книги из ГПНТБ / Демин В.М. Авиационная картография лекции

-40 -

пр о е к ц и е й . Картографическая проекция определяет связь между

значными для получения такого сплошного изображения местности, при котором каждой точке земной поверхности соответствует только одна точка на плоскости .

Рассмотрим более детально порядок получения изображения поверх­

определенному математическому закону изображается на сфере, в ре­ зультате чего устанавливается зависимость сферических координат

(|? , _Д точек от их географических координат В , L на сфе­

роиде. Затем поверхность полученной сферы по своему закону пере­

- 41

В т о р о й м е т о д . На плоскость перевесится поверхность сфероида, минуя промежуточный этап , связанный с изображением ее на

сф ере. В результате такого проектирования координаты точек на плос­ кости сразу выражаются в их географических координатах на поверх­

ности сфероида.

Первый метод применяется главным образом при составлении карт

проекций.

Второй метод проектирования используется при создании крупно­

ся с указанными двумя методами. Однако наибольшее внимание будет уделено первому из них, поскольку перенесение поверхности сферы на плоскость, требуя применения более простого математического ап­

п арата, достаточно полно раскрывает сущность проекций, позволяет оценить искажения на них и выработать рациональные приемы графи­ ческой работы и измерений на той или иной к а р т е .

Применительно к первому методу можно наметить следующие этапы создания картографической проекции:

- земной сфероид уменьшается до размеров сферондического гло­ буса с полным сохранением подобия оригиналу и всех фигур на его поверхности;

- поверхность сферондического глобуса по определенному матема­

альный, а лишь мысленный характер и используются как переходные ступени в цепи математических операций, обеспечивающих перенос по­ верхности сфероида на плоскость.

§ 9 . МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ИСКАЖЕНИИ

Изображение поверхности Земли на какой-либо другой поверхности выполняется в определенном масштабе.

-42 -

Вдальнейшем нас будет интересовать изображение земной поверх­ ности на поверхности сферы и на плоскости. В связи с этим дадим определение масштаба, удовлетворяющее указанным поверхностям изо­

горизонтальной проекции.

Различают главный (общий) и частный масштаб проекции (изображе­

ния), Степень общего уменьшения Земли до размеров глобуса называ­

Поскольку при создании глобуса получается фигура, подобная ори­

гиналу, искажения изображения на нем отсутствуют и главный масштаб будет одним и тем же в любой точке глобуса. На самом деле глобус не создается, но главный масштаб все же используется. На карте он под­ писывается под ее южной рамкой, и в нем обычно производят все изме­ рения. Аналогичное назначение имеют и главные масштабы географи­

ческих и специальных глобусов, на которых решаются отдельные штур­

манские зад ач и .

точках, но даже в одной и той же точке, но по различным направле­

ниям. В связи с этим в данной точке проекции по данному направлению

- 43

Для оценки отклонения частного масштаба от главного пользуются понятием увеличения масштаба С, определяемого отношением к М

т . е .

Одному сантиметру на проекции соответствует 16 км на местности.

Частный масштаб крупнее главного ( > М ).

При рассмотрении изображения поверхности глобуса на плоскости или на поверхности сферы для простоты рассуждений об искажениях удобно принимать главный масштаб М = I . Тогда увеличение масштаба становится численно равным частному масштабу в данной точке про­ екции по данному направлению, т . е .

Каждому способу проектирования земной поверхности на другую

*поверхность свойственны определенные законы искажений или изменений частных масштабов. Но имеются общие закономерности искажений, свой­ ственные всем способам проектирования. Так, если взять на глобусе бесконечно малый (элементарный) кружок и перенести его на проекцию, то в любой проекции он изобразится бесконечно малым (элементарный) эллипсом.

Допустим, что интересующий нас участок глобуса спроектирован ка- ххщ-либо способом на поверхность сферы или на плоскость. Возьмем на

глобусе произвольную точку 0 (рис. 3.1) и опишем вокруг нее окруж­ ность бесконечно малого радиуса % . Ввиду малости участок, огра­ ниченный этой окружностью, можно принять за плоский. Выберем произ­ вольно оси ОХ и СОТ прямоугольной системы координат. Положение точки А с координатами X и V на окружности определяется урав­

нением: *

* f r y ;1

Рис. 3. /

прямыми О 'Х 'и 0'Ч\ пересекающимися вследствие искажений не под

угольной системе координат, оси которой совпадают с его сопряженны­ ми диаметрами*^

ное множество пар сопряженных диаметров, из которых только одна па­ ра представляет собой взаимно перпендикулярные прямые. Такими диа­ метрами являются наибольший и наименьший диаметры эллипса. Очевид­ но, из всех взаимно перпендикулярных направлений в каждой точке глобуса всегда имеются такие два направления Х 0 и HQ (р и с .3 .1 ),

х) Диаметр эллипса является сопряженным заданному, если он делит пополам хорды, параллельные этому заданному диаметру.

- 46 -

которые на плоскости изобразятся также взаимно-перпендикулярными

Величины <2 я S , являющиеся параметрами эллипса, численно равны частным масштабам по главным направлениям, а каждый радиус - вектор равен частному масштабу по данному направлении.

Эллипс, изображающий бесконечно малый круг единичного радиуса,

каждый радиус-вектор которого численно равен частному масштабу в данной точке изображения по данному направлению, называется э л л и п с о м и с к а ж е н и й .

Такой эллипс дает наглядную характеристику изменения частных масштабов по любому направлению в данной точке изображения и ис­ пользуется для характеристики искажений на проекции.

Получим математические зависимости, позволяющие определить ис­ кажения длин, углов и'площадей через параметры эллипса искажений.

- 48 -

б) И с к а ж е н и е у г л о в . Каждый угол заключен между двумя заданными направлениями, поэтому прежде всего необходимо оп­ ределить искажение направлений. Для простоты выгода будем отсчиты­ вать направления от наибольшей полуоси эллипса.

Под искажением направлений понимают разность углов cC-Jb между направлением на поверхности глобуса и его изображением на проек­ ции. Из рис.3.2 имеем:

I 0_

I

о

Но

Поэтому