книги из ГПНТБ / Демин В.М. Авиационная картография лекции
.pdf- 140 -
На экваториальных листах каксиыалыше искажения длин составляют около 0,7%, а наксиыальнне искажения углов на крайних меридианах равны 41*.
В средних ш ротах искажения длин достигают 0,54%, а углов - 0°,5 В практике навигационных измерений такими искажениями как правило пренебрегают.
Линии пути и линии положения в пределах одного листа карты про кладывают по тем же правилам, что и на карте 1:1 000 000.
Склейка блока даже из четырех листов нецелесообразна. Угловой разрыв между двумя листами
Ь - 3 °,7 7 COS |
, |
(7 .8 ) |
за счетчего линейныеразрывы *С между нерздианаыы н к ыежду параллелями в миллиметрах (ри с.7 .4) составляют:
к - б б т ^ ср б л . | |
(7 ' 9) |
|
Такой разрыв нельзя |
ликвидировать за счет |
деформации бумаги, |
да и искажения длин в месте разрыва исчисляются несколькими десят ками километров.
Склеивать листы можно в колонку или в полосу карт.
§ 30. БОРТОВАЯ КАРТА МАСШТАБА 1:4 000 000 В ВИДОИЗМЕНЕННОЙ ПОЛИКОНИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ
Карта маситаба 1:4 000 000 представляет собой изображение на плоскости в видоизмененной поликонической проекции сфероидической
трапеции размерами 24° по широте и |
36° по долготе. Это значит, что |
|
линейные размеры участка Земли в |
два раза, а площадь - в четыре ра |
|
за больше размеров, изображаемых |
на |
двухыиллионке. |
Принцип построения координатной |
сетки тот же, что и на двух пре |
|
дыдущих картах с той лишь разницей, |
что в натуральную величину |
|
изображены не крайние параллели листа, а параллели, отстоящие от средней на 8°50' к северу и 8°10(* к югу (в северном полушарии). Это обеспечивает уменьшение максимальных искажений и более равномерное их распределение по иироте в пределах листа (р и с .7 .5 ). Меридианы, строящиеся в натуральную величину, отстоят от среднего на 12° х э а - паду и к востоку.
Рис. 7.5
Большие размеры сфероидических трапеций, проектируемых на плос кость, обусловливают и существенные искажения длин и углов. Так,на
экваториальных |
листах |
на крайних |
меридианах максимальные искажения |
|
длин достигают |
2,8%, |
углов - 2 °. |
В |
поясе средних иирот искажения |
уменьшаются до 1-1,5% |
в длинах и 1 |
-1°,5 в углах. |
||
Необходимо иметь в |
виду, что при измерении направлений, отсчиты |
|||
ваемых от меридианов, |
появляется |
дополнительная ошибка за счет их |
||
спрямления. Действительно, международная проекция представляет собой видоизменение простой поликовической проекции, в которой меридианы -
сложные кривые. За счет их спрямления в измеренный азимут |
войдет по |
грешность, достигающая наибольмей величины в углах листа. |
На карте |
1:4 000 000 она может составлять несколько градусов (до |
3 ° ). |
§31. ОТКЛОНЕНИЕ ОРТОДРОМИЙ ОТ ПРЯМОЙ НА КАРТАХ
ВВИДОИЗМЕНЕННОЙ ПОЛИКОНИЧЕСКОИ ПРОЕКЦИИ
Карты в видоизмененной поликоннческой проекции находят широкое применение при решении задач самолетовождения с помощью современных
комплексных систем. Б связи с этим особое значение приобретает опре деление уклонения ортодромии от прямой, соединяющей крайние точки ортодромического этапа, и расчет длин ортодромий, заменяемых прямы ми, при заданной величине уклонения. Рассмотрим более подробно этот вопрос.
Математическая основа международной проекции достаточно сложна. Для упрощения рассматриваемой задачи можно с некоторым приближением представить ее как равноугольную проекцию на конус, секущий глобус по тем параллелям, на которых масштабы равны единице. Тогда орто дромия будет близка к окружности.
Я
Рис. 76
Угол между прямой и ортодромией (рис.7 .6) определяется соотно шением (6 .8 ):
рота параллели с наименьшим масштабом,
Зная угол U » можно определить радиус кривизны ортодромии и
ееуклонение от прямой Из прямоугольного треугольника АОД , в котором сторона АД
равна половине длины хорды |
) и |
АОД = И , находим: |
Подставив значение U |
- 143 - |
, получим: |
^ ( s i n %p S i n % ) '
Если взять разность долгот в градусах, то
57, Ъ S
(7 .10)
A \°{S iru p c -S in ip 0) |
' |
Из геометрии известно, что стрела сегмента |
(в нашем случае - |
боковое уклонение ортодромии от |
прямой) А<~ равна: |
|||
|
(i-C O S U ) , |
|
|
|
Но |
|
|
|
|
|
|
г |
и |
|
i-C O SU = 2 S in —— • |
||||
|
|
|
|
2 |
Для малых U |
|
|
|
|
. и |
~ |
I |
|
|
S in ----- |
—— S in и . |
|||
2 |
|
2 |
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
i- c o s u |
|
1 . |
г |
и |
|
s in |
|
||
|
|
2 |
|
|
и |
|
|
|
|
о |
^ |
г |
и |
( 7 .II ) |
А -с = |
— |
Sin |
||
- 144 -
Но из прямоугольного треугольника АОД находим:
_ S _
Sin и
С учетом последнего равенства выражение ( 7 .I I ) принимает вид:
|
|
(7.12) |
После замены % |
его значением из формулы (7 .1 0 ), получим: |
|
а г |
|
(7.13) |
Из формулы (7.13) |
видно, что А г |
при данных значениях/? иЛ-А |
будет тем больше, чем больше разность синусов широт средней точки
одадромии |
и параллели с |
наименьшим масштабом. Отсюда следует, |
что |
||||||
наибольшие |
отклонения от прямой должны быть в случаях, |
когда |
орто |
||||||
дромия проходит вдоль крайних параллелей листа. |
|
|
|
||||||
Для иллюстрации возможных отклонений А £ |
приведем результаты |
||||||||
расчетов для трех частных случаев. |
|
|
|
|
|||||
Случай первый. Карта масштаба 1:1 000 000, разность долгот |
|
||||||||
Л А = 6°, |
ф0 |
= 54°, Щр = 56°. Длина ортодромии |
$ |
= 373 км, |
|||||
отклонение Л •?= |
0,1 |
км. |
Практически в пределах листа ортодромия |
||||||
совпадает |
с прямой, |
так |
как |
в масштабе карты равно |
0,1 мм. |
||||
Случай второй. Карта |
1:2 |
000 000, |
= 52°, |
(pQ= 46°. |
|||||
А |
\ ° |
6 |
12 |
18 |
|
|
|
||
S , |
|
км 463 |
947 |
1400 |
А |
|
0,4 |
1,7 |
3,7 |
- I#5 -
При законе ортодромии прямой в пределах листа максимальное от клонение в средних широтах не превышает 2 мм, что соответствует на карте 4 км.
Случай третий. Карта |
1:4 000 000, |
( р о = 40°, |
|
52°. |
|
А А 0 |
12 |
18 |
24 |
30 |
36 |
5 , км |
820 |
1220 |
1610 |
2000 |
2360 |
а £} к м |
3 |
7 |
12 |
18 |
26 |
На данной карте уклонения ортодромии от прямой могут быть доста точно ощутимыми. При длине прямой порядка 1200 км уклонение дости гает примерно 2 мм.
Рассмотрим поведение ортодромии на стыке двух листов, склеенных по смежной параллели. Воспользуемся для этого методикой, предложен ной Н.Г.Рачковским. Для простоты рассуждений возьмем линию пути, совпадающую с меридианов. Средний меридиан одного листа является продолжением среднего меридиана другого листа. В этом случае орто дромия совпадает с прямой. Ортодромия, проходящая по любому друго му меридиану, на стыке листов будет претерпевать излом. Угол излома будет увеличиваться по мере приближения к крайнему меридиану.
Обратимся к рис. 7 .7 . На нем АСВ - заданная ортодромия дли ной $ . Линия склейки делит ее пополам. Угол излома ортодромии, совпадающей с крайним меридианом, равен половине углового разры ва <5 блока, поскольку продолжение меридиана АС делит б попо лам. Его можно определить как разность углов схождения средних я крайних меридианов рассматриваемых листов, т .е .
6 |
ЛХ |
Sin %f |
Д А |
_ |
АЛ /_. |
|
- |
- — |
~— |
Sinipv _ |
=— {s<n</>v J |
||
где Гср.1 и |
%р.г |
- |
средние широты склеенных листов; |
|||
|
|
а £ |
- |
половина ширины листа карты по долготе. |
||
г
-1 4 6 -
Из треугольника ВСД |
наибольшее |
боковое уклонение |
А С орто |
|
||||
дромии АСВ |
от прямой |
АВ |
равно: |
|
|
|
|
|
|
|
4 / |
- - S - |
|
i ) . |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 $ |
{80 —-t-ACB “ti80°-(i80°-— |
, |
\ |
ь |
||||
откуда О |
- - . |
|||||||
|
|
|
|
V |
2 / 2 |
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A t - |
|
|
|
А Л |
|
|
|
|
|
|
|
( ы |
Г'р г х щ |
?,)- |
||
|
|
|
|
|
||||
В последнем равенстве А А в радианах. Если брать эту величину в градусах, то
- 147 -
или
|
л г |
S л А° |
( Sin %P 2~S in |
(7 .1 4 ) |
||
|
458 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
По формуле |
(7.14) |
значение А -8 |
|
определяется в тех же единицах, |
||
что и длина ортодромии. |
|
|
|
|
||
Во многих случаях приходится по допустимой величине бокового |
||||||
уклонения A Z |
определять длину ортодромии, котврув можно заменить |
|||||
прямой линией на карте. Тогда из формулы (7.14) получаем: |
|
|||||
|
S |
458 |
|
|
|
(7.15) |
|
|
* X' № |
' f ' P r * |
i n 'PcP i ) |
|
|
Ниже приводится |
табл. 7.2 длин |
ортодромии, |
рассчитанных в ки |
|||
лометрах по формуле (7.15) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
7. 2 |
|
Таким образом, требуемая точность прокладки ортодромии на карте определяет и возможности замены ее прямой линией при переходе с листа на лист.
- 148 -
Если считать допустимым уклонение на карте I ш , то допустимая длина линии пути, расположенной вдоль меридиана, будет на карте 1:2 000 000 - около 400 км, а на карте 1:4 000 000 - вдвое меньше.
При линейном боковом уклонении на местности 10 км длина ортодромии, прокладываемой в виде прямой, возрастает до 2000 км на двухмиллион но и до 500 км - на четырехмиллионке. Для миллионки рассчитана толь ко одна длина ортодромии. Она в четыре раза больше склееных карт.
Величина допустимого значения А ■£определяется в каждом кон кретном случае требуемой точностью самолетовождения и возможностя ми применяемых технических средств.
Определим отклонение ортодромии от прямой при переходе на сосед ний лист, смежный по меридиану (р и с .7 .8 ). Точки А и В (началь ная и конечная точки ортодромии) расположены на одной широте и на одинаковом удалении от меридиана склейки. Тогда на этом меридиане
должна находиться точка |
вертекса V |
< в которой |
ортодромия со |
||
ставляет с меридианом прямой угол. Если в пределах |
одного листа |
||||
считать ортодромию за прямую, то между точками |
А |
и |
В она прой |
||
дет по линии A VВ , а |
отрезок меридиана V C |
между вертексом и |
|||
прямой составит боковое |
уклонение А -6 |
ортодромии |
от |
прямой линии. |
|
Направление ортодромии в точке вертекса определяется направлени
ем касательной к параллели в |
этой |
точке. Прямые V |
A |
и V B и явля |
ются такими касательными. То, |
что |
эти касательные |
не |
совпадают, |
свидетельствует об изломе параллелей на стыке листов. Угол излома
обозначим буквой Q . |
|
* |
Из треугольника VBG получим отклонение Л ъ |
ортодромии от пря |
|
мой: |
|
|
А / = — |
• - 9 — • |
(7.16) |
2 |
2 |
|
Найдем угод Q . Примем параллели за дуга окружностей, радиусы которых J3=*IfctQ,B . Для приближенного расчета заменим радиусы кривизны первых вертикалов радиусом земной сферы. Тогда J3xPciQ ,(P. Необходимые углы в радианах определим как отношения длин дуг к ради усу:
- 149 -
О
Рис, 7.8