книги из ГПНТБ / Страхов С.В. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока, 1960. - 247 c

Стало быть, аналогично выводу, сделанному выше для уравнений линии и статических нагрузок, заключаем, что, относя записанные для фазных токов, т. е. исходные урав­ нения первого закона Кирхгофа в любых узлах цепи к осям, жестко связанным с ротором СГ2, и решая их отно­ сительно соответствующих составляющих токов, будем иметь те же самые уравнения, которые получим, относя ис­ ходные уравнения первого закона Кирхгофа к осям, жест­ ко связанным с ротором СГ1.

Из теории линейных алгебраических уравнений извест­ но, что если некоторая их система содержит такую подгруп­ пу уравнений, которая может быть представлена решенной как относительно одних, так и других неизвестных, то в си­ лу того, что этот процесс решения является суммой опера­ ций сложения, вычитания, умножения и деления, произво­ димых тождественно над обеими частями каждого из урав­ нений, входящих в вышеуказанную подгруппу, решение ис­ ходной системы уравнений будет тем же самым, относи­ тельно каких бы неизвестных мы ни представили решенны­ ми уравнения вышеуказанной подгруппы, входящей в ис­ ходную систему уравнений.

Поэтому, получив при отнесении исходных уравнений линии и первого закона Кирхгофа в узле 2 к осям, жестко связанным с ротором второй синхронной машины, уравне­ ния (2-47) — (2-49) и (2-55) или вытекающие из них урав­ нения (2-53), (2-54), (2-49) и (2-57), можно с таким же

осям, жестко связанным с ротором первой синхронной ма­ шины.

При решении вопроса о том, к каким осям относить уравнения статических элементов сети и уравнения первого закона Кирхгофа, следует руководствоваться простотой по­ лучаемых после преобразования уравнений.

В качестве примера неизменности решений исходной си­ стемы уравнений, относительно каких бы неизвестных ни была решена подгруппа уравнений, входящая в эту систе­ му, рассмотрим систему следующих четырех уравнений с четырьмя неизвестными iJd. ilq, i2d, hq-

a i h d "Ь b x i fq + c x — 0;

/u + I„ c o ,3 - / ,, s i „ S - 0 : *1,7 + *2<? cos 3 + *2dsin 5 = 0;

h d + Ь2 h q + C% = 0.

110

Решив ее относительно ild и iu , получим:

(2-59а)

Решив теперь второе и третье уравнения (2-58) относи­ тельно i2d и i2q, найдем:

(2-60)

Составив теперь систему уравнений, состоящую из пер­ вого и четвертого уравнений (2-58) и двух уравнений (2-60) и решив ее относительно ild и i.2d, получим те же выражения (2-59). Это и доказывает правильность положе­ ния, сформулированного выше.

2-3. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУММАРНОГО ПОРЯДКА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО СТРУКТУРЕ ЦЕПИ

На основании изложенного выше можно, не составляя самих дифференциальных уравнений, определить по струк­ туре цепи их суммарный порядок.

При этом нужно иметь в виду следующее:

а) Синхронная машина (генератор, компенсатор или двигатель, явнополюсная или неявнополюсная) с продоль­ ной и поперечной успокоительными обмотками имеет сум­ марный порядок уравнений, равный 7, если в цепи имеется хотя бы еще одна синхронная машина, т. е. машина, обла­ дающая магнитной или электрической несимметрией [см. уравнения (2-1) — (2-4) в матричной форме или (2-27) — (2-29), (2-42) — (2-55) в развернутой форме]. При этом со­ гласно сказанному выше дифференциальные уравнения для нулевых составляющих мы в расчет не принимаем.

В рассматриваемом случае, как было отмечено, уравне­ ние движения ротора каждой из синхронных машин яв­ ляется дифференциальным уравнением второго порядка.

Таким образом, если в цепи имеется хотя бы одна син­

111

хронная машина, то включение каждой новой синхронной машины увеличивает суммарный порядок системы диффе­ ренциальных уравнении на 7.

Если в цепи имеется только одна синхронная машина, то суммарный порядок ее уравнений будет равен 6, ибо дифференциальное уравнение движения ее ротора будет иметь в этом случае первый порядок. Это объясняется пол­ ной (электрической и магнитной) симметрией цепи, присо­ единенной к статору единственного синхронного генерато­ ра, т. е. симметрией статических элементов и асинхронных двигателей. Благодаря этой симметрии угол 6 между маг­ нитной осью фазы а статора и продольной осью ротора

порядка дифференциальных уравнений закона Ома обмо­ ток статора и ротора, понижает на единицу порядок диф­ ференциального уравнения движения ротора.

При наличии в цепи хотя бы двух синхронных генера­ торов углы и 62 входят в уравнения первого и второ­ го законов Кирхгофа этой цепи, и уравнения движения ро­ торов обоих генераторов являются дифференциальными уравнениями второго порядка.

б) Неучет каждой из успокоительных обмоток синхрон-' ной машины понижает общий порядок ее дифференциаль­ ных уравнений на единицу.

в) Асинхронная машина имеет суммарный порядок ее дифференциальных уравнений, равный 5.

Уравнение движения ротора асинхронного двигателя при этом всегда является дифференциальным уравнением первого порядка, ибо в силу полной (электрической и маг­ нитной) симметрии асинхронного двигателя угол 0 между магнитными осями фаз а статора и ротора в уравнения це­ пей его статора и ротора не входит.

Таким образом, включение в цепь каждой новой асин­ хронной машины увеличивает суммарный порядок системы дифференциальных уравнений на пять.

г) Уравнения первого закона Кирхгофа в точках раз­ ветвления не являются дифференциальными и суммарного порядка уравнений не повышают.

д) Цепь статоров всех машин, т. е. неподвижную цепь, нужно разбить на простейшие независимые контуры и вви­

112

ду необходимости рассматривать для каждого из них диф­ ференциальные уравнения для продольных и поперечных составляющих, порядок дифференциального уравнения для каждого из контуров удваивается.

е) Если линия, сеть или статическая нагрузка представ­ ляются катушкой, имеющей сопротивление и индуктив­ ность, то последовательное включение ее со статором ка­ кой-либо из машин не увеличивает суммарного порядка дифференциальных уравнений системы.

ж) Если в цепь последовательно включен трансформа­ тор, то при неучете его тока холостого хода он также представляется в виде катушки. Если же ток холостого хо­ да учитывается, то в схеме замещения появляется ветвь хо­ лостого хода, т. е. появляется один дополнительный контур. А это в связи с необходимостью рассматривать уравнения для продольных и поперечных составляющих увеличивает суммарный порядок дифференциальных уравнений цепи на 2.

з) Если в цепи нет совсем синхронных машин (напри­ мер, когда один или несколько асинхронных двигателей или статических нагрузок и т. д. питаются от шин бесконечной мощности), то кет необходимости составления уравнений в отдельности для продольных и поперечных составляющих. Путем объединения продольных и поперечных составляю­ щих в комплексные величины токов и напряжений статиче­ ская нагрузка или линия электропередачи представляется дифференциальным уравнением первого порядка каждая, а асинхронный двигатель имеет общий порядок дифференци­ альных уравнений, равный 3. В этом случае включение в цепь каждой новой асинхронной машины увеличивает сум­ марный порядок системы дифференциальных уравнений на 3.

Проиллюстрируем метод определения суммарного по­ рядка системы дифференциальных уравнений по структуре схемы на примерах схем, приведенных на рис. 2-3 и 2-4.

На рис. 2-3 неподвижная часть цепи разбивается на три контура, например:

1)контур статор СП — статор АД1;

2)контур статор АД1 — линия Л — статор АД2;

3)контур статор СГ2 — статор АД2,

каждый из которых при необходимости учета продольных и поперечных составляющих дает два дифференциальных уравнения первого порядка, что составит общий порядок, равный 6. Каждая из синхронных машин дает общий поря­ док остальных уравнений, равный 5 (см. п. «а» § 2-3), а каждая из асинхронных — равный 3. Таким образом, сум-

марный порядок дифференциальных уравнений для всей цепи будет равен 22.

В схеме рис. 2-4 при учете токов холостого хода транс­

разбивается на девять простейших контуров, например, сле­ дующим образом:

1) контур статор С П — статор АД1, при необходимости учета продольных и поперечных составляющих, дающий по­ рядок 2;

2) контур статор АД1 — ветвь холостого хода схемы за­ мещения трансформатора Т1 (рис. 2-5), дающий порядок 2; 3) контур ветвь холостого хода схемы замещения транс­ форматора Т1 — компенсирующая катушка 2/дк, дающий

порядок 2; 4) контур компенсирующая катушка 2 Д К — емкость ли-

С*

нии —— , дающий порядок 4;

П4

8) контур ветвь холостого хода схемы замещения транс­ форматора Т2 — статическая нагрузка Н2, дающий поря­ док 2;

9) контур статора СГ2 — статическая нагрузка Н2, да­ ющий порядок 2.

Общий порядок системы вышеуказанных уравнений со­ ставит 24. Из этой цифры на долю трансформаторов 77 и Т2, линии и нагрузки Н2, т. е. статических элементов цепи (контуры 3—8)', приходится общий порядок, равный 18.

Каждый из двух синхронных генераторов дает общий порядок остальных уравнений, равный 5 (см. п. «а» § 2-3), что дает порядок 10.

Асинхронный двигатель дает общий порядок остальных уравнений, равный 3 (см. п. «в» § 2-3).

Таким образом, суммарный порядок дифференциальных уравнений для всей цепи будет равен 37. Из них на долю статических элементов приходится 18, т. е. больше полови-

ны. Отметим, что при замене линии не одним звеном, а не­ сколькими Т- или П-звень'Ями доля элементов линии (по­ следовательных индуктивностей и параллельных емкостей) в суммарном порядке системы дифференциальных уравне­ ний цепи возрастет еще больше. Этот факт будет иметь большое значение в последующем при выборе метода реше­ ния полученной системы дифференциальных уравнений.

Если несколько упростить схему (рис. 2-4), то при неучете продольных и поперечных успокоительных обмоток у обоих синхронных генераторов суммарный порядок уравне­ ний уменьшается на 4 и будет равен 33. Если к тому же пренебречь ветвями холостого хода в схемах замещения обоих трансформаторов, то суммарный порядок уравнений уменьшится еще на 4 и будет равен 29. Если пренебречь обеими компенсирующими катушками 2 и 2 то суммарный порядок уравнений уменьшится еще на 4 и бу­ дет равен 25.

Характерно, что даже в этом последнем случае обе син­ хронные машины и одна асинхронная машина дадут вместе суммарный порядок дифференциальных уравнений, равный 13. Оставшаяся величина 12 придется по-прежнему на ли­ нию электропередачи.

Изложенным методом целесообразно воспользоваться, имея, например, счетную машину непрерывного действия определенного типа, так как до начала расчета необходимо установить, чем в заданной цепи следует пренебречь, чтобы суммарный порядок ее дифференциальных уравнений не превышал максимальный порядок, допустимый для ма­ шины.

2-4. МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ПЕРЕХОДНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ СИНХРОННЫХ ГЕНЕРАТОРОВ, АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ, ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

И СТАТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

При составлении дифференциальных уравнений для каждой конкретной системы прежде всего нужно наиболее рационально выбрать вращающуюся систему координат, к которой относить уравнения всех статических элементов це­ пи (см. § 2-5). Для симметричных схем уравнения статиче­ ских элементов цепи, если число их невелико, можно отно­ сить к осям, жестко связанным с ротором любого из гене­ раторов [Л. ПО], что следует из симметрии самой схемы.

Метод составления системы уравнений проиллюстриру­ ем на конкретном примере достаточно общей схемы, при­

116

веденной на рис. 2-4. Эта схема практически симметрична, ибо тот факт, что на шины СГ1 включен асинхронный дви­

велико, следует применить способы «д» или «ж». Применим

синхронной скоростью <т„ , Уравнения для СГ2 и С П отне­ сем к координатным осям, жестко связанным с их ротора­ ми. Ниже будет 'показано, как на основании изложенного ранее можно сразу записывать уравнения всех элементов

ратные, ибо положительные направления их на рис. 2-1 и 2-2 с одной стороны и на рис. 2-3 и 2-4 взаимно противопо­ ложны:

(2 -61)

117

Появление множителей cos(0o — 0Х) и sin (б0 — 0Х) объясняется тем, что напряжение на зажимах СГ1 отнесено к синхронным осям.

Аналогично с заменой индекса 1 на индекс 2 запишутся уравнения для СГ2, так как уравнения последнего мы от­ носим к осям, жестко связанным с его ротором.

Уравнения для А Д 1 — см. (1-106) — (1-108):

118