книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

ными предметами. Приведите колесо во вращение и передайте его человеку, сидящему на табурете. Начальное положение: табурет и

= ( / і + / 2 ) со. Если до «объединения» человек вращался со скоростью

2. Биллиардный шар радиусом 2,5 см имеет момент инерции /=250 г-см* и движется без скольжения по столу со скоростью 5 м/с. Тогда его вращательный

§ 22. Свободные оси вращения

Допустим, что тело получило импульс вращения около какойлибо закрепленной оси. Представим себе, что закрепление оси сня­ то. Хотя вращательный импульс должен сохраниться (разумеется, если пренебречь трением), но расположение тела в пространстве может все же меняться; если при этом изменится момент инерции, то это будет скомпенсировано соответственным изменением угловой скорости.

Однако в ряде случаев характер вращения не изменится; вра­ щение будет устойчиво происходить около первоначального на­ правления так, как будто бы ось вращения была по-прежнему за­ креплена. Теория и опыт показывают, что такими устойчивыми свободными осями вращения могут быть две оси, проходящие через центр инерции: ось максимального момента инерции и ось мини­ мального момента инерции.

Если закрепленная ось вращения проходила через центр инер­ ции (рис. 33), но была наклонена к осям симметрии, а следова­ тельно, и к названным выше направлениям, то после того, как ось высвободится, тело начнет менять свое расположение по отношению к оси вращения. Из рисунка видно, что причиной изменения рас­ положения является то, что центробежные силы образуют пару сил. Тело будет менять расположение до тех пор, пока осью вра­ щения не станет свободная ось.

Можно рядом способов показать, что свободно вращающееся тело будет' менять ось вращения до тех пор, пока вращение не станет

происходить около свободной оси. Привязывая за нитку тела раз­ личного профиля и прикрепив другой конец нитки к оси быстрого мотора, мы можем передать телу вращательное движение, не за­ крепляя оси вращения. На рис. 34 показаны последовательные

Рис. 34.

положения вращающегося кружка, цепи и спичечной коробки.

в 30 ООО об/мин достаточно точно фиксировать положение закрепленной оси, чтобы ликвидировать пары центробежных сил, действующие на подшипники. При столь больших скоростях эти силы недопустимо велики. Из затруднения вышли, ис­ пользуя для оси турбинного диска гибкий вал. Вращение происходило около свободной оси, а гибкий вал приспосабливался к этой оси.

Рассмотрим это явление несколько детальнее. Обозначим через а сдвиг центра тяжести колеса турбины, происходящий из-за асимметрии колеса, а через Л — величину изгиба вала под действием центробежной силы. Вал прогнется в сторону асимметрии, поэтому выражение центробежной силы может быть записано в виде 4л2 я2 М (а+Д). Эта сила уравновешивается упругой силой М , где k — жесткость

вала. Таким образом.

Ап2п2М

Из формулы следует, что при большом числе оборотов п прогиб вала А не растет, а стремится стать равным величине асимметрии колеса с обратным знаком. Это означает, что при возрастании скорости вращения турбины полное смещение колеса с валом от оси вращения становится равным нулю. В этом и состоит при­ способляемость гибкого вала: он может изогнуться на нужную для уничтожения центробежной силы величину, не сломавшись.

Из приведенной формулы следует, что условие к/4;Л2п2М=1 является крити­ ческим. При этом соотношении изгиб вала становится равным бесконечно большой

величине. Это—момент резонанса (внешняя частота п = ^ - у . т . е . совпа­ дает с собственной частотой колеса турбины, имеющего массу М и насаженного на вал с жесткостью k; см. гл. 5), который должен быть быстро пройден при раз­ гоне турбины.

§ 23. Гироскопы

Под гироскопом или волчком обычно понимают устройство, ко­ торое может вращаться около как угодно ориентированной оси. Если волчок закручен и предоставлен сам себе, то он сохраняет свою ось вращения неизменной, пока на него не действуют силы (/со в этом случае не должно меняться).

Действие силы на ось вращения волчка проявляется весьма не­ ожиданным образом. Это демонстрируется с помощью гироскопа (рис. 35), уравновешенного грузом так, чтобы ось прибора была

Рис. 35.

горизонтальной. Придадим гироскопу вращение в вертикальной плоскости и к оси подвесим груз G. Казалось бы, вся правая часть, т. е. гироскоп, должна подняться кверху. Действительно, так было бы, если бы гироскоп не вращался. Вращающийся же гироскоп придет во вращение с постоянной скоростью около вертикальной оси в направлении, показанном пунктиром со стрелкой. Движение происходит под прямым углом к направлению действующей силы.

Описанное явление, при котором ось вращения начинает вра­ щаться около направления силы, называется прецессией. Прецес­ сионное движение волчка хорошо знакомо каждому. Как только ось волчка хоть немного отклонится от вертикали, на волчок начнет действовать опрокидывающий момент силы тяжести. Неподвижный волчок упал бы, но вращающийся волчок начнет прецессировать около верти­ кали, ось волчка будет описывать конус с вершиной в точке опоры

волчка.

Обычно вращение волчка носит еще более сложный характер. На прецессионное Движение накладывает­ ся нутация. Оказывается, что неболь­ шой толчок (который всегда возмо­ жен) может заставить ось волчка дро­

Рис. 36. жать (рис. 36). В результате явления нутации ось описывает не окруж­ ность, а циклоидальную линию, показанную на рисунке. Впро­

чем, часто нутационные явления заметны очень слабо.

Г Л А В А 5

КОЛЕБАНИЯ

§ 24. Малые отклонения от равновесия

Движения, совершаемые телом или частицей около положения

Обоснование написанной зависимости заключается в следую­ щем. Потенциальная энергия есть функция смещения из положения равновесия. Как известно, при достаточно широких предположениях любую функцию при малых х можно разложить в ряд Тейлора по возрастающим степеням х:

U = ах + YKX'~ + ЬХ* -Ь сх*+ . . .

Однако, если х мало, то члены с высокими степенями можно от­ кинуть, а первый член пропадает, если потенциальная яма симмет­ рична, и значения потенциальной энергии на одинаковых расстоя­ ниях слева и справа от равновесия должны быть одинаковы.

Сила, действующая на отклонившуюся от равновесия точку, будет равна производной от потенциальной энергии с обратным зна­ ком. Поэтому, если энергия выражается формулой и=1Цгх'*, то F~—kx. Смысл знака минус очевиден: найденная сила всегда воз­ вращает тело к положению равновесия, всегда направлена в сто­ рону, противоположную смещению. Силу /•" = —kx так и называют возвращающей силой, а коэффициент k иногда называют коэффици­ ентом возвращающей силы.

Какой же характер будет носить движение, возникшее под действием возвращающей силы? На этот вопрос ответ должен дать закон Ньютона, который запишется для движений вблизи равно­ весия в виде та=—kx.

Это уравнение будет удовлетворено, если точка совершает около положения равновесия гармонические колебания, т. е. колебания по закону

Л2 Л 4.

х= А cos-уг t,

где Т — период колебания.

Проверим это утверждение. Скорость движения точки для написанной зависимости смещения от времени будет равна

Запомним, что максимальное значение скорости колебательного движения, т. е. амплитуды скорости, равно имякс=2пА/Т. Теперь найдем ускорение как производную скорости. Получим

мы видим, что содержащие время множители сокращаются. Значит, уравнение гармонического колебания удовлетворяет закону Ньюто­ на для малых отклонений от равновесия.

Замечательным является то обстоятельство, что закон Ньютона накладывает связь на период возможных колебаний. Как видно из последней формулы, период свободных колебаний около положения равновесия Т = 2л Упг/k. Период колебания определяется свойства­ ми колеблющейся системы — коэффициентом возвращающей силы k и массой точки. Поэтому понятно, что этот период называют собст­

за исключением того, что колебания должны быть малыми откло­ нениями от положения равновесия.

§ 25. Частные случаи колебаний

Соответственно с тем, что мы оперируем в механике с двумя видами потенциальной энергии — упругой и тяготения, и механи­ ческие колебания тел можно разбить на эти два случая.

Тела, колеблющиеся под действием сил упругости, наиболее часто совершают линейные колебания сжатия и растяжения; рас­ пространены и крутильные колебания.

Если тело, подвешенное на резиновом шнуре, пружине или про­ волоке, будет смещено от положения равновесия в направлении шнура, оси пружины или проволоки, то возникнут линейные коле­ бания под действием возвращающей силы упругости. Коэффициент k есть в этом случае жесткость колеблющегося тела.

В какой мере этот коэффициент определяет возникающий период и частоту колебания, видно из следующего примера. Одинаковые грузы с массой 1 кг под­ вешены к трем пружинам различной жесткости. Под действием этих нагрузок пружины растянуты соответственно на 1 мм, 1 см и 1 м. Тогда коэффициенты жест­ кости будут соответственно иметь значения:

981.103

k^———^0.981-107 дин/см; £2 = 0,98Ы0« дин/см; fc3 = 0,981-10* дин/см.

Периоды и частоты колебаний этих маятников будут

7\ = 2л j / ^ - = 2я 1 / ^ 1 ^ - = = 6,34-10-г с, v 1 = 15,8 Гц;

В крутильных колебаниях возвращение к равновесию происхо­ дит под действием крутильного момента, который при малых откло­ нениях от равновесия прямо пропорционален угловому смещению. Если, скажем, на проволоке висит массивная шайба с моментом инерции / и проволока закручена на какой-то угол, то уравнение

Роль коэффициента возвращающей силы D здесь играет вращатель­ ный момент, отнесенный к единице углового смещения, роль массы

играет момент инерции. Значит, период свободных крутильных ко­ лебаний представится формулой

Т = 2л

Чем больше момент инерции, тем меньше частота колебаний.

П р и м е р . Пусть диск с массой 100 г и радиусом 5 см подвешен к стальной нити и совершает крутильные колебания с периодом 1 с. Момент инерции диска

Тела, колеблющиеся под действием сил тяготения,— это маят­ ники. Если маятник можно примерно представить как материаль­

кратится. Итак, мы пришли к известному выводу, заключающемуся в том, что в данном месте поля тяготения период колебаний мате­ матического маятника будет зависеть только от его длины.

Измерения периода колебаний маятника могут быть использо­ ваны для определения g. Эти измерения исключительно точны, по­ этому самые незначительные колебания величины g могут быть об­ наружены. На этом основаны методы определения фигуры Земли и гравиметрическая разведка (небольшие, но далеко выходящие за пределы ошибок опыта изменения, значений g могут произойти бла­ годаря залеганию под земной поверхностью более плотных или менее плотных пород).

симальна потенциальная энергия. Отсюда, кстати, очевидно, что

© = —

— энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды.

Для трех пружинных маятников, рассмотренных в примере на стр. 76, если их амплитуды колебаний одинаковы и равны Л =0,1 см, полные энергии колеба­ ний будут соответственно иметь значения

&=0,49.-10» эрг; (£2 = 0,49-10* эрг; <£3 = 49 эрг.

Эти рассуждения не учитывают сил трения, испытываемых, как правило, любым колеблющимся телом. Такие идеальные колебания будут продолжаться вечно с неизменной х амплитудой. Наличие трения приводит

кзатухающим колебаниям. Формально

ив этом случае можно записать уравне­ ние смещения в виде

на опыте, состоит в том, что сила трения пропорциональна скорости

Для шарика радиусом 0,53 мм коэффициент сопротивления а при температуре около 15 °С будет в глицерине 13,93 г/с, в серной кислоте 0,35 г/с, в воде 0,01 г/с.

Уравнение энергии имеет теперь вид

d<B — —OLV dx;

колеблющаяся точка непрерывно теряет энергию в количестве, равном работе сил сопротивления. Уравнение движения записы­ вается так:

та=—kx—av.

Нетрудно показать подстановкой, что это уравнение удовлетво­ ряется решением х=A coso)^, если амплитуда колебаний Л умень­ шается со временем по экспоненциальному закону: