книги из ГПНТБ / Демин В.М. Авиационная картография лекции

170 -

Из эхах уравнений видно, что радиусы параллелей пропорциональ­ ны котангенсам их иирот. Значит экватор нельзя изобразить на про­

- 171 -

т t} oCt

то с учетом выражений (8 .16) получим:

(гномоническим) транспортиром, разметка икал которого выполнена в

i—cos(90*- 4>)

i+ cos(90°- ip)

Таким образом,

- 172 -

Из выражения (8.19) видно, что в полюсе проекции искажения на­ правлений равны нулю. При удалении от полюса искажения возрастают и стремятся к 90° при приближении к экватору.

Обратимся вновь к частным масштабам. Формулы (8.16) показывают, что тп—П только в одной точке - полюсе проекции, так как C0S6С2 90° =COSec 90° = I . Во всех других точках т^тг , по­ этому эллипс искажений вытянут по меридиану. Степень вытянутости

Уже на удалении 10° от полюса максимальные искажения углов до­ стигают около 1°, а на параллели 70° они превышают 3 °,5 . Эти дан­ ные подтверждают необходимость пользования гномоническим тран­ спортиром.

Искажения длин также существенны. Для уменьшения ошибок измере­ ния расстояний на навигационные карты данной проекции наносятся масштабные шкалы, подобные шкалам карт стереографической проекции

(р и с .8 .5 ) .

Порядок действий при измерениях расстояний аналогичен изложен­ ному выше с той разницей, что измеряемый отрезок следует перено­

- 173 -

Замечательным свойством центральной проекции является то, что любая ортодромия на ней изображается прямой линией. В связи с этим проекцию называют ортодромичной. Действительно, ортодромия - дуга большого круга, плоскость Q, которого всегда проходит через центр земной сферы и, следовательно, через точку зрения 0 (рис.8 .1 0 ). Все лучи зрения лежат в одной плоскости. Ортодромия подучается как след пересечения плоскости большого круга с картинной плоскостью Q, . Но две плоскости пересекаются в пространстве по прямой. Значит, ор­ тодромия должна изображаться прямой карты.

Рис. 8J0

Ортодромичяость проекции обусловила ее широкое применение в пе­ риод освоения района Арктики. Однако в настоящее время она исполь­ зуется главным образом для графического определения элементов орто­ дромии. Так, например, для определения координат промежуточных то­ чек достаточно начальный и конечный пункты ортодромического этапа соединить прямой линией, выбрать требуемое количество промежуточных

Сложность изображения всех других линий положения и большие ис­ кажения углов и длин ограничивают сферу практического применения проекции решением указанной выше задачи.

Для решения некоторых специальных навигационных задач нашли при­ менение гномонические сетки.

Свойство ортодромичности присуще любой центральной проекции, в том числе и косой. Это позволяет применять данную проекцию для со­ здания карт, используемых на наземных радиопеленгаторных базах.

При наличии такой карты истинные пеленги от радиопеленгатора на са­ молет прокладываются в виде прямых линий вне зависимости от даль­ ностей до них.

Рис. 8 .д

При таком проектировании сферические меридианы как дуги больших кругов изобразятся прямыми линиями, а параллели - дугами кривых второго порядка. Действительно, лучи зрения всех точек какой-либо параллели образуют коническую поверхность, которая в пересечении с плоскостью даст эллипс, параболу или гиперболу.

Частные масштабы по главным направлениям равны:

т / = sec S z I }

(8 .22)

п ' = sec z 1 .

Искажения по характеру и величине соответствуют искажениям цент­ ральной полярной проекции. Значит, в точках расположения радиопе­ ленгаторов имеют место искажения углов. Откладываемый на карте угол

Р следует рассчитывать по формуле:

(8.23)

или пользоваться упоминавшимся выше гномоническим транспортиром. Для прокладки истинных пеленгов самолетов от радиопеленгаторов целесообразно на карте в точке стояния последних размечать азиму­

тальную шкалу, рассчитанную по формуле (8 .2 3 ).

§ 36. УРАВНЕНИЯ И СВОЙСТВА ОРТОГРАФИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ

Ортографическая проекция получается при геометрическом проекти­ ровании поверхности глобуса на плоскость из точки зрения О

- 177 -

Координатные линии нормальной сетки пересекаются под прямым уг­ лом, значит, они совпадают с главными направлениями эллипса иска­ жений. Определим частные масштабы по этим направлениям.

Масштаб по меридиану т равен отношению бесконечно малого от­ резка его на проекции d p к соответствующему бесконечно малому отрезку на глобусе R d z :

Учитывая, что d k -d )f , получим:

Частный масштаб по одному из главных направлений равен единице. Параллели изображаются в натуральную величину. Проекция равнопро-

изведение частных масштабов отличается от единицы, что свидетель­ ствует о наличии искажения площадей.

Наибольший масштаб по меридиану имеет место в полюсе проекции;

он равен единице. В этой точке искажения отсутствуют, так как в ней ТТ1 - П = I . С увеличением угла 2 уменьшается щ . Эл­

липс искажений сжат по меридиану нормальной сетки.

. Табл. 8.5 иллюстрирует искажения на картах рассматрива-

емой проекции.

- 178 -

и масштабной линейкой на картах ортографической проекции нельзя. Это в значительной степени умаляет ее ценность.

Проекция нашла применение в астрономии. В ней составлено боль­ шое количество карт Луны. Действительно, угловой диаметр Луны не превышает 33 40 , поэтому ее фотография иди рисунок весьма близ­ ки к ортографической проекции. Еще в большей степени близки к этой проекции фотографии Солнца и планет, находящихся на удалениях, в сотни раз превышающих расстояние от Земли до Луны.

КАРТЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ

Цилиндрические проекции получатся при переносе поверхности гло­ буса на боковую поверхность касательного или секущего цилиндра с последующей разверткой его на плоскости. Общие уравнения проекции

в прямоугольных координатах X 1 , выражаются соотношениями:

* ' - / ( ? ' ) ; у ' - с л ‘>

где С ~ постоянная проекции.

йеридианы нормальной сетки цилиндрических проекций изображаются параллельными прямыми, расположенными на расстояниях, пропорциональ­ ных разности долгот, параллели - прямыми, перпендикулярными меридиа­ нам.

Цилиндрические проекции можно рассматривать как частный предель-. ный случай проекций конических, когда вершина конуса удаляется в бесконечность. Это позволяет общую теорию картографических проекций применить и к цилиндрическим проекциям.

§ Я . НОРМАЛЬНАЯ РАВНОУГОЛЬНАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ*)

Получим уравнения проекции, преобразовав общие уравнения равно­ угольных проекций (5 .8) и (5 .4 ):

где IJ = i(jr (45°+ -Р-),

к - радиус экватора на карте,

______ оС - синус широты параллели с наименышы масштабом.

х) Предложена в 1569 г . фламандским картографом и математиком Меркатором (Кремером), в связи с чем часто называется проекцией

Меркатора.