книги из ГПНТБ / Демин В.М. Авиационная картография лекции

- 50 -

Таким образом, максимальное искажение углов на проекции всегда в два раза больше максимального искажения направлений в данной ее точке.

т .е . масштаб площадей в данной точке равен произведению максималь­ ного и минимального масштабов в этой точке проекции.

На многих проекциях, применяемых в интересах навигации, главные направления совпадают с направлениями меридианов и параллелей. Частные масштабы по меридиану и параллели принято обозначать че­

(3.16)

т+ п

Р- т п .

- 51 -

Таким образом, зная параметры эллипса искажений, можно подсчи­ тать величины искажения длин и направлений в данной точке проекции по данному направлению и определить масштаб площадей.

§ 10. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРУ ИСКАЖЕНИЙ

Каждой проекции свойственны свои искажения. Одни проекции точно передают углы, но искажают длины и площади. На других не искажаются

-равноугольны^ (конформные);

-равнопромежуточные (эквидистантные);

-равновеликие (эквивалентные);

-произвольные.

Р а в н о у г о л ь н ы м и называют такие проекции, в которых направления и углы изображаются без искажений, т .е . действительно соотношение

оС = f i .

Но

Откуда

Таким образом, условием равноугольное» является равенство частных масштабов в данной точке проекции по главным направлениям. Элементарный кружок глобуса изобразится в такой проекции также кружком радиуса Ч , но отличным от оригинала нр площади. Это зна­ чит, что в таких проекциях сохраняется подобие бесконечно малых фи-

52

гур (отсюда название проекций - "конформные"). Масштаб в равноуголь­ ной проекции постоянен в точке по всем направлениям, но изменяется при переходе от точки к точке.

Равноугольные проекции получили широкое распространение в нави­ гации, так как они позволяют наиболее просто определять направления и углы. Кроме того, практически без искажений передается конфигу­ рация небольших площадных ориентиров, что важно при ведении визу­ альной ориентировки в полете.

Р а в н о п р о м е ж у т о ч н ы м и называют проекции, в ко­ торых во всех точках по одному из главных направлений частные мас­

равноугольна.

В самолетовождении равнопромежуточные проекции применяются главным образом для мелкомасштабных справочных карт и бортовых карт звездного неба.

Р а в н о в е л и к и м и называются проекции, в которых плоцадь изображаемой фигуры равна площади этой же фигуры на гло­ бусе. Значит, масштаб площадей

Р = а S =1,

Отсюда

направлений. Элементарный кружок, взятый на глобусе, изобразится на проекции равновеликим эллипсом, т .е .

щие ни одно из указанных выше свойств. Но следует иметь в виду, что иногда оказывается выгодно иметь такую проекцию. Дело в том, что при решении навигационных задач приходится измерять не только углы, но и расстояния. Равноугольные проекции могут давать большие искажения длин, а равнопромежуточные - большие искажения углов. Поэтому в ряде случаев лучше иметь произвольную проекцию, которая, не являясь ни равноугольной, ни равнорромехуточной, давала бы весьма незначительные искажения углов и длин.

§ I I . СПОСОБЫ ПРОСТЕЙШЕГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ

СФЕРОИДА НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ

'-ч

Рассмотрим более детально возможности получения указанных выше четырех групп проекций при проектировании поверхности сфероида на поверхность сферы. Решение этой задачи представляет интерес по двум причинам: во-первых, указанную операцию приходится выполнять при создании двойных проекций; во-вторых, при анализе способов проекти­ рования представляется возможным выбрать такую сферу, на поверх­ ности которой можно решать навигационные задачи с максимально воз­ можной точностью.

Следует иметь в виду, что разработано большое количество спосо­ бов изображения (проектирования) поверхности сфероида на сфере. Ни­ же будут рассмотрены только простейшие из них.

П р о с т е й ш и м и и з о б р а ж е н и я м и сфероида на сфере*) называют сплошные (безразрывные) однозначные изображения, симметричные относительно экватора и всех меридианов. Однозначность означает, что всякой точке поверхности сфероида соответствует толь­ ко одна точка на поверхности сферы.

х) Детальное исследование рассматриваемого вопроса, разработка общей приближенной теории и определение параметров, характеризующих точность изображения, принадлежат перу профессора В.В.Каврайского.

- 55

При таком изображении без искажений передаются координаты точек, но искажаются длины, углы и площади.

2)Равноугольное изображение, при котором углы между любыми на­ правлениями на сфероиде изображаются на сфере без искажений, но имеют место искажения длин и площадей. Сферические широты не равны широтам географическим

3)Равновеликое изображение, в случае которого поверхность сфе­ роида изображается на поверхности равновеликой сферы. Искажения

углов и длин имеют место Lp $ .

5) Изображение, равнопромежуточное по параллелям. При таком изображении сферическая широта равна широте параметрической (<Р= U ).

Если частный масштаб по параллели П = I , то изображение можно определить как перспективу сфероида на касательную по экватору сфе­ ру лучами, параллельными оси вращения (рис.3 .4 ).

С

Рис. 5.4

- 56 -

Вше было указано, что сферическая широта является функцией ши­ роты геодезической:

'f - f ( £ ) ■

Эту функцию для всех простейших изображений можно представить тригонометрическим рядом вида:

'f’if{B) = B-<^ezsin2 B + ^i в4sin 4В - y s е6sin 6В

где ^ ' ^i' Чг ' *•* “ конечные числа, не зависящие от эксцентри­ ситета е .

Радиус сферы, на которой изображается сфероид,

ности можно пренебречь. Тогда

Пусть наибольшие относительные искажения длин по указанным направле­

визны меридиана сфероида. Аналогичным образом частный масштаб по

ПJfcosB d l

Радиусы кривизны М и J f равны:

_А

M=a ( i - e s) ( i - e 2sin*B) 2;

_ х

2 2 2

Я жa ( i - e sin В)

= cosB(i+ 2yeZs in B )= cosB(i+<}ег- у eScos2B) .

Если в выражениях частных маснтабов разложить в ряды члены с

- 59 -

После приведения подобных членов полно записать следующие выра­ жения наибольших относительных искажений длин по иеридианам и па­ раллелям:

"(3.22)

Наибольшее искажение углов