книги из ГПНТБ / Страхов С.В. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока, 1960. - 247 c

можно воспользоваться одним из приближенных методов, не требующих предварительного решения характеристиче­ ского уравнения, — метод Коизуми [Л. 165, 6], метод трапе­ ций [Л. 166, 167, 3], метод треугольников [Л. 168j], метод приведения к установившемуся режиму [Л. 156] и т. д. От­ дельных ее свободных составляющих в этом случае мы уже

знать не будем. Отметим, что поскольку каждому комплекс­ ному корню должен соответствовать сопряженный, то ха­ рактеристическое уравнение той или иной степени (в дан­ ном случае 22-й) будет иметь вещественные коэффициен­ ты.

Легко убедиться, рассматривая схему рис. 3-4, что чис­ ло неизвестных равно удвоенной величине суммы числа всех ее ветвей и числа узлов без одного. Например, для бо­ лее сложной схемы, приведенной на рис. 3-5, число неиз­ вестных будет равно 2 (12 + 3) =30.

Таким образом, выше дан метод составления уравнений переходных электромагнитных процессов для электрической

192

цепи, имеющей произвольное число синхронных и асинхрон­ ных машин и статических элементов (статических нагрузок, компенсированных линий электропередачи, продольных и поперечных емкостей, компенсирующих реакторов и т. д.). Если рассматриваются симметричные коммутации в систе­ ме, то эти уравнения пишутся прямо без каких-либо выво­ дов для каждого из вышеуказанных элементов цепи в комп­ лексной операторной форме. В качестве неизвестных берут­ ся токи во всех ветвях цепи и напряжения между каждым из узлов и каким-нибудь одним из них.

3-2. МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ § 3-1 НА ИНТЕГРАТОРЕ

Разумеется, задачу § 3-1 можно решить с помощью ин­ тегратора. Тогда нужно исходить из уравнений всех эле­ ментов сети, записанных для мгновенных значений продоль­ ных и поперечных составляющих токов, напряжений и потокосцеплений. Число уравнений и неизвестных при этом увеличится, если не исключать предварительно из системы уравнений такие неизвестные, как токи обмоток возбужде­ ния, продольной и поперечной успокоительных обмоток син­ хронных генераторов и роторные токи асинхронных двига­

для решения на интеграторе задачи, поставленной в § 3-1. На основании известных уравнений (см., например, [Л. 149Д) или приведенных выше формул (1-224) и (1-225), опустив индекс «с» у статорных токов и напряжений, отнеся все величины к стороне статора и выразив их в относитель­

ных единицах, положив, как обычно

получим:

Синхронный генератор СГ1

При этом мы положили

Так как мы рассматриваем аварийную схему и поэтому U\f~ 0, а, кроме того, всегда uie = ulh — 0, то на основании

(1-227) и (1-229) имеем:

Синхронный генератор СГ2

Аналогичные уравнения имеем для СГ2:

Асинхронный двигатель АД1

На основании известных уравнений (см., например, [Л. 123]) или приведенных выше формул (1-107) и (1-108) имеем для А Д 1:

194

Нагрузка HI:

На основании (1-47) и (1-48) с учетом того, что^-^- = dt

d6i

----= (о0, имеем:

dt 0

Нагрузка Н2:

с4 0ь

196

Линия Л1 вместе с продольной емкостью С' Исходя из (1-18) и (1-19), продифференцировав их с

учетом того, что положительные направления напряжений в начале и конце линии на рис. 1-2 и 3-4 взаимно противопо­ ложны, заменив поэтомуии на— и2а, uiq на—щ иы па — и1а,

Узел 1 На основании, например, (2-13) по первому закону Кирх­

гофа имеем:

197

■Таким образом, на интеграторе придется решать систе­ му из 30 уравнений (3-31) — (3-42), (3-44) — (3-47), (3-49) — (3-60) с 30 неизвестными:

l l a i l l q ’ l lf> l lq< l lh> 1н Ы> *д1?> l p U > l p l q >

Из них 26 линейных дифференциальных уравнений с посто­ янными коэффициентами, причем 24 из них — первого по­ рядка, а два — второго. Остальные четыре уравнения—-ал­ гебраические. Суммарный порядок системы уравнений ра­ вен 28.

Поскольку все эти уравнения имеют вещественные коэф­ фициенты, то и характеристическое уравнение этой системы будет иметь вещественные коэффициенты, как это и было отмечено раньше. Таким образом, выше дан также метод составления линейных дифференциальных уравнений с по­ стоянными коэффициентами для решения той же задачи на интеграторе. Эти уравнения пишутся прямо без каких-либо выводов для мгновенных значений продольных и попереч­ ных составляющих токов и напряжений. По сравнению с изложенным в § 3-1 число уравнений и неизвестных тепеоь увеличилось, если предварительно не исключать из систе­ мы уравнений такие неизвестные, как токи обмоток возбуж­ дения, продольных и поперечных успокоительных обмоток синхронных генераторов и роторные токи асинхронных дви­ гателей.

Решение задачи указанным методом, выполненное как аналитически, так и на интеграторе, позволяет строго учесть свободные магнитные поля, связанные с неподвиж­ ными обмотками машин и другими неподвижными элемен­ тами цепи, и токи, соответствующие этим полям. Как след­ ствие этого могут быть найдены все апериодические (точ­ нее, почти апериодические) составляющие токов и напря­ жений и их распределение в цепи. Кроме того, строго учи­ тывается влияние продольной и поперечной успокоительных обмоток машин. Последнее производится введением опера­ торных полных сопротивлений, учитывающих необходимые параметры успокоительных обмоток. Помимо этого, учиты­ ваются влияние сосредоточенных емкостей линий электро­ передачи и влияние продольных компенсирующих емкостей,

198

если таковые имеются в линиях. Наконец, может быть точ­ но учтена двигательная нагрузка (асинхронные и синхрон­ ные двигатели) в местах ее действительного расположения. Указанные четыре фактора не могут быть правильно учте­ ны ни одним из других известных методов расчета.

Следует также подчеркнуть, что все эти явления учиты­ ваются во взаимной связи друг с другом и что расчет пе­ реходных процессов ведется при этом по двум осям — про­ дольной и поперечной, что необходимо при наличии в си­ стеме явнополюсных или неявнополюсных синхронных ма­ шин.

Если рассчитываются симметричные к. з., то число кор­ ней характеристического уравнения конечно. При этом рас­ чет возможно выполнить аналитически. Решение системы уравнений, составленных вышеуказанным способом для этого случая с учетом четырех важных факторов, отмечен­ ных выше, проводимое с помощью преобразований Лапласа или Фурье, позволяет назвать его линейным эталонным ме­ тодом расчета симметричных к. з.

Линейным метод назван потому, что он содержит такую важнейшую стадию расчета переходных процессов в любой линейной системе, какой является решение характеристиче­ ского уравнения. Отметим, что через эту стадию не прохо­ дит ни один из известных методов расчета токов к. з. (кри­ вые затухания, спрямленные характеристики, метод двух и трех точек, метод внутренних э.д.с.), даже если рассчи­ тываются токи на протяжении первых периодов после воз­ никновения к. з., когда система может считаться линей­ ной.

К характеристике всех других методов расчета токов и напряжений к. з. нужно сказать, что даже если они счита­ ются сравнительно с другими наиболее точными, то они не знают такой операции, как решение характеристического уравнения системы, что и указывает на их неточность.

Эталонным метод назван потому, что он позволяет учесть ряд важных факторов, отмеченных выше, чего сколь­ ко-нибудь точно нельзя сделать с помощью вышеуказанных других методов.

Если при расчете электромагнитных переходных процес­ сов учитываются автоматические регуляторы напряжения той или иной системы, уравнения для них составляются так, как указано в примерах, рассмотренных в § 2-7. При этом следует иметь в виду, что уравнения отдельных эле­ ментов того или иного регулятора могут быть нелинейны­

199

ми, как, например, уравнение движения' якоря электромаг­ нита и связанного с ним угольного столба в угольном регу­ ляторе напряжения.

3-3. МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ НЕСИММЕТРИЧНЫХ КОРОТКИХ ЗАМЫКАНИЯХ И ОБРЫВАХ В ОДНОЙ И В РАЗЛИЧНЫХ ТОЧКАХ ЦЕПИ

Как частный случай изложенного выше в § 2-6 и с уче­ том изложенного в § 3-1 и § 3-2, можно составить уравне­ ния для расчета переходных процессов, возникающих при несимметричных к. з. и обрывах, если при этом угловые скорости машин считаются постоянными. Иными словами, изложенный выше метод составления уравнений остается

стема дифференциальных уравнений, подлежащих решению, будет линейной, решать ее можно двумя методами:

1) Учитывая ненулевые начальные условия, сразу нахо­ дить переходные токи и напряжения. При этом вид несимметрии будет учитываться специальными уравнениями несимметрии, записываемыми для места несимметрии.

2) Применяя метод наложения, сводить задачу к нуле­ вым начальным условиям. Тогда сначала нужно находить аварийные составляющие токов и напряжений, но уже в схеме с нулевыми начальными условиями. Переходные то­ ки и напряжения получаются в итоге наложения аварийных величин на соответствующие величины, найденные для ре­ жима до коммутации.

Рассмотрим сначала, какими уравнениями определяет­ ся процесс двухфазного к. з. на зажимах синхронного ге­ нератора, работавшего до к. з. вхолостую при номинальном

Совместное решение на интеграторе системы пяти урав­ нений (3-31) — (3-35), в которых у всех величин нужно от-

zoo

вполне возможно. Однако -аналитическое решение их пред­ ставляет значительные трудности. Мы не ставим себе зада­ чей рассматривать это решение. Оно для несимметричных к. з. в одной точке было дано Д. А. Городским, В. С. Горо­ ховым, Чингом и Адкинсом и В. А. Тафтом [Л. 78, 79, 150 и 141]. Однако наличие периодических коэффициентов в урав­ нениях (3-61) и (3-62) позволяет сделать вывод, что число корней характеристического уравнения этой системы линей­ ных дифференциальных уравнений будет бесконечно боль­ шим, т. е. искомые токи и напряжения будут иметь беско­ нечно большое число нечетных гармоник в статоре и четных в роторе. Это можно установить и из физических соображе­ ний (см., например, [Л. 133]), принимая во внимание, что об­ мотка возбуждения генератора однофазная и что режим двухфазного к. з. в статоре приводит в нем также к одно­ фазной системе токов. Как известно, при проведении соот­ ветствующих рассуждений приходится раскладывать пуль­ сирующие магнитные поля в статоре и роторе на два поля, вращающихся в противоположных направлениях. Рассмат­ ривая их «отражения» от однофазных цепей статора и рото­ ра, мы и приходим к бесконечно большому числу гармоник.

Составление уравнений несимметричного к. з. вторым методом — приведением к нулевым начальным условиям — покажем в случае однофазного к. з. на зажимах генерато­ ра, работавшего до к. з. с напряжением, равным, например, номинальному.

Найдем фазное напряжение фазы а в принужденном ре­ жиме до коммутации:

Применив метод наложения, рассмотрим схемы рис. 3-6, В схему рис. 3-6,а введены в фазу а (в место к. з.) две рав­ ные и противоположные э. д. с. «апр— Схема рис. 3-6,6 да­ ет принужденный режим до коммутации, который считает­ ся известным. Аварийная схема рис. 3-6,в имеет нулевые начальные условия и подлежит расчету.

Для расчета аварийных составляющих токов и напряже­ ний имеем пять уравнений (3-31) — (3-35), причем в них нужно считать ю0 = const = и, отбросить у всех величин индекс 1 и изменить на обратные знаки у токов Чл и hq, ибо их положительные направления на рис. 3-6 выбраны от

201