(Mf Mg) cos (0ft — 0) |
|
|
—2(М/ - Mg) sin (0ft — 0) |
(1-168) |
|
0 |
|
|
где L0 — Lcp — 2Mcp |
|
(1-169) |
— индуктивность нулевой последовательности статора.
|
МА= Mf + Mg f |
2Mh; |
(1-170) |
|
M2 = Мг + Мя— 2Mh. |
(1-171) |
|
Тогда для потокосцеплений статора получим: |
|
||
^cd |
Lcp + Мср + |
М0 cos 2(6ft — О) |
|
=- у М 0 sin 2(0fe - 0)
_^с0_ О
|
---- §-M0si.i 2(0а — 0) |
О |
гcd |
|
|||
|
/,Ср + М ср---- ^ -М 0 cos 2(0, 0) О |
с? |
+ |
||||
|
|
О |
|
10 |
гсО |
|
|
|
J |
Мг4 M2cos2(0fe — 0) |
— М2 sin 2(0ft —6) |
|
|||
+ |
М2 sin 2(0а |
0) |
Mj — М2 |
cos 2 (0А |
6) |
||
4 |
|||||||
|
О |
|
О |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
2(М/ - Mg) cos (0Й- |
0) |
iP'7 |
|
||
|
|
— 2(М/ — Mg) sin (0ft |
0) |
(1-172) |
|||
|
|
О |
|
- So „ |
|
||
|
|
|
|
|
|||
72
Далее преобразуем уравнения закона Ома для цепей ро
тона. Для этого |
умножим слева обе |
части П-137) на |
М Р 1и, учитывая |
соотношения (1-152) |
и (1-159), полу |
чим: |
|
|
’ щ
Мр1 в е
■‘ «ptf'
—[wp]— WP7
_“р»_
= Mpl
О о ~С1 |
--- о О О10С 0 |
1 |
! |
7
!s
ih
+ M J d t
,
=л
|
= |
[A? ) |
1 |
О |
о |
|
|
|
|
|
о |
|
о |
[ V |
H |
4 ] + |
|||
|
|
|
|
о ___ |
О |
? »■ |
— |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
I |
|
|
f |
" % |
~ |
|
|
|
' 4 7 |
" |
||
|
Фв“ |
) ( > » ’) |
|
_ |
|||||
|
M |
h |
|
|
|
|
, 4 л |
||
" п 0 |
0 |
" |
|
|
|
] |
|
|
|
О rg О Up-'] [ 4 |
ddt_ |
[ Vp1 — |
|||||||
О 0 |
rh |
|
|
|
|
|
|
|
|
V
(1-173)
4 Ро
Множитель перед f гР] в первом члене правой части можно рассматривать как матрицу преобразованного ро
торного сопротивления |
[Л?РР], т. е. |
|
[Лрр] = |
[Лр ][Я рр][Лр']. |
(1174) |
73
Выполнив перемножение матриц, получим:
>! + /*2 cos 2(вА— 0) |
— /-2 sin 2(0* — 6) |
— /-2 si п 2(0* — 0) |
rx — ra cos2(8ft — 0) |
2(п - rt) cos (bk - 8) |
— 2(r[ - rt) sin (9* - 0) |
2(г/ - rt) cos (%— 0)
— 2{rf — re)sia (0Л— 0) , (1-175)
2(rf Н- re)
где
Гг= П + гг + 2гк '
и |
(1-176) |
гг = rs + гй - |
2г„. |
Выполнив далее дифференцирование и перемножение матриц в последнем члене правой части (1-173), перепишем
(1-173) с учетом (1-175):
" Ирd " |
|
d |
~ V |
" |
~ % я |
|
и т = |
ш |
ifq |
+ — |
|
+ |
фрd |
|
|
|
dt |
|
|
0 |
_ wp ° |
|
_ fp° - |
_1>р0 .. |
|
||
|
|
(1-177) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем уравнение потокосцеплений ротора. Для |
||||||
этого умножим слева обе части |
(1-139) на [Лр ]: |
|||||
ш |
V |
= [Ар] [фр ] - |
[Лр ] [Мрс] [ 4] + [ Ар] [1рр1[ г,]. |
|||
|
_ V |
|
|
|
|
(1-178) |
|
|
|
|
|
|
|
С учетом |
(1-157) |
и (1-159) перепишем равенство (1-178): |
||||
Ш |
= |
[ л>] K J |
ИГ1] U |
] + |
К ] |
[ i pp] [л р- !] [ /р]. |
|
|
|
|
|
|
(1-179) |
|
|
|
|
|
|
<0 |
Множители перед |
[ / с] и |
[ гр] |
можно рассматривать |
|||
как матрицы преобразованных взаимоиндуктивности [Мрс] и роторной индуктивности [Т-рр], т. е.
74
|
|
IX c] = |
[ л р ] [Mpc] [Ac ’] , |
(1-180) |
||||
|
[ 4 р ] |
= |
[Лр][£рр][Л 7']- |
О-181) |
||||
Выполнив |
перемножение |
матриц в |
правых |
частях ра |
||||
венств (1-180) и (1-181), |
получим: |
|
|
|||||
|
|
|
М' |
+ |
М" cos 2 (0* — 0) |
|
||
[М'рс] = |
— |
- |
М" sin 2(0* - |
0) |
|
|||
|
|
4 |
2(Mf |
Mg) cos (0*— 0) |
|
|||
|
— Af" sin 2(6* — 0) |
|
0~ |
|
||||
|
AT - M" cos 2(9* - |
8) |
0 ; |
(1-182) |
||||
|
— 2{M[ — Mg) sin (0*— 0) 0 |
|
||||||
|
Lr |
L" cos 2(0*— 0) |
— L" sin 2(0* — 0) |
|||||
— |
— L" sin 2(0* — 8) |
L' — L" cos 2(0*— 8) |
||||||
[ (Lf — Ls) cos (®* — 9) |
— (Lf—Lg) sin (0*—0) |
|||||||
|
|
{Lf — Lg) cos (0* — 0) |
|
|
||||
|
— |
— |
sin (0* - |
0) |
|
(1-183) |
||
|
|
Lf -)- Lg |
|
2Mfg |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M' — Mf -f- Mg -f Mh\ |
(1-184) |
|||||
|
|
M" = Mf + Mg - |
Mh; |
(1-185) |
||||
|
L' — |
0,5 {Lf -j- Lg-\- 2Lh -f- 2Mf^)\ |
(1-186) |
|||||
|
L" = |
0,5 {Lf + |
Lg - 2Lh + |
2M;g). |
(1-187) |
|||
В итоге для потокосцеплений ротора получим:
" V " |
" |
|
Г 1 d |
1 |
= И р е ] |
г сq |
+ [ - ^ р р ] |
l pq |
|
Ь о _ |
_ 1с0 _ |
|
. ' р о . |
|
Для получения электромагнитного момента Т синхрон ной машины в системе координат dk, qk, 0, вращающейся
75
с произвольной угловой скоростью |
, будем исходить из |
||
известного его выражения |
(см., |
например, [Л. 149] в фаз |
|
ных координатах: |
|
|
|
Т = |
d \ L ] |
(1-189) |
|
d(l |
[*]. |
||
Поскольку матрица [/] представляет совокупность как статорных [4 ], так и роторных \iv ] токов машины, ее удоб но представить, как и матрицу [L], в виде клеточной матри цы [Л. 159, 160]:
*с
Р
ш |
= ht ** |
(1-190) |
^•сс | |
^ср |
|
W = f |
(1-191) |
Последнее выражение для [L] следует из (1-138) и (1-139), если их объединить в одно.
В развернутом виде для Т получим:
d\Lcc1 d \M ^
dj |
d 0 |
(1-192)
d\M^t\ d 0
a.CL d 0
Вводя преобразованные токи [ гс] и [ гр] согласно (1-157) и (1-159) и учитывая свойства произведения транс
понированных матриц [Л. 159, |
160], |
получаем: |
|
|||
d |
[Lcc] |
d |
[M cpl |
|
|
|
Т = —2 f i < - t ] [тН/ 1 h t \[т1рг'] |
d |
0 |
|
d и |
[ А 7 ' Щ ] |
|
|
|
|
|
|||
d |
\ |
M i |
P |
^ |
|
[ Q |
|
|
u |
|
rffZppl К Ч |
||
|
d |
|
d u |
|
|
|
(1-193)
76
На оснований свойств произведения матриц это выра жение может быть переписано так:
|
|
|
[ л з Ч |
[ V |
“' У |
[ v ' |
[Лр-.1] |
] |
J |
||
|
ic |
|
(1-193а) |
|
X |
|
|
|
h |
|
|
Далее выполним умножение средней клеточной квадрат ной матрицы на клеточную матрицу-столбец, стоящую спра ва, что допустимо, так как число столбцов матриц, стоя щих в каждой из клеток средней клеточной матрицы, рав но числу строк матриц, стоящих в каждой из клеток матри цы-множителя:
|
Т = |
1 |
let Ipt X |
|
|
2 |
|
[ V ] |
I V ] к |
] + |
[л -,1] - « s i I V ] [ 4 1 |
Х IV] |
|
H-tVJ-^ffLlVJ UJ |
|
й-191)
Произведя дальнейшее перемножение клеточной мат рицы-строки на клеточную матрицу-столбец, получим:
Т = V + V + тк + т „ = - L [ и , ] [ а : , ' } |
х |
||
X [ЛГ1] [ 4] + V [ |
4 ] [ V ] ^ |
[V] [ 4 1 + |
|
+ ^ [ 4 . ] № Г - ^ [ л У ] [ / с ] + |
|
||
2 |
a.U |
|
|
+ V [ 4 , ] t e ' ] V £ p l [ V |
] [ 4 ] - |
( W 9 5 ) |
|
2 |
d 0 |
|
|
77
Учитывая соотношения (1-140) — (1-145), выполняем дифференцирование клеточной матрицы:
sin 20
d\Lcc} d О
2М0 sin (20 - 120°) sin (20 + 120°)
sin (20 - 120°) sin (20 + 120°) sin 26
d\Mcy]
d t )
Mgsin 0
yW4sin (0 — 120°) Me sin (0 + 120°)
sin (20 + |
120°) |
sin 20 |
(1-196) |
sin (2 0 - |
120°) |
Mf sin 0 |
|
Mf sin (0 - |
120°) |
Mf i in (0-f 120°)
Mhcos 6
Mhcos (0 — 120°) (1-197)
Mhcos (0 + 120°)
d [ M c p t ] |
Mf |
sin 0 |
Mf sin (0 —120°) |
||
Mg sin 0 |
Mg sin (0 — 120°) |
||||
dt) |
|||||
Mhcos 0 |
Mhcos (0 — 120°) |
||||
|
|||||
|
Mf sin (0 + |
120°) |
' |
||
|
Mgsin (0 + |
120°) |
; |
||
|
Mhcos (0 + |
120°) |
|
||
|
d[M,w] = /dJMgp]\ . |
||||
|
d О |
V d% |
} t ' |
||
£ lh * L =.- 0.
d a
Из (1-200) следует:
(1-198)
(1-199)
(1-200)
Tpp = 0. |
(1-201) |
78
Выполнив перемножение трех средних матриц в составе Т сс, получим:
|
|
d О |
|
|
|
|
|
sin 2(0* — 0) |
cos 2(9*— 0) |
О ‘ |
|||
|
Mo [iQdhi гсо1 cos 2(0* — 0) |
— sin 2(0*— 0) |
О х |
|||
|
О |
|
О |
|
О |
|
|
X |
К й |
• |
|
|
(1-202) |
|
[ся |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
_ ^сО_ |
|
|
|
|
|
Или после перемножения матриц |
|
|
|
|
||
T cc = ~ ( L d — Lg) [ iidsin 2(9* - |
0) В 2icd icq cos |
2 (0* - • ) - |
||||
|
— i% sin 2 (0*— 0) J, |
|
(1-203) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-204) |
a L |
и Lq определяются |
так |
(см., например, |
|
21, 90, |
|
149]): |
|
|
|
|
|
|
|
— I'cp + |
^cp |
|
~ M 0; |
|
(1-205) |
|
|
|
|
|
|
(1-206) |
Выполнив перемножение трех средних матриц |
в |
составе |
||||
Тср, |
получим: |
|
|
|
|
|
79