книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

Отсюда понятно, как отражается направление волны на виде уравнения волны. Если волна движется вдоль оси координат, то значение координаты х будет входить со знаком минус. При дви­ жении волны против направления отсчета координаты в аргументе косинуса надо изменить знак на обратный:

Знак минус можно отбросить, так как косинус— четная функция. Из вида уравнения сразу же следует, что период этой синусоиды равен

1=сТ.

Этот пространственный период, т. е. расстояние, через которое по­ вторяется волнообразное распределение, носит название длины вол­ ны. Мы получили известное соотношение, связывающее скорость движения волны с длиной волны и периодом колебания точки.

При волновой передаче деформации через тело по закону синуса меняется ряд физических величин: смещение точки от положения равновесия, скорость колеблющихся частиц, давление и плотность. Поэтому выражение волны, которым мы оперируем, является весьма общим. Под величиной у можно понимать любую из перечисленных физических величин, изменяющихся по закону синуса при движении волны вдоль направления х. Правда, следует отметить, что волны давления, скорости, смещения не обязаны быть в одной фазе. На­ пример, ясно, что волна скоростей колеблющихся частиц будет сдвинута по фазе на 90° по отношению к волне смещений. Ведь ско­ рость точки максимальна, когда она проходит положение равно­ весия.

§ 34. Волны давления и скорости колебания

Представляет интерес соотношение между амплитудами волн раз­ личных физических величин. Остановимся на этом вопросе лишь для случая продольных волн, распространяющихся в газе. Нас могут за­ интересовать волны смещения, скоростей частиц, избыточного дав­ ления. Так как теория возникла для волн, воспринимаемых слухом, то избыточное давление Ар часто называют звуковым давлением и, отбрасывая значок Д, обозначают через р.

выражением для газов (стр. 97), получим для звукового давления формулу

, Ли

Вполне естественно, что имеется прямая связь между избыточным давлением р и относительным сжатием в том же месте газа.

Но величину относительного сжатия объема Aviv можно связать с амплитудой смещения колеблющихся частиц. Отметим вдоль линии распространения две точки: хх и х2. В продольной волне изменение плотности происходит лишь благодаря смещениям в направлении распространения. Выделим мысленно в газе объем, ограниченный сечениями хх и х2. Когда идет волна, молекулы, находящиеся внутри этого объема,сместятся.Следить нам нужно только за граничными се­ чениями. Если молекулы слоя хх сместятся на ух — A cos со (t — ~ j ,

объема изменится от значения х2 —хх в отсутствие волны на величину Уг~Уі- Относительное изменение длины, а значит, и объема будет

у ~ ^ ~ . Переходя к пределу, чтобы получить величину, характер­ ную для точки пространства, получим

а для давления

р = — ср Лео sin со ^/ — у j

Этим доказано, что давление изменяется в фазе со скоростью ко­ лебания частиц в волне. A co = w0 есть амплитуда скорости колебания. Таким образом, амплитуда давления р 0 выражается через амплитуду скорости следующим образом:

р0=рш0.

В акустике и измеряют обычно в см/с, а давление — в дин/см3 . Для воздуха при комнатной температуре для этих единиц р0~41 «0 . Величина рс называется акустическим, или волновым, сойротивлением. Смысл названия, очевидно, такой: чем больше сопротивление, тем меньше скорость колебания частиц при тех же величинах избы­ точного давления.

Мы видим, что интенсивность волны имеет смысл потока энергии, проходящего через единицу площади. Это было впервые указано Н. А. Умовым, разработавшим теорию движения энергии в телах.

До сих пор предполагалось, что волновое движение распростра­ няется вдоль прямой линии. Подобное рассмотрение имеет цену для изучения деформации, бегущей вдоль стержней, струн, воздушных столбов и пр. Однако нас интересуют и такие случаи, когда волновым движением захвачена область трехмерного пространства.

Для описания трехмерной волны нужно знать, как движется ее фронт. Чтобы отыскать фронт волны, надо суметь для данного мгно­ вения отметить все точки пространства, находящиеся в одинаковых фазах колебания. Отмечая последовательное положение этой поверх­ ности равных фаз, т. е. фронта волны, мы получим ясное представ­ ление о характере волнового движения.

Рис. 58.

Поверхность волны, вообще говоря, может иметь любую форму. Какой же смысл тогда получит направление распространения волны? За это направление естественно принять нормаль к фронту волны.

Если среда вполне однородна и волна излучается в какой-либо точке среды, то фронт ее будет сферическим. Такая волна распро­ страняется по радиусам от центра. На больших расстояниях от центра излучения уже значительные участки фронта волны будут с точностью опыта казаться плоскими. Так возникает представление о плоской волне, распространяющейся в направлении нормали к фронту. Если излучатель волны имеет вид линии, то возникнет цилиндрическая волна, распространяющаяся по радиусам цилинд­ ра. Разные типы волн показаны на рис. 58.

Если оставить без внимания всякого рода потери энергии, проис­ ходящие при движении плоской волны, то можно утверждать необ­ ходимость равенства количества энергии, проходящей через по­ следовательные положения поверхностей равной фазы. Поэтому интенсивность плоской волны не будет меняться в процессе ее рас­ пространения. Однако иначе обстоит дело для сферических и цилин­ дрических волн. Так как поверхности равной фазы увеличиваются по своей площади пропорционально квадрату расстояния и первой

степени расстояния соответственно для сферических и цилиндри­ ческих волн, то интенсивности этих волн должны меняться обратно пропорционально квадрату расстояния для сферической волны и первой степени расстояния для цилиндрической волны. Только в этом случае будет соблюден закон сохранения энергии.

Интенсивность волны пропорциональна плотности колебательной энергии, которая пропорциональна квадрату амплитуды колебания. Отсюда следует: амплитуда сферической волны обратно пропорцио­ нальна первой степени расстояния от излучающего центра, а ампли­ туда цилиндрической волны обратно пропорциональна корню квад­ ратному из расстояния от излучающей линии: «/=-^-cos со (^t—

волны. Здесь расстояние г, так же как и ранее х, откладывается вдоль направления распространения волны.

Пусть под водой помещен источник, колебаний с частотой 1 кГц, создающий поток энергии 1 = 1 Вт/см2 . Оценим амплитуду смещения А молекул воды, их уско­ рение В и амплитуду колебательной скорости (оА=и0.

Из формул предыдущих параграфов следует, что

Для воды с=1450 м/с; р = 1 г/см3 и

A i=x 1,9-10-? см, р = 740 м/с2 , щ я» 12 см/с.

Если такой же поток энергии при прежней частоте колебаний создается в воз­ духе, для которого с=330 м/с, р=1,293- Ю - 3 , то

Закон падения интенсивности какого-либо излучения при про­ хождении через среду почти всегда (для любой среды и любого излу­ чения) может быть получен из следующего рассуждения. Если волна прошла слой толщины dx, то потерянная интенсивность должна быть во всяком случае пропорциональна падающей интенсивности и толщине слоя, т. е. dl——\ildx.

Это уравнение можно проинтегрировать; полагая интенсивность равной / 0 в точке я = 0 и равной / в точке х, получим закон,

справедливый для конечных расстояний:

/і

Таким образом, интенсивность волны падает по экспоненциальному закону.

В акустике принято говорить о затухании амплитуды колебания. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то затухание амплитуды колебания будет выражаться тем же законом, только коэффициент затухания (или поглощения) будет в два раза меньшим:

Укажем на смысл коэффициента поглощения \и (или -JJLI). Изме­ ренный в обратных сантиметрах (в показателе должна стоять без­ размерная величина), он дает величину, обратную толщине, на протяжении которой интенсивность или амплитуда излучения ос­ лабляются в е раз.

Формулировка закона экспоненциального затухания, разумеет­ ся, лишь частично решает проблему поглощения упругой волны средой. Более важными являются поиски зависимости коэффициента поглощения от свойств среды и от частоты излучения.

Для многих веществ найдено, что затухание упругой волны (ос­ новные данные относятся к звуковым волнам в воздухе) возрастает

счастотой колебания. А именно, коэффициент поглощения

р.= асо2.

Однако монотонный ход поглощения с частотой может нарушать­ ся. Некоторые вещества обладают избирательным поглощением звука в относительно узкой области частот. Так, например, поглощение ультразвука углекислым газом имеет пик при частотах около 277 кГц. Если провести плавную параболу в соответствии с форму­ лой Li=aco2 для коэффициента поглощения, то она будет хорошо сов­ падать с экспериментальными данными во всех областях, кроме ука­ занной. При частотах же около 277 кГц, поглощение будет примерно в 20 раз больше, чем это следует из параболического закона.

Что касается зависимости коэффициента поглощения от свойств среды, то здесь для продольных волн в газах и жидкостях имеет место следующая закономерность. Коэффициент поглощения обрат­ но пропорционален кубу скорости упругой волны и прямо пропор­ ционален кинематической вязкости. Столь резкая зависимость от скорости распространения, а также значительная величина

кинематической вязкости воздуха приводят к тому, что поглощение звуковых и ультразвуковых волн в жидкости примерно в 1000 раз меньше, чем в воздухе; это значит, что при той же самой частоте упругие волны будут распространяться в воде на расстояния в ты­ сячу раз большие, чем в воздухе.

Поглощение поперечных волн в твердых телах также сильно за­ висит от свойств тела; так, поглощение в резине, пробке и стекле соответственно в 13 ООО, 8500 и 130 раз больше, чем в алюминии.

Если имеется не один, а несколько источников волн, то каждая точка среды примет одновременно участие в нескольких волновых движениях. Оказывается всегда возможным рассматривать колеба­ ние физической величины, происходящее благодаря действию не­ скольких волн, как сумму колебаний, каждое из которых имело бы место, если бы действовала одна волна.

Положим, что из двух точек, расположенных на некотором рас­ стоянии друг от друга, исходят шаровые волны. При помощи урав­ нения волны можно найти значение амплитуды колебания в любой момент времени для любой соседней точки. Если интересующее нас место находится на расстояний гх от первого и г2 от второго источ­ ника волн, то колебания в нем представятся формулой

Результатом сложения двух колебаний, отличающихся только фаза­ ми, является, как нам известно, также гармоническое колебание, совершающееся с амплитудой 2А cos (6/2), зависящей от разности фаз складывающихся колебаний. Разность фаз б равна в этом случае

Итак, вообще говоря, все точки рассматриваемого нами волно­ вого поля будут находиться в колебании. Но амплитуды этих коле­ баний в разных точках будут разными. Обращают на себя внимание два крайних случая. Во-первых, найдутся такие точки, в которых складывающиеся колебания уничтожат друг друга. Эти точки будут удовлетворять условию

2л ^ l 2 = ( 2 f t + l ) я,

где k=0, 1, 2, 3, . . . , — разность фаз равняется нечетному числу л. Напротив, если

2л 2&я,

разность фаз равна четному числу я , то амплитуды колебания будут складываться арифметически, т. е. в максимальной степени усили­ вать друг друга.

Разность rt— гг называют разностью хода волн; термин не нуж­ дается в пояснениях. Условия максимумов и минимумов амплитуды можно с помощью этого понятия сформулировать несколько иначе. Условие максимума

говорит, что разность хода между волнами, пришедшими в данную точку, должна равняться целому числу длин волн. Условие мини­ мума

г . - г , = 4 (2Л+1)

говорит, что разность хода должна равняться нечетному числу полу­ волн. Эти условия имеют весьма наглядный смысл: волны усиливают друг друга, если накладывается горб к горбу, и уничтожаются, если накладывается горб на впадину.

Наложение волн, при котором происходит сложение их ампли­ туд, называется интерференцией.

Как известно из аналитической геометрии, кривые линии, удовле­ творяющие условию постоянства разности расстояний от точки

с/=ЗЛ d = V$X </= 2А а* */гх d- Л

<*=• '/лА. d = Q

cf=-"/£A. \ d=-A •

d^-3/zA.

Рис. 59.

кривой до двух фокусов, суть гиперболы. Если провести плоское сечение через точечные источники и отметить на рисунке места мак­ симального усиления и места уничтожения волн, то они попадут на гиперболы. Соответствующие кривые показаны на рис. 59. Можно без труда наблюдать такую картину на воде, если заставить интер­ ферировать два источника, посылающих водяные круги из соседних точек.

Таким же точно способом может быть рассмотрена интерферен­ ция любого числа источников волн.

§38. Принцип Гюйгенса — Френеля.

Отражение и преломление волн

Бросается в глаза полная равноправность всех колеблющихся точек волнового поля. Они различаются только фазами. С этой точки зрения возникает естественная мысль: мы имеем право рассматривать любую точку волнового поля как самостоятельный источник сфери­ ческих волн.

Справедливость этой идеи, высказанной впервые в 1690 г. Хри­ стианом Гюйгенсом, можно проверить, делая попытки построения фронта волны по данным о волновом поле на некоторой граничной поверхности. При этом необходимо учитывать, что отдельные (так называемые элементарные) сферические волны будут друг с другом интерферировать. В указании возможности такой процедуры и сос­ тоит принцип Гюйгенса, дополненный Френелем.

В чем же значимость этого принципа? Представим себе, что вол­ на падает на непрозрачный экран с несколькими отверстиями. Из принципа Гюйгенса — Френеля следует возможность поисков вол­ нового поля за экраном без всякого знания об источниках полей. Достаточно знать интенсивность поля в плоскости экрана, принять, что из каждой точки экрана распространяется сферическая волна. Амплитуда волны в любом месте пространства найдется сложением (интерференцией) всех элементарных волн, выходящих из отверстий в экране. Откладывая рассмотрение вопросов, связанных с прохож­ дением волн через экраны (эти проблемы представляют наибольший интерес для световых волн), мы остановимся на применении принци­ па Гюйгенса — Френеля для объяснения явлений отражения и преломления волн.

Рис. 60.

Рассмотрим участок плоской волны, падающей на границу раз­ дела двух сред. Как известно, волна любого происхождения отра­ жается под углом, равным углу падения. Но почему должно так произойти? На это отвечает принцип Гюйгенса. Все точки границы сред можно рассматривать как источники элементарных волн. Пер­ вая элементарная волна отправится от той точки, куда раньше всего