книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

Достоинства последнего уравнения заключаются в том, что оно пра­ вильно передает общий характер зависимости между параметрами для всех газообразных веществ. Однако не удается подобрать для данного вещества такие постоянные значения а и Ь, чтобы данные расчета хорошо совпадали с измерениями в широком интервале.

Обоснование уравнения Ван-дер-Ваальса заключается в сле­ дующем. Давление удовлетворяет уравнению газового состояния,

RT

р =—, в том случае, если силами притяжения между молекулами пренебрегают. От взаимного притяжения молекул давление на

Почему же p'—a/v3? Здесь мы рассуждаем следующим образом. Раз­ делим мысленно объем газа на две части. Одна из них притягива­ ется другой. Силы притяжения должны быть пропорциональны числу молекул в левой части и числу молекул в правой части объема. Иначе говоря, силы притяжения должны быть пропорциональны квадрату плотности, т. е. обратно пропорциональны квадрату объема.

О силах взаимодействия между молекулами мы еще поговорим подробнее в ч. I I I .

Г Л А В А 10

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ § 58. Графическое изображение процессов

Если два параметра состояния тела заданы, то третий вычисля­ ется с помощью уравнения состояния. Значит, на графике, где по одной оси откладывается один параметр (скажем, давление), а по другой оси — второй параметр (скажем, объем), состояние тела совершенно однозначно характеризуется изображающей точкой.

Необходимо, правда, добавить, что, прибегая к графическому изображению состояния, мы молчаливо подразумеваем, что состоя­ ние тела является равновесным. Только в этом последнем случае значения параметров состояния во всем объеме системы будут оди­ наковы и можно будет говорить о температуре, давлении, плотности и т. д. всего тела (системы) как целого.

Может возникнуть вопрос, о каких же процессах идет речь, если рассмотрению подлежат равновесные состояния? Ответ состоит в следующем: если процесс идет достаточно медленно, то значения па­ раметров состояния во всем объеме можно считать одинаковыми. Та­ кой процесс является как бы непрерывной последовательностью рав­ новесных состояний. Такой процесс является обратимым. Это зна­ чит, что любой процесс, изображенный графически, можно мыслить

проведенным в обе стороны. Процесс, состоящий из последователь­ ных равновесий, может быть проведен от состояния / к состоянию 2, а затем от состояния 2 к состоянию / через те же промежуточные состояния и при этом в окружающей среде никаких изменений не произойдет.

Обратимый процесс является процессом идеализированным. Лю­ бой реальный процесс в той или иной степени необратим, в зависи­ мости от того, сколь далеки промежуточные состояния процесса от равновесных.

Необратимость реальных процессов ясна из следующего сообра­ жения. Всякое установление равновесия необратимо. Примеры просты и знакомы каждому: остывание тела в более холодной среде, «рассасывание» механической деформации, например возвращение к покою сжатой и отпущенной пружины, самопроизвольное переме­ шивание двух газов и т. д. Обратные процессы не могут происходить сами по себе, не могут являться единственными процессами, проис­ ходящими в замкнутой системе.

Любой реальный процесс не состоит из последовательных равно­ весий, в нем неизбежно имеют место явления, подобные перечис­ ленным. Значит, проводя этот процесс в обратную сторону, мы ни­ когда не сумеем провести его в точности через те же состояния. При сжатии газа, если оно происходит с достаточной скоростью, давле­ ние газа в слоях, прилегающих к поршню, будет повышенным. При обратном процессе — расширении газа — давление около поршня будет, наоборот, пониженным.

Несмотря на то, что обратимые процессы являются идеализиро­ ванными, их изучение представляет большой интерес, так как в очень многих случаях различия между реальными и обратимыми процессами становятся незначительными. Все зависит от времени релаксации — так называется время, в течение которого устанавли­ вается равновесие. Это время меняется в очень широких пределах,

Предположим, что мы сжимаем газ и при этом весь процесс за­ нимает у нас одну секунду. Время релаксации — это ничтожные доли секунды. Поэтому мы вправе считать, что реальный процесс есть последовательность равновесных состояний, и поэтому имеем право изобразить его линией на графике р, v или ином аналогичном чертеже. То же относится и ко всем другим процессам, у которых время релаксации мало по сравнению с временем измерения.

Ознакомимся с видом линий, изображающих простейшие про­ цессы (рис. 75). Мы будем пользоваться графиком с координатами давление — объем. В технической термодинамике употребительны и другие координаты, однако нам нет нужды на них останавливаться. Вертикальная линия 1 на таком графике изображает процесс при постоянном объеме. Если изображающая точка движется снизу вверх, то давление растет, в обратном случае давление падает. Ясно,

что в этом процессе происходит «не видное» на нашем чертеже изме­ нение температуры. Горизонтальная линия 2 есть процесс при по­ стоянном давлении (изобарический процесс). Слева направо — рас­

время практически важных явлений. К ним относятся уже упомя­ нутые выше процессы при постоянном объеме (изохорический), при

§59. Работа. Циклы

Вмеханике пользуются чаще всего работой, представленной как произведение силы на путь. В термодинамике нас обычно интересует работа изменения объема тела. На рис. 76 изображены контуры тела

вдвух состояниях. Объем тела изме­

нился от Vi до v2. Полную работу изме­ нения объема можно рассматривать как сумму работ, затраченных на сме­ щения элементов площади dS на путь dl. Если действующие силы перпенди­ кулярны к поверхности, то работа на смещение участка поверхности равна / dl или, вводя давление, р dS dl, т. е.

где dv — местное изменение объема. Ясно, что вся работа выразится определенным интегралом

v2

А = J р dv.

На графике р, v работа сжатия или расширения имеет простой смысл: это и есть площадь, ограниченная кривой процесса и двумя

крайними ординатами, проведенными для начального и конечного значений объема.

Если давление во время процесса сжатия или растяжения оста­ ется неизменным и, кроме того, если оно одинаково во всех точках поверхности, то р можно вынести за знак интеграла и вычислять работу по формуле

A=p(v.2 — v1).

Как мы уже говорили, в зависимости от того, как мы условимся, можно считать работу положительной или отрицательной. Мы приняли, что положительной является работа, отдаваемая телом во

V V

Рис. 77.

внешнюю среду, т. е. работа расширения. Соответственно работа сжатия будет отрицательной.

Если в результате какого-либо процесса тело переводится из состояния / в состояние 2, а затем по тому же пути переходит в начальное состояние, то полная работа такого процесса будет, ра­ зумеется, равняться нулю: работа расширения, отдаваемая внешним телам, равна работе сжатия, отдаваемой внешними телами рассма­ триваемой системе. Однако совсем иначе будет обстоять дело тогда, когда пути «туда» и «обратно» будут различаться. Процессы, в кото­ рых тело возвращается в исходное состояние иным путем, называ­ ются циклическими. На рис. 77 изображены два цикла и стрелками указано направление процессов. Один из них проходит по часовой стрелке, а другой — против. Процесс, идущий слева направо,— расширение, значит в цикле, проходящем по часовой стрелке, ра­ бота расширения больше работы сжатия. В этом случае работа от­ дается во внешнюю среду. Очевидно, при цикле, протекающем про­ тив часовой стрелки, к рассматриваемой системе поступает извест­ ное количество работы. Работа, полученная или отданная за время цикла, выражается его площадью (заштрихована на рисунке).

§ 60. Процессы изменения состояния газов

Мы рассмотрим закономерности четырех простейших процессов изменения состояния газов, при этом в большинстве случаев ограни­ чимся газами, удовлетворяющими уравнению газового состоя­ ния. Мы увидим сейчас, что, зная уравнение состояния вещества, можно с помощью первого начала термодинамики вывести ряд

ценных следствий о поведении тела в различных условиях. Первое начало термодинамики для газов будем записывать в виде

AQ dU+pdu.

Изохорический процесс. При постоянном объеме первое начало термодинамики принимает вид

AQ = dU.

Рассматриваемая система находится с внешней средой в теплообмене, работа не поступает ни во внешнюю среду, ни в рассматриваемую систему. Возможны два явления: 1) тело получает от среды тепло и увеличивает свою внутреннюю энергию; 2) тело отдает среде тепло, уменьшая свою внутреннюю энергию.

Количество тепла, необходимое для увеличения температуры тела на один градус при неизменном объеме тела, называется теп­ лоемкостью при постоянном объеме и обозначается буквой с с ин­ дексом v:

с = (^-)

Если зависимость внутренней энергии газа от температуры изве­ стна, то теплоемкость с может быть вычислена.

При высоких температурах внутренняя энергия газов линейно зависит от температуры, так как теплоемкость cv при этом от темпе­ ратуры не зависит.

Мы лишены возможности доказать одну важную теорему. Из общих законов термодинамики следует: если р зависит от Т линей­ но, то cv не может зависеть от объема. Так как для газов, удовлетво­ ряющих уравнениям газового состояния и Ван-дер-Ваальса, такая линейная зависимость имеет место, то для газов cv не зависит от v и поэтому значок «при o=const» в предыдущей формуле может быть опущен:

Cv=z~W~ (для г а з о в ) -

Если cv мало зависит от температуры, то внутреннюю энергию газов можно представить формулой

U = cvT + const.

Для идеальных газов константа не зависит от объема и может быть отброшена. Для газа, удовлетворяющего уравнению Ван-дер-Ва­ альса, константа равна — alv. Таким образом,

Изобарический процесс. Все три слагаемые, фигурирующие в пер­ вом начале, отличны от нуля в этом процессе. Система обменивается со средой теплом и работой без изменения давления в системе. Наиболее распространенный вариант этого процесса заключается в том, что тело получает из среды тепло, но не обращает его целиком на увеличение своей внутренней энергии, а частично возвращает в среду уже в виде механической работы. На других возможностях не будем задерживать внимания.

Совершенно ясно, что теплоемкости при этом процессе и при рас­ смотренном выше изохорическом должны отличаться. В изобари­ ческом процессе подводимое тепло расходуется не только на нагрев, поэтому теплоемкость Ср (так мы обозначим теплоемкость при по­ стоянном давлении) должна быть больше, чем cv. В некоторых слу­ чаях эту разность можно оценить.

Разделим выражение первого начала на приращениетемпературы:

_&Q___ dU _dy_

Это — выражение теплоемкости, верное для любого процесса, в том числе и для интересующего нас изобарического. Дл я газов по­

Для идеального газа результат получается очень простой. Так как pv=nRT, то ^р—~- и cp=cv-\-\x,R. Таким образом, разность те­ плоємкостей при постоянном давлении и постоянном объеме равна произведению числа молей газа на универсальную газовую постоян­ ную. Тогда для молярных теплоємкостей

ср—cv — R.

Учитывая, что Rm2 кал/(К-моль)—8,31 Дж'(К-моль), ср—cv = 2 кал/(К • моль).

Изотермический процесс. Прежде всего, необходимо, во избежа­ ние путаницы, подчеркнуть, что неизменность температуры вовсе не означает отсутствия теплообмена между системой и средой. Система может получать тепло от среды, но обращать его не на повышение температуры. Как хорошо известно, внутренняя энергия тела может возрастать при неизменной температуре (вспомните плавление льда). Кроме того, имеется еще одна возможность (более важная, чем

первая) для газовых процессов: получая тепло от внешней среды, система может отдавать его во внешнюю среду обратно, но в виде ме­ ханической работы.

Вслучае реальных газов оба способа расходования тепла при изотермическом процессе вполне возможны: получая тепло, газ рас­ ширяется без нагрева и, во-первых, отдает работу внешней среде, а во-вторых, использует тепло на изменение потенциальной энергии взаимодействия молекул.

Вслучае идеальных газов, у которых внутренняя энергия зависит только от температуры и, следовательно, в изотермическом процессе меняться не может, первое начало приобретает особенно простой вид. Так как d(J=0, то AQ—AA. Следовательно, либо система расширя­ ется, получая тепло от внешней среды и отдавая среде работу, либо, наоборот, система сжимается, отдавая внешней среде тепло, а по­ лучая от внешних тел энергию в виде механической работы. Иде­ альный газ является в изотермическом процессе преобразователем энергии: получая ее от среды в одной форме, он возвращает ее среде полностью, но в другой форме.

Нетрудно в случае идеального газа перейти от дифференциаль­ ной формы AQ-=pdv к интегральной. Работа (или тепло, это без­ различно, так как они равны) изотермического расширения от объема Ух до объема v2 равна

подставляя значение давления из уравнения газового состояния и вынося температуру как постоянную величину за знак интеграла, получим:

Обратим внимание на то, что изотермические расширения в оди­ наковое число раз, но при разных температурах требуют различной работы, тем большей, чем выше температура. Например, увеличение вдвое объема одного моля какого-либо идеального газа при темпе­ ратуре 300 К (комнатной) требует работы 8,31-300-In 2=1730 Дж , а при температуре 3000 К — в десять раз больше, т. е. 17 300 Дж .

Практическое осуществление изотермического процесса может быть затруднительным. Во всяком случае для того, чтобы процесс был хотя бы приближенно изотермическим, необходимо стенки со­ суда, через которые вещество общается со средой, сделать идеально теплопроводящими и вести процесс очень медленно, чтобы тепло (или работа) успевало возвращаться среде в виде работы (или тепла), не задерживаясь в системе.

Адиабатический процесс. При отсутствии теплообмена со средой, что может быть достигнуто при помощи условий, в некотором роде обратных по сравнению с изотермическим процессом (идеальная

теплоизоляция и быстрое проведение процесса, чтобы тепло не успело перейти из системы в среду или обратно), происходят явле­ ния адиабатического сжатия или расширения. В первом случае в соответствии с первым началом термодинамики, которое теперь за­ пишется в виде

pdv = — d U,

механическая работа переходит во внутреннюю энергию тела; во втором случае, наоборот, работа производится за счет убыли вну­ тренней энергии рассматриваемой системы.

В трех процессах, рассмотренных ранее, ход изменения давления, объема и температуры был довольно очевидным, а для газов сразу же вытекал из уравнения состояния. В адиабатическом процессе характер изменения параметров состояния не очевиден, так как все три параметра состояния изменяются. Совместное решение двух уравнений — уравнения состояния газов и первого начала тер­ модинамики — позволяет установить эти зависимости. Так как нас интересует принципиальная сторона дела, то ограничимся случаем идеального газа, чтобы математические расчеты были простейши­ ми. Воспользовавшись выражением для теплоемкости газов при по-

Из этого уравнения видно, что при адиабатическом сжатии темпе­ ратура возрастает, а при расширении — падает. Этим обстоятель­ ством часто пользуются на практике. Быстрое расширение газов применяется тогда, когда хотят их охладить. Известно, что углекис­ лый газ, выпущенный из баллона, может при расширении обра­ щаться в сухой лед, настолько сильно падает температура. Напро­ тив, адиабатическим сжатием можно воспользоваться, например, для воспламенения какого-либо вещества. Распространен демон­ страционный опыт: ватка, смоченная эфиром, помещается в сосуд с воздухом. Воздух может быть сжат поршнем. При быстром движе­ нии поршня ватка воспламеняется.

Так как мы условились изображать газовые процессы на графике р, v, то написанное уравнение адиабатического процесса