Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Демин В.М. Авиационная картография лекции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

6.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 254 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

- 30 -

Рис. 2.9

Формулу синусов зашием в следующем виде:

Sin S Sin A -S in a SinB .

Разделив почленно первое равенство на последнее, получим:

sine at	а	cosc cosВ
cti А -		sin В
sin В		sin В
или
SinB atqA = sin c	ctqa -	cos c cosВ .

И окончательно в удобном для чтения виде запишем:

cosc cosB =sinc ctpa - sin В cl^,A . (2.11)


	П р о и з в о л е : [ н е			к о с и н у с
э л е м е н т о в		р а в н о			р а з н о
п р о и з в е д е н и я ы и				с и н у с а
с т о р о н ы		н а	к о т а н г е н с
с т о р о н ы		и с и н у с а			с р е
н а	к о т а н г е н с			к р а й н е г

о в	с р е д н и х
с т и	м е ж д у

с р е д н е й

к р	а й н е й
д н е г	о	у г л а

оу г л а * ) .

х) Правило чтения формулы предложено шотландским математиком Вапарсм (ХУ1-ХУП в в .) .

-31 -

е) Формулы - Они представляют зависимость между местью элементами сферического треугольника и применяются при решении по следнего, когда известны три элемента: сторона и два прилежащих

кней угла, или две стороны и заключенный между ними угол. Ниже без вывода приводятся полученные Деламброи четыре уравнения, содержащие только синусы и косинусы элементов сферического треугольника.

	А+В	cos	a -	6
Sin	А+В		2	cos-
	2	cos	c
		cos	2
			2

, А-В		Sin -a —ё
, А-В			2
Sin	2 ~	sin	c	cos-
			2
		cos- a +S
COSА +В			2	Sin
COSА +В				Sin

cos —

й + ё

2 >

(2.12)

2 ,

	COS Л- l	sm—r -	-Sin
ж)	Формулы "аналогии Непера".		Эти формулы достаточно просто

выводятся из формул Деламбра и применяются для рененжя сферических треугольников, когда даны две стороны и угон между ними или два угла и прилежащая к ним сторона. В отжичяе от формул (2.12) они связывают пять элементов треугольника:

х) Деламбр - французский астроном (ХУШ-ПХ в&)

А+В 2

А-В 2

а+ 6

f 2

а- 8

i 2

		-	32 -
	а —8
cos— -—			.	c
		2
	а+В		cl? T >
cos		z
.	а -	8	.	c
ш — г—
Sin	а + 6
	2
„„„	А -В			(2.13)
				>
cos		2

sm Лг В

Первые две формулы (2.13) подучаются путем почленного деления первой формулы Деламбра на третью н второй на четвертую. Две послед ние формулы - путем деления четвертой на третью и второй - на первую. Разделив последние две формулы аналогий Непера одна на другую почленно, получим так называемую формулу Гаусса, служимую для конт

роля вычислений, производимых по формулам Деламбра и аналогиям Не пера:

ч	а + 8	А +В
	2	н 2	(2.М )
	а - 8	н 2	(2.М )
	а - 8	А - В

-33 -

§6 . ФОРЦУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ

ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Прямоугольным сферическим треугольником называется такой треу гольник, в котором имеется хотя бы один прямой угол. Принято обо значать прямой угол треугольника буквой А. Противолежащая ему сто рона называется гипотенузой, две другие стороны - катетами.

Чтобы получить формулы для репения прямоугольных сферических треугольников, необходимо в полученные ранее формулы косругольных треугольников подставить значение угла А = 9 0 °.

Рассмотрим несколько примеров и сформулируем правило записи формул.

а) Подставим А = 90° в формулу косинуса стороны (2 .6 ):

cos а = cos £ cos с + sin £ s in с cosА .

Поскольку COSА —COS 90°= 0 , получим
cos а =	cos £ cos с.	(2 .15)
б) Из формулы косинуса угла
cos А =- cosВ cos G + sin В sin		G cos a
получаем:
cos a =	ci^ В c i^ C .	(2.16)

в) Возьмем формулу синусов (2 .8 ) и эадипем ее в следующем виде:

sin £ sin А - sin a sin В,

откуда

Sin6 = Sin a sin В .

(2.17)

г) Запишем формулу пяти элементов (синуса стороны на косинус прилежащего угла), отмеченных на рис.2.10:

Sin £ cosА = sin e cosa - cosa sin a cos В .

- 34 -

После подстановки А = 90° и решения относительно cosВ получим:

		cosB ~ ^ с ct^a .	(2 .18)
д)	Возьмем	четыре элемента 8 , А , С , В	сферического
треугольника АВС		(рис.2 .10).
		С

Рис 210

По формуле котангенсов имеем:

cos с cos А = sin с d p 8 - sin А с£р В

Так как cOsA = 0, a SinА = I , запишем:

Sin с dp 8 = cJp В

или				(2.19)
sin	с =ttjf 8		c tj[ В .	(2.19)
Сведем полученные формулы		( 2 .1 5 ) 4 2 .1 9 ) в		следующую систему:
cos а	=	COS8	COS с

- 35 -

Преобразуем эти уравнения т а к , чтобы в левой части были только косинусы, а в правой - только синусы или только котангенсы :

cosa = s i n ( 9 0 ° -	) S in ( 9 0 ° - с ) ,
cos(90°- S ) = S in a	( 2. 20)
cos(90°- S ) = S in a	s i n В .

						(2 . 21)
Каждое из уравнении (2 .2 0 ) и	(2 .2 1 )	связы вает		три	элемента
прямоугольного сферического т р е у го л ь н и к а ^ ,			при	этом:
- в первых двух в правой части -только синусы, а в					последних
трех - котангенсы ;
- если условиться не считать	угол А, т . е .		принимать катеты ле
жащими рядом, то уравнения (2 .2 1 ) связывают			три	элем ента,		распо
ложенных в треугольнике рядом ( см .р и с .2 .1 0 ) .			В уравнениях			же
(2 .2 0 ) элемент левой части лежит	отдельно;
- во всех уравнениях, вместо	катетов	Ц и	С , взяты дополнения
до 90°.

Учитывая	указанные выше особенности, Непер сформулировал						сле
дующее правило, дающее возможность легко написать все возможные
формулы для	решения прямоугольных сферических					треугольников	( р и с .
2. 10).
Е с л и	т р и		э л е м е н т а		т р е у г о л ь н и к а
л е ж а т	р я д о м ,		т о	к о с и н у с		с р е д н е г	о
э л е м е н т а		р а в н я е т с я			п р о и з в е д е н и ю
к о т а н г е н с о в			к р а й н и х		э л е м е н т о в .		Е с л и

х) Поскольку каждая формула связывает три элемента из пяти (кро ме известного угла А=90°), то число всех возможных формул равно числу сочетаний из пяти по три, т .е . десяти.

- 36 -


ж е	э л е м е н т ы		л е ж а т		н е	р я д о м ,		т о к о
с и н у с		о т д е л ь н о		л е ж а щ е г о			э л е м е н т а
р а в е н		п р о и з в е д е н и ю			с и н у с о в			э л е м е н
т о в ,	л е ж а щ и х		р я д о м .		В о	в с е х		с л у ч а я х
к а т е т а		з а м е н я ю т с я			и х	д о п о л н е н и я м и
д о	9 0 °	и с ч и т а ю т с я			л е ж а щ и м и			р я д о м .

	§ 7 .	ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Элементарными		сферическими треугольниками называются такие, в
которых элементы		являются малыми величинами.
Такие	треугольники бывают двух типов - м а л ы е ,		у которых
все три	стороны малы по сравнению с радиусом сферы, и		у з к и е ,
в которых угол С		(рис.2 .I I ) и противолежащая ему сторона АВ явля

ются элементами малыми.

Малые сферические треугольники решаются как плоские, при этом

руководствуются следующей		т е о р е м о й	Лежжндра*); если
выпрямить стороны	малого сферического треугольника, то каждый
угол в полученном	плоском	треугольнике будет	меньше соответству

ющего угла сферического треугольника на одну треть сферического избытка (рис.2 .1 2 ).

х) Дежандр - французский математик (ХУШ-Х1Х в в .)

- 37 -

Рис. г. /2

Это значит, что после выпрямления сторон сферического треуголь ника АВС получается плоский треугольник А В С , в котором

	а '=а , ё'= ё ,		с ' = с ,
а разности углов		А = А ‘ = —	у В ~ В '	А - „	.
		3
При	вычислении	сферического	избытка по	формуле (2 .5 ) в этом
случае	монет быть	в зята площадь плоского		треугольника.

Теорема Лежандра позволяет определить, в каких случаях задачи самолетовождения можно решать на плоскости без учета сферичности

венной поверхности. Покажем на примере, как применять эту теорему.

Допустим, что за" счет замены сферической поверхности плоскостью

можно пренебречь ошибкой в определении углов , равно I . Но эта ошибка составляет одну тр еть сферического избы тка, т . е .

А	£	i .
	з

Подставляя значение £	из формулы ( 2 . 5 ) , получим:

S / = i ,

5 R*

- 38 -

откуда

Выразим I в радианах:

60*57,3 3438

Таким образом ,

S = 3*(6 37 3 )2 s: 35400 км2 3438

что соответствует площади равностороннего треугольника со сторонами

286 км « 290 км.

Таким образом, при допустимой ошибке определения угла в I

задача может решаться на плоскости при длине стороны треугольника

до	290	км.	Аналогичным образом можно подсчитать, что	при допусти
мой	ошибке		^ = 4 * сторона треугольника, решаемого	на плоскости,
будет		равна	580 км.

- 39 -

Г л а в а Ш

ИСКАЖЕНИЯ ПРИ КАРТОГРАФИЧЕСКОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ СФЕРОИДА НА ПОВЕРХНОСТИ СФЕРЫ

§ 8 . СУЩНОСТЬ И МЕТОДЫ КАРТОГРАФИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Для решения большинства навигационных задач использую тся услов ные изображения земной поверхности на плоскости или на поверхности

сферы.
	Сплошное условное изображение земной поверхности или отдельных
ее	частей на плоскости, выполненное		по определенному математическо
му	закону, называют	к а р т о й .	Под сплошным изображением	по
нимается изображение		без разрывов и	складок, возникающих при р	а з

вертывании сложной поверхности Земли на плоскости . Для их ликвида

ции приходится деформировать изображение: в		одних	местах сжимать,
в других -	р астяги вать . В результате масштаб	карты	в различных ее
точках по	различным направлениям получается	различным.

Аналогичная картина имеет место при изображении поверхности Земли на поверхности сферы, так как и в этом случае требуется по лучить сплошное изображение. Деформация изображения порождает его искажения, проявляющиеся в несоответствии длин, углов и площадей их действительным величинам.

Величина и характер искажений определяются главным образом р а з

мерами изображаемого участка земной поверхности и способом получе

ния его изображения. Чем меньше размеры изображаемого у частка, тем

меньше величины искажений.

Малый участок Земли, изображенный на плоскости в крупном мас

штабе без практически заметных искажений, называют п л а н о м .

Всю земную поверхность или отдельный большой ее участок изобра

зить	без	искажений	не	уд ается .		В	этом случае величина и характер
искажений		определяются			способом,		с помощью которого	поверхность
Земли	п	р о е к т	и	р	у е т с	я	(переносится) на	интересующую

нас поверхность.

Способ перенесения поверхности земного эллипсоида или земной

сферы на плоскость назы вается к а р т о г р а ф и ч е с к о й

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 254 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
21.10.20239.02 Mб9Действительные члены Всесоюзного минералогического общества справочник..pdf
#
23.10.20234.12 Mб14Дейч М.Е. Элементы магнитной газодинамики конспект лекций учеб. пособие.pdf
#
19.10.20232.15 Mб11Дементей, Т. Н. Как читать баланс.pdf
#
23.10.20237.44 Mб7Демидов Ю.М. Измельчение древесины для производства древесностружечных плит.pdf
#
20.10.20238.7 Mб8Демидов, В. Е. Магистрали пяти измерений.pdf
#
29.10.20236.86 Mб9Демин В.М. Авиационная картография лекции.pdf
#
29.10.20231.72 Mб8Демин И.А. Что надо знать механизатору.pdf
#
19.10.20235.04 Mб8Демирчоглян, Г. Г. Бионические информационные системы зрения.pdf
#
22.10.202315.46 Mб14Демирчян, К. С. Моделирование магнитных полей.pdf
#
25.10.202313.28 Mб22Ден Г.Н. Механика потока в центробежных компрессорах.pdf
#
29.10.20235.27 Mб6Денисов А.П. Н. Г. Курганов - выдающийся русский ученый и просветитель XVIII века.pdf