книги из ГПНТБ / Демин В.М. Авиационная картография лекции
.pdf- 70 -
|
Sin(90°-(pz ) |
Sin ( Л - А ч) |
sin a |
откуда |
|
C O S f^ in fA ^ A ^ |
|
|
(4 .6 ) |
Расчет по формулам (4 .5 ) и (4 .6) |
дает длину ортодромии в граду |
сах и минутах дуги большого круга. Чтобы получить результат в кило
метрах, необходимо выразить S |
в минутах дуги и умножить на |
||||||
1,853 |
км: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U .7 ) |
Пример расчета длины ортодромии дан в |
приложении И» 2. |
||||||
Р а с ч е т |
к о о р д и н а т |
п р о м е ж у т о ч н ы х |
|||||
т о ч е к |
о р т о д р о м и и |
ч е р е з |
к о о р д и н а т ы |
||||
т о ч к и |
в е р т е к с а . |
Ортодррмия |
большой протяженности |
||||
строится на картах обычно по точкам. Наиболее просто координаты |
|||||||
промежуточных точек можно определить, |
если |
предварительно рассчи |
|||||
таны координаты точки вертекса. |
Обратимся к р и с .4 .3 . Из прямоуголь |
||||||
ного |
сферического треугольника |
Рх VА , |
беря три элемента ( а , |
||||
90° - |
у? |
и |
) , лежащие рядом, |
получим: |
|||
Решим уравнение относительно члена, содержащего долготу вертек
са:
(4 .8 )
- 71 -
В ток же прямоугольном треугольнике возьмем элементы о. ,
(90° - (pi ) |
и (90° |
- (jР 0 ) . |
Для отдельно лежащего |
элемента мож |
|||
но записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
< ?оф о°- (9 0 - |
(fo)]= Stn (90 °- |
у? ) Sin а , |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos (f0= cos f { sin a . |
|
(4 .9 ) |
|||
Для определения координат промежуточной точки |
ортодромии C(^ff A ) |
||||||
проведем черз |
нее меридиан Р^ С |
и из прямоугольного |
сферического |
||||
треугольника |
V C |
найдем связь |
между координатами |
вертекса и |
|||
координатами |
} А |
промежуточной |
точки С |
: |
|
|
|
COS(A0-A ) = c£(J, (90°- f ) |
dij, [ 9 0 - (9 0 - if0)J} |
||||||
cos(A0 - A ) . (4 .10)
По последней формуле, задаваясь значением долготы А . промежу точной точки, можно рассчитать ее широту у? . Так поступают в том
- 72 -
случае, когда ортодромия располагается ближе к долготному направ лению. Щели она вытянута в меридианном направлении, то удобнее за даваться широтой ip и рассчитывать долготу _Л. •
Таким образом, для определения координат промежуточной точки не обходимо решить последовательность уравнений:
d a a =cos |
ip2 соcosecsea (Л2~Л{ |
(4.IJX
cos ц>0 - cos (p± sin a ,
Пример расчета координат промежуточных точек ортодромии дан в приложении 1 3 .
Методика расчета элементов ортодромии на поверхности земной сферы дана в сферических координатах. Чтобы учесть сжатие Земли,
следует |
геодезические широты пунктов А и В пересчитать в сфери |
ческие |
по формуле ip=*B~9 Sin2 В , затем полученные сферичес |
кие широты координат промежуточных точек перевести в геодезические, пользуясь соотношением Вш*Р+9' sin 2 ^ , после чего ортодромия
может наноситься на карту.
Отметим еще одно важное свойство ортодромии. Для этого обратим ся к формуле (4 .9 ) . Замечаем, что левая часть ее является величиной постоянной, так как для данной ортодромии широта вертекса определя ется однозначно. Следовательно, для данной ортодромии произведение косинуса широты любой точки на синус путевого угла ортодромии в этой точке должно быть постоянной величиной. В этом легко убедить ся, получив аналогичное выражение из прямоугольного сферического треугольника Q.VC :
coS(f0 =cos (p sin ft.
- 73 -
8 комплексных навигационных системах широкое применение нашла
так называемая о р т о д р о м и ч е с |
к а я |
с и с т е м а |
||
с ф е р и ч е с к и х |
к о о р д и н а т |
, |
в |
которой за условный |
экватор принимается заданная или выбранная штурманом ортодромия, представляющая собой ортодромжческую ось Чорт ( р и с Л Л ) . Положжтельным направлением считается направление в сторону движения ча совой стрелки, если смотреть со стороны полюса больного круга Рдрт . Условный меридиан в указанной системе координат принимается за ось
Положение точки на поверхности земной сферы определяется двумя ортодромическими координатами XQpm и ^,0рт •
О р т о д р о м и ч е с к о й к о о р д и н а т о й X 0рт называется дуга М 'М большого круга, проходящего через полюс Р m и данную точку М . Она измеряется от 0 до 90° и считается поло
жительной, когда |
точка М лежит |
справа по направлению ортодромии. |
Если точка лежит |
слева от ортодромии, координата х 0рт считается |
|
отрицательной и обозначается знаком минус. |
||
О р т о д р о м и ч е с к о й |
к о о р д и н а т о й ^0рт |
|
называется дуга |
ОМ заданной ортодромии, заключенная между началом |
|
|
- 74 |
- |
|
отсчета (точка |
0) к большим кругом, |
проходящим через |
полюс Р0рт |
к данную точку |
U . Началом отсчета |
координаты мохет |
служить исход |
ны! пункт марирута (ИМП), цель или какая-либо другая точка ортодро мии, выбранная ■турманом из соображений удобства ориентировки. Ц,ор„ измеряется в пределах от 0 до 560°. " ' Ортодромичесхие координаты измеряются в угловых величинах или
непосредственно в километрах.
§ 1 3 . Т Р А С С А К Л А
Трассой КЛА называют проекцию на поверхность земной сферы тра ектории движения космического летательного аппарата на участке ор битального полета. Знание свойств этой кривой требуется при ревении некоторых задач космической навигации, связанных с определением
моментов выхода на заданные объекты, выполнением маневрирования и т .п . Получим уравнение трассы1) на примере искусственного спутника
Земли. Вначале рассмотрим так называемое невозмуцаемое движение спутника по эллиптической или круговой орбите. В этом случае плос кость орбиты неподвижна в инерциальном пространстве и проходит через
центр Земли. |
|
Если бы Земля не-врацалась |
вокруг оси, то проекцией орбитально |
го участка явилась бы дуга ЕВ |
больного круга (р и с .4 .5 ), описывае |
мая уравнением: |
|
|
|
t j , f B =ci (j ,6s in ( л в - Л е ) , |
|
. |
(*) |
||
где |
Ц?в и |
Л в - координаты текуцей точки |
В |
ортодромии. |
|||
|
В действительности за |
время полета спутника от экватора до |
|||||
параллели |
с широтой Iр в |
Земля повернется вокруг |
своей |
оси |
на угол |
||
\) |
, равный произведению угловой скорости |
ее вращения |
сО^ на |
||||
время t |
: |
|
|
|
|
|
|
х) Исследование уравнения трассы впервые выполнено Л.II.Воробьевым.
- 75 -
Р</с 4.5
Спутник будет проектироваться на Землю в точку С. Разность долгот, входящая в уравнение ортодромии, определится выражением (см .рисЛ . 5):
Л В ~ \ = Л С - Л Е + 0 *
Заменим (О = 90° - i , А с= Л « Фв^Ус^Ч’ посколькУ точки В
и С лежат на одной параллели. С учетом последних соотношений вы ражение ( # ) принимает вид:
t^f-t<jrisin[u)bt+ ( Л- ЛЕ) ] ,
или
-t(j, i pin |
4 A j ; |
(* * ) |
где
Л А жА - А с •
Формула (# * ) представляет собой уравнение проекции траектории движения (линии пути) орбитального спутника при отсутствии возму-
- 76 -
щений. На саном деле имеют место моменты, вызывающие движение плос кости орбиты в пространстве. Наиболее существенным является прецес- ешявов движение орбиты в направлении, противоположном суточному вращению Земли, вызываемое ее несферичностью. Чтобы учесть угловую скорость ( СО„ ) этого движения, в формулу ( * * ) вводится фик тивная угловая скорость вращения Земли
w = с о 3 + со п '
Тогда уравнение искомой линии можно записать в следующем виде:
^ |
i Sin (co t + A A ) . |
(4.12) |
Угол i , входящий в уравнение (4 .1 2 ), называется яаклонением орби ты.
Проанализируем полученное уравнение. Максимальное значение ши роты, которого достигает линия пути спутника, будет при Sin(cot+AJ^-i
В этом случае
|
4>nax = i |
' |
Sin (to t + А А )= -1 : |
|||
Минимальная широта имеет |
место, |
когда |
||||
|
min |
^ |
- |
|
|
|
Следовательно, |
проекция |
орбиты располагается в области |
широт |
|||
|
- |
i |
*£= у? |
i |
|
|
и определяется только наклонением орбиты. |
*■ |
|
||||
При sin (cot +А Л)~1 |
|
cot + л А =90° • Отсюда легко |
опреде |
|||
лить долготу A j |
точки линии |
пути с максимальной широтой: |
|
|||
|
Л, |
Е + 90°-(о |
. |
|
||
Аналогичным образом находится долгота А& точки с наименьшей широтой, а именно:
А2 = А е + 270°-cot 2 .
|
|
|
- 1 1 |
|
- |
|
|
|
В последних двух выражениях |
|
и |
|
12 - время полета от |
точки Е |
|||
до указанных эктремальных точек. |
|
|
|
|
|
|
||
Если взять время полета, равное периоду |
обращения ( £ = Г |
) , |
а |
|||||
широту |
f = 0, то получим смещение |
точки, |
в которой линия |
пути |
пе |
|||
ресекает |
экватор. Поскольку |
f |
= |
0 |
и |
|
|
|
|
Sin ( ( ОТ + А Л) ** О, |
|
|
|||||
|
А Л = |
- |
С О Т . |
|
|
|
||
Значит, каждый последующий виток смещен по долготе относительно предыдущего на запад на величину, равную произведению фиктивной уг ловой скорости вращения Земли на период обращения спутника.
Итак, линия пути спутника на поверхности Земли располагается в поясе широт р i симметрично относительно экватора, и каждый последующий виток при данном периоде обращения смещается по долго
те на одну и ту же величину |
СОТ . |
|
|
§ |
14. |
ЛОКСОДРОМИЯ |
|
Кривую, пересекающую меридианы под одним и тем же углом, назы |
|||
вают л о к с о д р о м и е й . |
По этой линии пути перемещается |
||
летательный аппарат,, |
если |
текущее значение истинного путевого уг |
|
ла выдерживается в полете постоянным. |
|||
Получим уравнение локсодромии на поверхности земной сферы. Обра
тимся к |
рис. 4 .6 , |
На яви А В - |
бесконечно малый отрезок |
локсо |
|||
дромии, |
пересекающий сферические меридианы под углом Л |
. Из эле |
|||||
ментарного прямоугольного треугольника, в котором отрезок |
ВС |
па |
|||||
раллели |
равен Ч. dx |
( t - |
радиус |
параллели), а отрезок |
АС |
ме |
|
ридиана |
равен Rd f |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
j |
, |
4(1Л |
|
R co sfd X |
|
|
|
|
|
R d f |
~ |
R d f |
|
|
- 78 -
откуда
d x = L |
|
d Ч> |
|
|
(a ) |
|
COStf> |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Проинтегрировав данное выражение, получим: |
|
|
|
||
А |
|
|
V |
) + С. |
|
|
|
|
2 |
|
|
Постоянную интегрирования |
С |
можно найти, |
положив |
ip - 0. |
|
Тогда 0= А 0 (долготе точки |
пересечения |
локсодромией |
экватора) и |
||
уравнение принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.13) |
или |
|
|
|
|
|
& if. ( *5°+ у |
) - - ( л |
0- А ) с ^ л : , |
|
||
откуда
Полученная формула представляет собой уравнение локсодромии на поверхности земной сферы.
Сравним (4.14) с уравнением логарифмической спирали на плоскос
ти:
- |
9 da оС |
|
f =f o Р |
; |
(4.14а) |
|
- |
79 - |
в котором |
р о - начальный радиус-вектор, J) и Q - текущие по |
|
лярные координаты, оС - угол, |
образованный радиусом-вектором и |
|
кривой в |
текущей точке. |
|
Рис. 4.6
В уравнении локсодромии разность долгот (,Л0 —Л ) - текущее значение полярного угла, оС - угол, заключенный между текущим ме
ридианом (который можно рассматривать как сферический |
радиус-век |
|
тор) и локсодромией. Левая часть уравнения определяет |
удаление |
от |
полюса. Следовательно, кривые, описываемые уравнениями |
(4.14) |
и |
(4 .14 а), |
сходны между собой. В связи с этим локсодромия получила |
||||
название |
|
п р о с т р а н с т в е н н о й |
л о г а р и ф м и |
||
ч е с к о й |
с п и р а л и . |
|
|
на 2Жп , |
|
Если в уравнении (4.14) |
увеличивать текущую долготу Л |
||||
задавая |
п |
значения I , 2, |
3 , . . . , то будет |
увеличиваться |
и широта |
пересечения локсодромией данного меридиана. При П— о о широта
1^?—* -90°, т .е . локсодромия бесчисленное количество раз оборачива
ется вокруг земной сферы, асимптотически приближаясь к полюсу.
Из формулы (4.13) следует, |
что при |
оС = 0 или 180° |
долгота |
Л = ] [ Q при любых значениях |
широты. |
В этом частном |
случае лок |
содромия совпадает с меридианом.