Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Демин В.М. Авиационная картография лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

6.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

-20 -

Нус» ABC - сферический треугольник (рис.2 Л ) . Допустим, что вами найдены на сфере полюса сторон этого треугольника: А± - полюс

стороны а , В1 - полюс стороны 6	и С { - полюс стороны С .
Соединив Ai Bi Ci дугами большие кругов,	подучим сферический тре
угольник.
4

Треугольник А£В4 С£,вершины которого служат полюсами сторон тре угольника АВС , называется полярным относительно треугольникаАВС. Сферической геометрии доказывается, что если треугольник A j B ^

полярой относительно АВС , то и треугольник АВС полярен относи тельно A1Bi С1 , т .е . вершины А , В и С треугольника АВС явля ются полюсами сторон ^1^ 1иС1 треугольника Al Bi С±. Таким обра- 8<ж, рассмотренные два треугольника называются взаимно полярными.

Докажем,	что	с о о т в е т с т в е н н ы е		у г л ы	и
с т о р о н ы		в з а и м н о	п о л я р н ы х	т р е у г о л ь
н и к о в	в	с у м м е	с о с т а в л я ю т	1 8 0 ° :

А + а{ = В + = С + с±= 180е; '

(2.2)

А { + й - В1+ S - С^ + с =*i80°.

Возьмем угод А и сторону					-	21 -		и с до пе
Возьмем угод А и сторону				.	Продолжим стороны 6			и с до пе
ресечения	со стороной		di полярного			треугольника	в точках	К и	L,
(рис.2 .4 ).	Мы	знаем,	что сферический угол измеряется дугой больио-
го круга,	содержащегося между его				сторонами. Поэтому угол А равен
дуге KL .	А + а{ •KL+Ci K * K L * l B i =						С{1+КВ< .
	А + а{ •KL+Ci K * K L * l B i =						С{1+КВ< .
Вершина	Ci	- полюс стороны			с	, а вершина	В ^ -	полюс	сто
роны В ,	значит
а		С£ I = 90°			г/	K B i = 90
а		А + ai		= 180°.
		А + ai		= 180°.

Аналогичным образом доказываются и остальные равенства (2 .2 ) . Определим сумму углов сферического треугольника.

Рассмотрим взаимно полярные треугольники А ВС и Л Д С Д р и с .гЛ ).

В	сферическом	треугольнике АЛВ{	сумма сторон всегда больше нуля
и	меньше 360°,	т .е .

	О <	а£ + В 1 -ь с± *	360°.
Но из формул (2.2) следует, что
cl^	lso' - A ,	Bi = по°-В ,	ct	= m '-Q .
Подставив эти	значения в предыдущее выражение,			получим:

О ( ш - А ) +( т ° - В) + (180°- С ) + 300°

О * 540°- ( А + В + С) * 360°.

	Разность 540°	- (А + 5 +	С ) может быть меньше 360°				только
тогда, когда (А + В + С )			> 180°. Для того			чтобы эта	разность
была больше нуля,		необходимо,	чтобы	(А +	В +	С ) ■*- 540°.
	Следовательно,	во в с я к о м		с ф е р и ч е с к о м				т р е
у г о л ь н и к е		с у м м а	у г л о в		в с е г д а			б о л ь
ше	1 8 0 °	и м е н ь ш е		5 4 0 ° :
		А +В + С*			540°.			(2 .3)

			-гг -
Р азность 5	между	суммой углов сферического			треугольника и
180° назы вается	с ф	е	р и ч е с к и м	и з б ы т к о м :
		6	= ( А + В + С)	- 180°	(2 .4 )

Величина сферического избытка определяется отношение!!								площади	2
данного	сферического		треугольника 5		к квадрату	радиуса		сферы R	:
			б =	^2	•			(2.5)
При известных сторонах и одном угле сферического треугольника
сферический		избыток можно определить по формуле:
			а	S in	ё
		6	Sin—	S in	------
		6	2		2
		Sin		С	Sin С .
		2		С
			COS -----
				2
В знаменателе формулы должна быть					сторона, лежащая		против и звест
ного у гл а .
	§ 5 .	ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОСОУГОЛЬНОГО СФЕРИЧЕСКОГО
			ТРЕУГОЛЬНИКА
а ) Формула косинуса стороны. Эта формула выражает связь между
тремя сторонами сферического треугольника и одним из его								у гло в .
Для вывода ее построим трехгранный угол данного сферического
треугольника АВ С ( р и с .2 .5 ) .				Каждая из сторон треугольника изме
ряется соответствующим центральным углом в точке						0 ,	а угол А -
углом между		касательными АКи А £,			приведенными	в вершине А к
сторонам	6	и с .	треугольники АК£ и ОК £ .
Рассмотрим плоские			треугольники АК£ и ОК £ .
Из треугольника А

- 23 -

K g * = А Н 2+ А £ а- 2А К -АУе cos А .

Из треугольника ОКУР

куег = о к г+ о yes- 2 ок ■о cos a.

Приравниваем правые части полученных выражений:

A K S+A )£ S- 2AK ■А \е cosА = 0К2+ 0 У?~ 2 ОК- 0!£ cos a . (*)

Из прямоугольных треугольников ОАК и ОА У?находим квадраты

гипотенуз ОК и 0У£ :

0 К г= А К г + ОА 2 ,

OheS= А < £ 2 + 0 А г .

Подставим их значения в равенство ( * ) ■'

АК + АУ22- 2 АК АУР cosA =ARZ+ ОА^АУ?2* ОА-гОК-ОУЕcosa.

После приведения подобных и решения относительно COS й полу

чш е

	ОА	ОА	А ^	АК	cosА .
COS a	ОУР	ОК	+ оье	ок	cosА .

- 24 -

Но

ОА	■	ОА
О У	= C0S6 ■	~^7Г~“
О У		ок

Ai£ . АК

СОЗ С; ~~STS~sino;	т т т * = sin с .
' 0 £	ОК

Поэтому

co sa

= cos §

cos с +■sin б

sin

cos Л

. (2.6)

Итак,

к о с и н у с

с т о р о н ы

с ф е р и ч е с к о г о

т р е у г о л ь н и к а

р а в е н

п р о и з в е д е н и ю

к о

с и н у с о в

д в у х

д р у г и х

е г о

с т о р о н

п л ю с

п р о и з в е д е н и е

с и н у с о в

т е х

х е

с т о р о н

н а

к о с и н у с

у г л а

м е ж д у

н и м и .

При

помощи аналогичных построений ыохио получить формулы для

сторон

8 и

а именно:

cos б

= cos a

cos с

+ s in

s in

cos В ,

cos с

= cos а

соз £

+ s in

s in б

cos В .

6) Формула косинуса угла. Данная формула связывает три угла и одну сторону сферического треугольника. Проще всего она выводится при помощи полярного треугольника. На рис.2.6 треугольникДBJ Ct полярен данному сферическому треугольпку АВС. По формуле косинуса стороны для полярного треугольника запишем:

cos а{ - cos 6i cos сt + s in 6d s in c/ c o s A i .

Но в соответствии с выражениями (2.2)

ai = 180 - А ; 6{ - 180 - В , ct = 180 - С и А = 180 - а .

иоэтому

cos(180- А )= cos(180 °-B )co s(l8 0 - С)+ Sin (180°-B)sin(J80°-C)cos/tso‘- a)

ИДИ

- cosA = cos В cos C - sin В sinC co sa .

- 25 -

Рис. 2.6

Пеняя знаки у всех членов равенства на обратные, окончательно

получив:

cosА = - cos В cos С '+ sin В sin С cosа .

(2.7)

Действуя тем же путем, для двух других углов треугольника полу

чим аналогичные формулы:

cosB =-

cosA

cos О + sinA

sinО ■cos6,

cos С **- cosA cosВ + SinA SinВ cos с.

Формула (2 .7)

читается

следущим образом:

к о с и н у с

у г л а

с ф е р и ч е с к о г о

т р е у г о л ь н и к а

р а

в н я е т с я

о т р и ц а т е л ь н о м у

п р о и з в е д е н а !

к о с и н у с о в

д в у х

д р у г и х

у г л о в

п л ■ с

п р о и з в е д е н и е

с и н у с о в

т е х

н е

у г л о в

н а

к о с и н у с

с т о р о н ы ,

п р о т и в о л е ж а щ е й

п е р в о м у

у г л у .

в)

Формула синусов.

Она выражает зависимость между двумя сторо

нами сферического треугольника и двумя противоположными углами.

Для вывода этой формулы вновь построим трехгранный угол оферя-

ческого треугольника АВС (рис.2 .7 ). Из вернины

А опустим перпен

дикуляр AM на грань ВО С. Из точки

М олуотжм перпендикуляры

и М К

на

стороны ОС

ОВ

. В полученных прямоугольных треуголь-

- 26 -

вякахАМЯ! яАМК углы ££ и К являются линейными для соответ ствующие двугранных углов трехгранника и поэтому соответственно равны углам С в В , т .е .:

+ я? = ^ с , + к в.

Ив прямоугольных треугольников АМ£ и АМН находим:

AM = А Я! sin С}

AM = АК sin В .

Значения А Я! и АК получим из прямоугольных треугольников ОАЯ? и ОАК , в которых прямыми углами являются Я? и К :

Ai£=>0Asin$, А К = ОA sin с .

Сучетом последних выражений предыдущие равенства перепишем

вследующем виде:

AM = ОA sinS sin С ,

AM = ОА sine sin В .

Приравняв правые части равенств, получим:

Sin 6 sinC = sine sin В

		- 27
или
		SinC
	sinВ	SinC
Точно так же можно доказать,		что
Sin a	Sin&	Siпа	Sine
Sin A	sin В	и	Sin С
Sin A	sin В	SinA	Sin С

Из приведенных формул синусов можно принять за независимые только две, так как третья является их очевидным следствием. Объ единив эти формулы, можно записать:

		Sin a	sinS
		SinA	sin В
т .е .	в С-ф е р и ч е с к о м			т р е у г о л ь н и к е		о т
н о ш е н и я		с и н у с о в	с т о р о н		к с и н у с а м
п р о т и в о л е ж а щ и х			и м	у г л о в	р а в н ы	м е ж

ду с о б о й .

г) Формула пяти элементов. Эта формула выражает зависимость меж ду тремя сторонами и двумя углами или между тремя углами и двумя сторонами сферического треугольника.

Установим зависимость между тремя сторонами и двумя углами тре

угольника АВС (р и с.2 .8 ).

Рис. 2.6

- 28 -

Для вывода применим формулу косинуса стороны:

cos а	=» cos ё cos с + sin ё sin a cosА
cos ё	- cos a cose + sin a sin с cos S .

Умножим обе части верхнего равенства на COSс и сложим с ниж ним:

cos£+cosacosc-cosa cosс +ш ё coseа +sin a sine cosfi+sinisinсcosс cosА .

После сокращения и приведения подобных членов подучим:

cos ё

/V- cossc )

-sin a sin с cos£+sin / sin с соs c cosА .

Разделим

обе части равенства на

Sin с :

cos £ sin с - sin a

cos £ * sin£cos с cos A .

Сделав

требуемую перестановку, окончательно запишем:

Sina

cos£ - sin с cos£ - cosс sin ё cos А .

(2.9)

Данная формула читается

следующим образом: п р о и з в е д е

н и е

о и н у с а

с т о р о н ы

н а

к о с и н у с

п р и

л е ж а щ е г о

у г л а

р а в н о

п р о и з в е д е н и ю ,

с и н у с а

д р у г о й

с т о р о н ы ,

о г р а н и ч и в а

ю щ е й

3 т о т

у г о л ,

н а

к о с и н у с

т р е т ь е й

с т о р о н ы

м и н у с

п р о и з в е д е н и е

к о с и н у -

о а

з т о й

д р у г о й

с т о р о н ы

н а

с и н у с

т р е т ь е й

с т о р о н ы

н а

к о с и н у с

у г л а

м е ж д у

н и м и .

Пользуясь

сформулированным правилом,

можно записать любую из

нести формул, в левой части каждой из которых будет сочетание двух

элементов -

о и н у с а

с т о р о н ы

н а

к о с и н у с

у г л а .

Под этим последним наименованием

часто

и фигурирует

данная формула.

Найдем выражение связи трех углов и двух сторон сферического треугольника. В этом случае формула пяти элементов будет называться формулой с и н у с а у г л а н а к о с и н у с с т о р о н ы .

- 29 -

Применим формулу (2 .9) для полярного треугольника:

sina cos В( =sin al cos Л* —cos ad sin / cosА^ .

С учетом выражений (2 .2) указанное равенство примет вид:

sin(/go - A ) cos (/80 - S) = sin(/80- G) cos(/80-B)~

—COS(/80 °—GjSin(/80°-B)cos(/80 aj.

откуда

-Sin A co sf= - sin G cosB - cos G sin В cosa .

Изменив у всех членов знаки на обратные, окончательно получим:

		sin A cosf =sin GeosВ +cos G sin В cosa ,									(2.10)
т .е .	п р о и з в е д е н и е					с и н у с а			у г л а	н а	к о
с и н у с		п р и л е ж а щ е й				с т о р о н ы			р а в н о		i p о-
и з в е д е н и »			с и н у с а			в т о р о г о			у г л а ,		п р и
л е ж а щ е г о			к	т о й		ж е	с т о р о н е ,			н а к о
с и н у с		т р е т ь е г о			у г л а		п л в с		п р о и з в е
д е н и е		к о с и н у с а			в т о р о г о			у г л а		н а	с и
н у с	т р е т ь е г о			у р л а		и	н а	к о с и н у с			с т о
р о н ы		м е ж д у		э т и м и		д в у м я		у г л а м и .

д) Формула четырех элементов, или Формула котангенсов.

Формула выражает связь между двумя сторонами и двумя углами, расположенными последовательно (р я с .2 .9 ). Для вывода воспользуем ся формулой пяти элементов и формулой синусов.

sinS cosA =sin с cosa-cosc sina cosВ,

sinS

sin a

SinВ SinA

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
21.10.20239.02 Mб24Действительные члены Всесоюзного минералогического общества справочник..pdf
#
23.10.20234.12 Mб21Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf
#
19.10.20232.15 Mб17Дементей, Т. Н. Как читать баланс.pdf
#
23.10.20237.44 Mб14Демидов Ю.М. Измельчение древесины для производства древесностружечных плит.pdf
#
20.10.20238.7 Mб14Демидов, В. Е. Магистрали пяти измерений.pdf
#
29.10.20236.86 Mб15Демин В.М. Авиационная картография лекции.pdf
#
29.10.20231.72 Mб11Демин И.А. Что надо знать механизатору.pdf
#
19.10.20235.04 Mб11Демирчоглян, Г. Г. Бионические информационные системы зрения.pdf
#
22.10.202315.46 Mб20Демирчян, К. С. Моделирование магнитных полей.pdf
#
25.10.202313.28 Mб42Ден Г.Н. Механика потока в центробежных компрессорах.pdf
#
29.10.20235.27 Mб7Денисов А.П. Н. Г. Курганов - выдающийся русский ученый и просветитель XVIII века.pdf