книги из ГПНТБ / Демин В.М. Авиационная картография лекции
.pdf60 -
~ { l +C0S 2 ft) = |
^ ( l |
+ COS 2 В ) |
|
|
|
i |
|
Ниже приводится |
|
проф.В.В.Каврайского приближенных |
|
таблГт. 3.1 - |
|
||
формул и параметров, |
характеризующих простейшее изображение поверх |
||
ности сфероида на поверхности |
сферы. |
В графе "Заданное условие" |
|
для пяти первых видов изображения указано У = /шп. В этой случае
подбиралась такая сфера, изображение на которой обеспечивает на именьшие искажения длин по всей поверхности.
Из данных таблицы следует, что минимальные относительные иска
жения длин имеют место при равнопромежуточном по меридиану изобра
жении сфероида на сфере радиуса 6 372 900 м. Величина искажения
равна — —— , что составляет 0,08%. Наибольшая ошибка опре-
1200
деления углов, равная 5* ,7 , имеет место на экваторе.
Сфера указанного радиуса может использоваться не только для
изображения сфероида, но и для решения навигационных задач. По
скольку на воех картах обозначаются геодезические координаты, а
решение задач выполняется на поверхности сферы в сферических ко
ординатах, возникает необходимость перевода широты по формуле
(3 .1 8 ). |
|
X |
|
2 |
|
т |
|
Если в нее подставить |
значение |
в |
- |
||||
■, |
|
и выра- |
|||||
|
|
|
|
|
|
150 |
|
зить угол в минутах, то получим: |
|
|
|
|
|
||
Ч> - В |
- Ь \ б Sin 2 В |
|
|
|
|
|
|
или, округляя 8 ,6 до 9 |
, окончательно запишем: |
|
|
||||
Способ
изображения
С
соответствием по нормалям
Равноугольное
Равновеликое
Равнопроме жуточное
по
меридианам
Равнопромежуточное
по
параллелям
Центральная
перспектива
Заданное
условие
V= min
V = тип
P = i
V = min
m=i
V=min
П—t
V=min
R = a
Т а б л и ц а 3.1
a
4
0i 4
1I
24
I |
I |
3 |
6 |
l |
I |
8 |
4 |
3 |
I |
8 |
8 |
I |
0 |
4 |
I |
I |
|
4 |
4 |
1 |
0 |
2 |
|
|
Vm |
|
Vn |
|
|
|
e z |
|
e 2 |
f созгВ |
2 |
+-COS2B |
||
4 |
|
|
4 |
|
" |
COS2 В |
^ COS 2В |
||
\ |
|
COS2В |
~\ cos2В |
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
0 |
“f |
cos2В |
|
|
|
4 |
|
I |
|
|
g COS2В |
|
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
2„ |
|
0 |
2Sin В |
|
|||
- |
|
cosгВ |
-I |
|
|
|
|
4 |
|
\sm 2B |
1 „ г„ |
|||
2 Sin В |
||||
•
2СО
|
е г |
V |
|
|
|
cos2В |
_ _I_ |
|
|
|
200 |
|
0 |
_ _ I_ |
|
600 |
|
|
|
|
J |
COS2В |
_ _I_ |
|
|
900 |
\co s2B |
_ _ I_ |
|
4 |
|
600 |
i |
» |
___ I_ |
£ |
cos В |
1200 |
1 |
2V |
I |
2 |
COS В |
300 |
2 |
В |
- JL |
600 |
||
0 |
|
JL |
|
|
300 |
R , м
6 366 707x)
6 367 616
6 371 II6 x)
6 367 558x)
6 372 900х)
6 378 245
6 367 616
6 378 245
х ) Вычисление радиуса выполнено по точной формуле.
- 62 -
|
|
if = В - 9 1 s i n г В . |
( з . 2б) |
||
|
При переходе от сферической широты к широте геодезической сле |
||||
дует п ользоваться |
соотношением: |
|
|
||
|
|
В |
+ 9 1 S in 2 Lp. |
(3 .2 7 ) |
|
|
Для облегчения |
пересчета |
широт можно п ользоваться |
графиком |
|
( р и с .3 . 6 ) , на котором по горизонтальной оси отложены |
широты, |
а |
|||
по |
вертикальной - |
значения |
поправок A f ~ 9 s i n г^>. Если |
определяет |
|
ся сферическая широта по известной геодезической , поправка |
А у? |
||||
берется со знаком "минус", |
при определении геодезической широты - |
||||
со |
знаком "п ли с". |
|
|
|
|
|
Решение ряда штурманских задач связано с определением расстоя |
||||
ний |
(длин линий). |
|
|
|
|
За единицу измерения длин принят один метр, равный примерно од
ной сорокамиллионной части земного меридиана. Еолее точно |
один |
||
метр есть расстоян и е, равное длине естественного эталон а. |
За такой |
||
эталон |
принята |
длина световой волны, равная I 650 763,73 наблюда |
|
емых в |
вакууме |
длин волн оранжевой линии изотопа криптона |
с атом |
ным весом 86х ) .
Основной единицей измерения длин в навигации является километр,
равный 1000 м . При решении задач |
на сфере длины рассчитываются |
в |
гр аду сах , минутах и секундах дуги |
большого к р у га . Если принять |
гра |
дус земного шара равным 6 372 900 м, то получим следующие соотно шения:
1° |
= I I I 171,69 м |
яг |
I I I , 2 |
КМ |
|
I 1 |
= |
1852,86 м |
яг |
1853 |
м |
I* |
= |
3 0 ,88 м |
« |
3 0 ,9 |
м. |
П ользуясь этими соотношениями, |
можно осуществлять пересчет угло |
вых величин дуги большого круга в |
линейные или решать обратную з а |
дачу^________________________ |
|
х ) См.Универсальную международную систему единиц (СИ ), утвер жденную в СССР в сентябре 1961 г . в качестве государственного стан д ар та .
-63 -
Вморской навигации за основную единицу измерения расстояния принимается так называемая морская миля, равная 1852 м.
Иногда требуется определить длину дуги параллели , В этом случае пользуются соотношением:
S пар = S sk8 М У , |
(3.28) |
где ^пар - длина дуги параллели;
S 3kS - длина дуги экватора;
Ч> - широта параллели.
й Ч1
* ( * )
Рис. 3 6
- -
Г л а в а 1У
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И МЕТОДИКА РАСЧЕТА ЛИНИЙ ПУТИ И ЛИНИЙ ПОЛОЖЕНИЯ НА поверхности земной сферы
Одной из характеристик поступательного движения летательного аппарата является его траектория. Под траекторией полета понимают пространственную кривую, по которой движется центр масс аппарата.
При решении многих навигационных задач существенный интерес пред
ставляет не сама траектория, а форма ее проекции на |
земную поверх |
||||||
ность, |
подучившая название |
линии пути. Таким образом, |
л и н и е й |
||||
п у т и |
л е т а т е л ь н о г о |
а п п а р а т а |
|
н а з ы в а |
|||
е т с я |
п р о е к ц и я |
н а |
з е м н у ю |
п о в е р х н о с т ь |
|||
т р а е к т о р и и |
е г о |
д в и ж е н и я |
в |
п р о с т р а н |
|||
ст в е .
Внастоящее время в теории и практике вождения летательных аппа
ратов нашли применение следующие основные линии пути:
-ортодромия;
-локсодромия;
-трасса космического летательного аппарата (трасса КЛА).
Следует иметь в виду, что вся линия пути между заданными точ ками может быть и неоднородной кривой. Но при решении конкретной задачи проекцию траектории летательного аппарата удается предста вить как совокупность указанных выше линий, имеющих место на не которых ограниченных участках сложной линии пути.
Точку на земной поверхности, в которую проектируется центр масс летательного аппарата, называют его местом. Координаты места опре деляются по результатам измерений с помощью навигационной аппара туры некоторых параметров. Задача может решаться либо с помощью специальной вычислительной техники либо графическими приемами, в
последнем случае используются так называемые линии положения, выракающие связь измеренного параметра с координатами места аппара та и координатами навигационной точки. Поясним эту мысль на при мерах.
- 65 -
Допустим, что по запросу экипажа с наземного радиопеленгатора измерен пеленг на самолет. Очевидно, в момент измерения самолет на ходился на линии этого радиопеленга, которая в данном случае и яв ляется линией положения. Если измерить расстояние от самолета до навигационной точки, то по этому параметру можно построить линию равных расстояний, в одной из точек которой самолет находился в момент измерения. В наших примерах измеряемыми параметрами были пеленг и дальность, а соответствующими им линиями положения - ли ния ортодромического радиопеленга и линия равных расстояний. При одновременном измерении двух параметров точка пересечения двух ли ний положения даст место летательного аппарата.
Таким образом, |
|
л и н и е й |
п о л о ж е н и я |
н а з ы в а |
|||
е т с я |
г е о м е т р и ч е с к о е |
м е с т о |
т о ч е к |
||||
в о з м о ж н о г о |
м е с т о н а х о ж д е н и я |
л е т а |
|||||
т е л ь н о г о |
а п п а р а т а , |
х а р а к т е р и з у ю щ е |
|||||
е с я |
п о с т о я н с т в о м |
и з м е р е н н о г о |
п а р а |
||||
ме т р а .
Впрактике навигации летательных аппаратов используются следую щие основные линии положения:
-линия ортодромического пеленга;
-линия равных азимутов;
-линия равных расстояний;
-линия разных разностей расстояний.
При решении различных задач линии пути и линии положения стро ятся главным образом на картах. Но приемы построения зависят от геометрических свойств линий на поверхности Земли и от особеннос тей конкретного типа карты. Поэтому возникает необходимость преж де всего определить геометрические свойства линий на поверхности земной сферы и получить математические выражения для расчета их элементов.
§ 12. ОРТОДРОМИЯ. 0РТ0ДР0МИЧКСК1Е КООРДИНАТЫ
Линию кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности земной сферы называют о р т о д р о м и е й .
- 66 -
Из дифференциальной геометрии известно, что линией кратчайшего расстояния на поверхности любого тела является такая кривая, кри визна в каждой точке которой минимальна.
На сферической поверхности наибольший радиус кривизны имеет боль
шой круг. |
Следовательно, ортодромия - п л о с к а я |
к р и в а я , |
||
я в л я ю |
щ а я с я |
д у г о й |
б о л ь ш о г о |
к р у г а . Она |
представляет собой след сечения сферической поверхности плоскостью, проходящей через центр сферы. Через две заданные точки на поверх ности земной сферы, не расположенные на противоположных концах ди аметра, можно провести только одну ортодромию.
Необходимо иметь в виду, что в случае, когда проекция траекто рии движения летательного аппарата совпадает с дугой большого кру га, ортодромия рассматривается как линия пути. Если для определения места аппарата (контроль пути по дальности или по направлению) ис пользуются наземные радиопеленгаторы, требуется прокладка линии ортодронического радиопеленга, представляющего собой также дугу
большого круга на поверхности |
сферы. При |
решении |
задач, связанных |
с прокладкой ортодромического |
пути или |
л и н и и |
пеленга, |
приходится определять длину ортодромии, путевой угол и координаты промежуточных точек. В связи с этим прежде всего получим и про анализируем уравнение ортодромии, а затем выведем формулы для рас чета указанных выше элементов.
У р а в н е н и е о р т о д р о м и и . Уравнение ортодромии в сферических координатах имеет наиболее простой вид в случае, ког да координаты текущей точки выражаются через координаты точки пе ресечения рассматриваемой линии с экватором и ее направление в ука занной точке.
На рис. 4.1 и В (<Рг,Л г)- начальная и конечная точки ортодромического этапа соответственно, С (Ц?, Аj -текущая точка. Про
должим дугу большого круга в обе |
стороны. В точке |
В (О, Л £ П ересе |
||
чения с экватором она составит |
с |
меридианом |
Б |
угол (? . Со |
единив полюс с текущей точкой, |
получим сферический |
треугольник,ре |
||
шение которого дает простейшее уравнение линии пути. |
||||
По формуле четырех элементов |
|
будем иметь: |
|
|
c°sPN Е cos(A -At)= Sin РН Е ctq.(90- if)-sin(A ~ЛЕ )dj6.
- 67 -
Подставив значение стороны^. Е = 90° и решив уравнение отно сительно текущей широты, получим:
tc^ip =ctp & sin (Л -А £ )■
Проанализируем полученное уравнение.
Угол O' - величина постоянная. Значит, широта няться только за счет изменения Sin(A~A£) от - I до
(4.1)
р будет изме
+1. При
S in (A - A e)=-i) t^ f~ t^ (9 0 °-6 ') • В случае, когда Sin(A-XE)=~ii
to р = - to (90°- ОТ) . Таким образом, широта точек ортодромии изменяется в^пределах
- (9 0 ° - (э )± 1 р ± (9 0 о- < э ).
Точка V (рис.4 .1 ), в которой ортодромия достигает наибольшей широты (р0= 90°-(о, называется т о ч к о й в е р т е к с а . Ее долгота Л 0= Л £ + 90°. В этой точке ортодромия подходит к полюсу
на сферическое |
расстояние |
6 “ . |
|
||||
Определим угол р> |
, под которым ортодромия пересекает меридиан |
||||||
в точке |
С . |
Из сферического треугольника |
по формуле сину |
||||
сов имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin(i80°-p ) |
sin O' |
|
||
|
|
|
Sin 90° |
|
Sin( 90°- |
<f) ’ |
|
откуда |
|
|
|
|
|
Sin(D |
|
|
|
|
sinp = |
(4 .2) |
|||
|
|
|
COS p |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (*t.2) следует, что ортодромия пересекает меридианы |
|||||||
под различными |
углами. |
В точке |
вертекса <р= p QfCOSp0= SinOf |
||||
Sinp = i |
и |
p |
= 90°, |
т .е . |
ортодромия пересекает |
меридиан под пря |
|
мым углом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 68 |
- |
|
|
|
При СГ |
= 0, |
Sin J5 = О и |
уЭ |
= 0 - |
ортодромия |
совпадает |
с ме |
ридианом. |
Бели |
6~ = 90°, то |
ортодромия |
совпадает с |
экватором, |
так |
|
как последний образует с любым меридианом прямой угод.
Итак, положение ортодромии определяется координатами точки вертек са, в которой она (ортодромия) блике всего подходит к полюсу. Ортодромия пересекает меридианы под различными углами. В точке вер текса она составляет с меридианом угол 90°. Частными случаями орто
дромии являются меридианы и экватор. |
|
|
р а с ч е т |
н а п р а в л е н и я |
о р т о д р о м и и . Оп |
ределим направление кратчайшего пути на земной сфере из точки А в
точку В |
(р и с.4 .2 ), |
т .е . по координатам крайних точек найдем ма |
тематическое выражение для расчета угла, под которым ортодромия |
||
пересекает |
меридиан в |
точке А . В сферическом треугольнике Р#АВ |
известны три элемента: |
стороны РЯ А , Ря В и угол между ними. |
|
Применив формулу котангенсов, можно записать: |
||
cos(90-^i )cos^2- A i )= Sin (9 0 -fi )ci^(90°- (fJ-Sin ft-A jctpa,
рткуда |
|
cty a =co3f{ |
cosec(Ла - Л 4) - я ш у ^ (1 - Х {). (4 .з ) |
б(Ъ.Хш )
£ (o T j
Рис. 4 2
Рис.4.1
- 69 -
Вычисления целесообразно производить с помощью счетно-клавишных автоматов или на арифмометре. Тригонометрические функции следует выбирать из пятизначных таблиц для аргумента, изменяющегося через I 1 . Для удобства работы рекомендуется производить записи в специ альной схеме-таблице (см. приложение k I ) .
Вслучае отсутствия вычислительной техники расчеты выполняются
спомощью пятизначных таблиц логарифмов чисел и тригонометрических функций.
При известном угле |
CL |
направление |
ортодромии |
в |
некоторой |
точ |
|||
ке С с координатами |
tf |
и |
Л |
(р и с Л .2) легко |
определить из |
||||
сферического |
треугольника |
|
АС по формуле синусов: |
|
|||||
|
s i n ( m - f i ) |
|
Sin а |
|
|
|
|||
|
si п ( 9 0 - if{ ) |
= |
sin (90°- i f ) |
7 |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin/ д - s i n |
а |
cosy. |
|
|
(4.*) |
|||
|
----------— . |
|
|
||||||
|
J |
|
|
|
c o s y |
|
|
|
|
Р а с ч е т |
д л и н ы |
|
о р т о д р о м и и . |
|
Обозначим |
ор- |
|||
тодромичесишй участокЛВ |
через |
S opm (р и с .4 .2 ). |
Тогда, применяя |
||||||
к сферическому треугольнику PjfAB формулу косинуса стороны, най дем:
cosSорт= cps(9 0 - у{)cos (90 - tpg)+Sin(90- <f{)sin(9EP- (£)cos(if Ai)
или
°°S S0f>m‘ i3in Щ Sin 4*2 +C0sf i W pg см (Лг - Л ,)- 14.5)
При известных координатах крайних точек и рассчитанном направ лении ортодромии в начальной точке задача значительно проще реша ется по формуле синусов, а именно: