книги из ГПНТБ / Страхов С.В. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока, 1960. - 247 c

Множители перед [ jc] и [ гр] можно рассматривать как

матрицы преобразованных взаимоиндуктивности [М Рс] и роторной индуктивности [L'pp] >т. е.

Ы= [Ар Ш рр][Ар ]]. J

Значения [m 'pc] и [l'pp], полученные перемножением трех матриц в правых частях (1-87), приведены ниже:

Для получения электромагнитного момента Т асинхрон­ ного двигателя в системе координат dk, qk, 0 будем исхо­ дить из известного его выражения (см., например, [Л. 123]) в фазных координатах:

Поскольку матрица [г] представляет совокупность как статорных [гс], так и роторных [грJ токов машины, ее удобно представить как и матрицу [L] в виде клеточной мат­ рицы [Л. 159, 160]:

50

Последнее выражение дл» [L] следует из уравнений (1-62) и (1-63), если их объединить в одно.

Выполнив дифференцирование клеточной матрицы [L], получим:

sin (0 + 120°)"

(1-79) и учитывая свойства произведения транспонирован­ ных матриц [Л. 159, 160], будем иметь:

d U

На основании свойств произведения матриц это выра­ жение может быть переписано так:

0

(1-95)

0

Далее выполняем умножение средней клеточной квад­ ратной матрицы на клеточную матрицу-столбец, стоящую справа, что допустимо, так как число столбцов матриц, стоящих в каждой из клеток средней клеточной квадратной матрицы, равно числу строк матриц, стоящих в каждой из клеток матрицы-множителя:

Произведя дальнейшее перемножение клеточной матри­ цы-строки на клеточную матрицу-столбец, получим:

г = Тр + г к = - L [ Q [ л - ] [ л - 1] [ /р ] +

Выполнив сначала перемножение трех средних матриц в составе Тср, получим для Гср:

52

электромагнитного момента, обусловленных взаимодействи­

правила умножения транспонированных матриц, получим:

d\Mcpt1

[BJ = Up,1]

Тогда, обозначив

[ л г Д М Ч л Т ] ^ Р У ] = М .

получим:

Далее, обозначив

причем из сказанного выше следует, что [D] — матрицастолбец, получим:

53

Выполнив перемножение в соотношении (1-99), получим известное выражение для электромагнитного момента асин­ хронного двигателя:

Теперь к полученным выше уравнениям напряжений и потокосцеплений статора и ротора (1-77), (1-84), (1-86) и (1-89) добавим уравнение движения ротора асинхронного двигателя:

которых позволяет исследовать и рассчитать любые элек­ тромеханические переходные процессы в асинхронном дви­ гателе. При этом напряжения на зажимах статора иы, uzq,

мс0 должны быть либо заданы, либо связаны уравнениями с токами и параметрами цепи статора. Напряжения на за­

жимах ротора upd, нр?, нр0 должны быть связаны с токами ротора ipd, i q, /р0, если в цепь ротора включены какие-

либо известные сопротивления, индуктивности или емкости. Если же к зажимам ротора включен какой-либо источник

напряжения, то его напряжения uvd, ирд и «р0 также дол­

жны быть заданы. Углова» скорость вращения сой коорди­ натных осей также должна быть задана.

Сравнивая приведенный нами вывод с выводом А. А. Ян- ко-Триницкого [Л. 123], заключаем, что наш вывод проще. Кроме того, достоинством нашего вывода является тот факт, что он не требует применения комплексных чисел, в то время как А. А. Янко-Триницкий как в основном преоб­ разовании, так и в преобразовании поворота оперирует с комплексами.

Перепишем в развернутом виде уравнения (1-77), (1-84), (1-86) и (1-89) и учтем при этом равенства (1-74) и (1-75).

Уравнения закона Ома для цепи статора запишутся в виде:

54

Уравнения потокосдеплений ротора:

И, наконец, уравнение движения ротора с учетом выра­ жения (1-100) для электромагнитного момента

Мы получили, разумеется, те же самые уравнения, ко­ торые были выведены А. А. Янко-Триницким [Л. 123]. Срав­ нивая уравнения (1-60) — (1-63) и (1-90) с уравнениями (1-102) — (1-106), заключаем, что последние значительно проше первых, ибо статорные и роторные потокосцепления и электромагнитный момент не содержат периодических коэффициентов. Некоторым усложнением в уравнениях

55

(J-102) и (1-104) является появление э.д. с. вращения, за­ висящих от произведений составляющих потокосцеплений на угловые скорости координатной оси относительно обмо­ ток статора coft и ротора соА— со.

Из соотношений (1-102) — (1-106) следует, что из урав­ нений симметричной в магнитном и электрическом отноше­ нии машины переменного тока (асинхронная машина) после проведения вышеуказанных преобразований перио­ дические коэффициенты могут быть исключены при любом

чительно упрощена, если из нее исключить потокосцепления:

~~ (Ч “Ь A* j lcd ~г Lad (Ai 4? “I" Lad ipq);

будем рассматривать уравнения только для составляющих d и q. Так как ротор асинхронной машины электрически и

56

зают.

Как известно из литературы [Л. 25, 27, 49, 51, 92, 93, 123 и др.] и, в частности, из вышеупомянутых работ А. А. ЯнкоТриницкого и Е. Я. Казовского, уравнения (1-102) — (1-108) могут быть записаны в комплексной форме, если положить:

(1-109)

Тогда получаем:

( 1- 110)

57

получим два дифференциальных уравнения, каждое первого

порядка с двумя комплексными неизвестными гс и ip , при­ чем при озА= 0, со или со0 по крайней мере одно из этих уравнений является нелинейным, если мы рассматриваем в асинхронном двигателе переходные электромеханические процессы (т. е. процессы при переменной угловой скорости со его ротора).

Для электромагнитного момента на основании равенств

т. е. считать скорость ротора со постоянной и, разумеется, для брать также постоянное значение, то уравнения (1-111) и (1-112) будут линейными. Рассмотрение уравне­ ния электромагнитного момента и уравнения движения ро­

58

с учетом ненулевых начальных условий получим:

операторные уравнения электромагнитных переходных про­ цессов асинхронного двигателя:

Заметим, что мы его называем полным, потому что в состав его входит сопротивление статора гс . Его можно за­ писать иначе:

69