книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений
.pdfвозможной частоте колебния. Если провести сферу радиусому, то в нее попадут все точки, изображающие частоты, меньшие v. Объем такой сферы равен 4 / 3 nv3 , объем каждой ячейки обратной решетки
Рис. 66.
равен (c/2)3/v, где v — объем тела. Следовательно, число собствен ных колебаний тела с частотами, меньшими v (число узлов в октанте сферы), выражается формулой
4 V3
Эта интересная закономерность показывает, что число собственных частот резко возрастает, если мы начнем увеличивать интервал ча стот, подлежащий рассмотрению. При больших частотах дискрет ный характер спектра начинает смазываться, частоты становятся весьма близкими друг к другу.
§ 44. Вынужденные колебания стержней и пластинок
Если колебания стержня, пластинки или иного тела происходят
не в вакууме, |
а в какой-либо среде *), жидкой |
или |
газообразной, |
то некоторая |
часть интенсивности, зависящая, |
как |
нам известно, |
от отношения волновых сопротивлений соприкасающихся сред, переходит из колеблющегося тела в среду. Можно выразить эту же мысль короче: колеблющееся тело излучает энергию. Благодаря излучению свободные колебания стержня, струны и пр. быстро за тухают. Если нужно, чтобы такое тело являлось постоянным источ ником излучения, то колебания следует возбуждать посторонним источником. Так же как и в случае колебаний точки, подведение энергии может произойти как по схеме автоколебаний, так и созда нием вынужденных колебаний.
*) Надо примириться стем, что о колебании тела говорится в двух смыслах— колебании тела как целого и колебании частей тела друг относительно друга.
В зависимости от способа и места подведения внешней энергии можно возбудить, вообще говоря, любую из частот или любую ком бинацию собственных частот способного колебаться тела. Можно, например, следующим образом создать вынужденные колебания натянутой струны. Около стальной струны укрепляется электромаг нит, питаемый синусоидальным током от звукового генератора. Коле бания струны под действием периодически меняющейся внешней
поперечной силы станут заметными |
|
|||
лишь в случае резонанса. Подби |
GofMiMou) |
|||
рая |
разные натяжения |
струны и |
||
|
||||
варьируя внешнюю частоту, мож |
|
|||
но |
продемонстрировать |
колебание |
|
|
струны на основной частоте, а так |
|
|||
же |
и на более высоких |
обертонах. |
|
|
Огромное практическое значе ние имеет создание вынужденных колебаний (стоячих волн) в пье зоэлектрических пластинках и ферромагнитных стержнях. Эти колеблющиеся тела являются источниками ультразвуковых волн.
1000 ЩО
ЯапряэКсхносЖб магнитного ноля. ' вэрсжедах.
Рис. 67.
Ферромагнитные тела обладают свойством удлиняться или укора чиваться под действием магнитного поля. Теория этого явления сложна и мы скажем о ней и в дальнейшем лишь немногое. Пока что для нас достаточно знать, как изменяется длина ферромагнит ного стержня в зависимости от напряженности поля. На этот во прос отвечает рис. 67, из которого следует, что никель и отожженный кобальт укорачиваются в полях любой силы, литой кобальт в малых полях укорачивается, а в больших удлиняется и, наконец, железо удлиняется в малых полях и укорачивается в больших. Так или иначе, любой ферромагнитный стержень будет способен совершать вынужденные колебания при внесении в переменное магнитное поле. Для этой цели стержень помещают обычно в отверстие сер дечника трансформатора, через который проходит переменный ток. Чтобы стоячая волна в стержне была достаточно сильной, необхо димо работать в условиях резонанса: частота переменного поля должна совпадать с собственной частотой колебания стержня.
Так как стержень закрепляют в середине, то собственная частота колебаний
V = 2 7 C '
причем стержень может совершать колебания только на нечетных гармониках. Основная частота для никеля, если подставить значе ния физических констант, окажется равной
237
у = - т - к Г ц (/—в сантиметрах).
Например, стержень длиной 40 см будет колебаться с основной ча стотой 6 кГц.
Наиболее распространенным источником ультразвуковых колеба
ний является пьезокварц. |
|
|
§ 45. Колебания пьезозлектриков |
|
|
Как будет рассказано ниже (§ 262), все кристаллы, |
не обладаю |
|
щие в числе своих элементов симметрии |
центром симметрии, могут |
|
обладать пьезоэлектрическим эффектом. |
Это явление |
заключается |
в изменении размеров кристалла под действием электрического поля и, обратно, в возникновении электрического поля в кристалле под действием приложенных к кристаллу сил. При использовании пьезоэлектрика в качестве источника колебаний мы, естественно, интере суемся первым явлением, называемым также электрострикцией, или
обратным пьезоэлектрическим эффектом. В качестве пьезозлектри ков употребляют кварц, сегнетову соль, титанат бария, дигидрофосфат аммония и другие кристаллы. Вообще говоря, имеются сотни известных веществ, которые могли бы в принципе использоваться для той же цели. Однако наличие дополнительных требований (прочность, устойчивость к влаге и пр.), а также, разумеется, жела ние выбрать кристаллы, дающие наиболее сильный эффект, резко ограничивают практический список веществ.
Кристалл, помещенный в электрическое поле, меняет свои раз меры в разных направлениях (по отношению к осям симметрии кристалла) по-разному. Поэтому, вырезая из кристалла стержни или пластинки, различно ориентированные по отношению к осям крис талла, и помещая их между обкладками конденсатора, мы будем получать деформации разного типа. Чаще всего вырезают пластин ку кварца или другого пьезоэлектрика таким образом, чтобы под действием электрического поля в ней происходили продольные сме щения. Тогда под действием переменного электрического поля в та кой пластинке возникнут вынужденные стоячие продольные волны.
Если / — толщина пластинки в направлении движения волны, то собственные частоты колебания представятся, как обычно, формулой v~nc/2l. Для кварца в этой простейшей ориентировке скорость упру гих волн равна 5400 м/с. Следовательно, основная собственная ча стота колебания кварцевой пластинки найдется по формуле
v _ Р-Т^Рк Г ц (/ — в сантиметрах)
(опыт дает несколько иное значение: 2880// кГц).
Амплитуды колебаний зависят от величины прикладываемого поля. Между величиной смещения и напряженностью электрическо го поля существует линейна-я зависимость. Прибегают к довольно сильным полям. Кварц — превосходный изолятор, поэтому при толщинах до сантиметра применяются электрические поля порядка 30 000 В/см.
Основным в получении сильного ультразвукового сигнала явля ется резонансный эффект. Смещения под действием статического поля в тысячи раз меньше резонансных смещений, а ведь энергия колебания пропорциональна квадрату смещения.
Если повышать частоту генератора, можно последовательно воз будить пластинку на всех ее обертонах. Частоты наиболее распро страненных промышленных ультразвуковых генераторов лежат в пределах от сотен до тысяч килогерц.
Г Л А В А 8
ВОПРОСЫ АКУСТИКИ
§ 46. Объективная и субъективная характеристики звука
Слуховые органы человека обладают способностью оценивать громкость звука, его высоту и тембр. Исследуя различные звуки с помощью электронного осциллографа, можно детально сопоставить объективную и субъективную оценки звука.
Так как звук есть результат колебательного процесса, происхо дящего в воздухе, то его можно описать исчерпывающим образом графиком изменения амплитуды (смещения, скорости колебания или давления — это довольно безразлично) во времени. Подобный гра фик дает возможность выяснить, является ли процесс периодиче ским, и если да, то определить основной тон колебания. Изучая
Рис. 68.
форму кривой периодического колебания, можно установить, ка кие обертоны присутствуют и с какими амплитудами. Иначе и более широко говоря, график зависимости колебания от времени позволяет всегда найти спектр колебания, т. е. узнать, какие в нем присут ствуют частоты и с какими амплитудами они представлены в спек тре. Получение графика происходит с помощью микрофона, присое диненного к осциллографу. В более совершенных установках про исходит автоматическое преобразование графика колебания в его спектр.
Упрощенная схема такого анализатора показана на рис. 68. Входной звуковой сигнал, превращенный микрофоном в электриче-
ский, усиливается предварительным усилителем ПУ и попадает в устройство, состоящее из большого числа фильтров . Ф1-^-Ф27, каждый из которых пропускает определенную полосу частот, на пример 7а октавы (36—48, 48—60, 60—72 Гц и т. д.).
| п — "
717 |
1 l l l l I I I |
1 1 |
О 500 |
1000 |
|
|
Чаетолтсг,ЭЦ |
|
J |
—- |
I
,. . . . I 1 1 .
ОS00 1000 1500 ЯО0О &5003000 3500
ЭСларнелт |
Чаетот&,Зц |
|
|
|
Рис. 69. |
Про фильтры можно сказать, что они раскладывают сигнал в спектр и при этом с тем большей разрешающей способностью, чем меньше частотный интервал фильтра. Выделенная фильтром часть спектра
подается на контакты коммутатора К\ |
и далее через усилитель У |
и детектор (выпрямитель) направляется |
на пластины осциллографа, |
отклоняющие электронный луч по вертикали. Если бы на вторую пару пластин осциллографа напряжение не подавалось, то при вклю чении каждого из фильтров электронный луч отклонялся бы на
высоту, пропорциональную амплитуде соответствующей частотной составляющей спектра. Однако можно сделать много лучше, а именно включить при помощи второй пары пластин горизонталь ную развертку электронного луча, так чтобы автоматическое вра щение коммутатора КХ было однозначно связано с вращением ком мутатора /С2 , управляющего разверткой и приводимого в движение мотором М. Таким способом можно добиться того, чтобы амплитуды составляющих, пропущенных разными фильтрами, отмечались бы при разных, но вполне определенных горизонтальных смещениях электронного луча, задаваемых батареей Б.
Тогда на экране осциллографа возникнет спектр.
Линейчатые спектры возникают у периодических колебаний, сплошные — у колебаний, не имеющих периода. К первым отно сятся музыкальные звуки, ко вторым — различного рода шумы.
Один и тот же музыкальный тон, взятый на разных инструмен тах, будет иметь одну и ту же основную частоту, но разный спектр. Тембровая окраска звука определяется распределением интенсивностей обертонов (см., например, рис. 69). Чем сложнее спектр, тем богаче тембр звука в музыкальном отношении. Интересно, что фа зовые сдвиги обертонов (вернитесь к формуле на стр. 91) не влияют на субъективное восприятие звука. Ухо чувствует только силу обер тонов.
Анализ шумов имеет практическое значение. Если известны ча стоты, особенно сильно представленные в шуме, то это облегчает установление причин шума, а значит, и его устранение.
§ 47. Сила и громкость звука
На рис. 70 жирными кривыми ограничена область колебаний, вос принимаемых на слух средним человеком. По оси ординат отложены
Чае/пота tf &ц
Рис. 70.
две однозначно связанные величины: амплитуда звукового давления и сила (интенсивность) звука. Звуковое давление р и сила звука /
связаны в простейшем случае формулой
Действительно, интенсивность |
волны |
I |
=ж, |
где w — плотность энергии, т. е. w=pu2/2. Но (см. стр. 101) u=plpc. Делая подстановку,"мы получим написанную выше формулу. Сила звука может быть измерена в Вт/см2 .
Для воздуха рс=41 . Сильнейшие звуки, вызывающие болевое ощущение, создаются давлением порядка 2000 бар, очень слабые звуки, но все же воспринимаемые средним человеком, имеют давле ние 2 - Ю " 4 бар (1 бар = 1 дин/см2 ). Мы получим для предельных ин-
тенсивностей |
звука цифры от 0,5-105 э р г / ( с - с м 2 ) = 0 , 5 - Ю - 2 Вт/см2 |
до 0,5- Ю - 1 6 |
Вт/см2 . |
Столь большой диапазон интенсивностей делает целесообразным
введение логарифмической шкалы. Если сила одного звука 1и |
|
а другого / 2 , то говорят, что / 2 |
громче / j на К децибелов, если |
|
'і |
Величину К называют уровнем |
громкости. Таким образом, если силы |
звука отличаются в миллион раз, то по громкости они различаются на 60 децибелов.
Оценивая силу звука в децибелах, надо указать нулевой уровень.
Обычно берут |
величину, |
близкую |
к порогу слышимости |
( Ю - 1 6 Вт/см2 ), |
тогда шепот |
обладает |
громкостью порядка 15 дБ , |
а шум самолета — 120 дБ . |
|
|
|
Возвращаясь еще раз к диаграмме слуховых восприятий, отме тим, что область речи заключена в более узкие рамки как по часто там (от 100 до 10 000 Гц), та.к и по силам (от 40 до 80 дБ). Звуки разной частоты обладают различной слышимостью. Лучше всего ухо воспринимает частоты в несколько тысяч герц. Ниже 20 Гц лежит
область |
инфразвуков, |
выше 10 000—20 000 |
Гц — область ультра |
||||
звука. |
|
|
|
|
звукового давления р, |
|
|
Приведем примерные значения |
интенсив |
||||||
ности / |
и громкости звука |
К'. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Р. бар |
/, Вт/см2 |
К, дБ |
|
|
|
|
|
2 , 9 - Ю - 4 |
10-ie |
0 |
Падение |
капель |
на расстоянии |
5 м . |
2,9- Ю-з |
10-14 |
20 |
|
Тихий разговор |
2 , 9 - Ю - 2 |
Ю-12 |
40 |
||||
Симфонический |
оркестр (фортиссимо) . |
2,9 |
Ю - 8 |
80 |
|||
Авиамотор на расстоянии |
5 м . . . . |
290 |
Ю-* |
120 |
|||
§48. Архитектурная акустика
Водних помещениях произносимая речь звучит неразборчиво, хотя и громко, в других залах оратору надо возвышать голос, чтобы быть услышанным. Представляют интерес поиски физических кон стант помещения, характеризующих его акустические свойства.
Опыт показывает, что важнейшим фактором такого рода является так называемое время реверберации — время, в течение которого произнесенный звук ослабляется в миллион раз по отношению к пер воначальной силе. В акустическом отношении помещение наилуч шее, если время реверберации т составляет 0,5—1,5 с. Если т меньше 3 с, помещения считают хорошими. Если же время реверберации превосходит 5 с, то акустика такого помещения очень плоха, она характеризуется «гулким звучанием».
Произнесенный в каком-либо месте большого зала звук отра жается от стенок, пола и потолка комнаты, отражается от мебели, от драпировок, от одежды сидящих в зрительном зале людей. Если при каждом отражении звук теряет большую долю энергии, то зату хание звука произойдет очень быстро. Время реверберации в этом случае очень мало, звук будет «глухим». Гулкость возникнет в том случае, если звук будет многократно Отражаться с малым затуха нием. Слушатель будет улавливать звуковую волну, непосредственно достигшую уха, двукратно отраженную, трехкратно отраженную и т. д. Если время между приходом этих звуковых волн не превысит
V l 5 с, то ухо услышит не два или три звука, |
как в хорошо извест |
ном явлении эха, а воспримет размазанный |
и, следовательно, не |
четкий звук. |
|
Очевидно, что вопрос о времени затухания звука определяется поглощением его на окружающих телах. Так как звук отражается многократно, то через короткое время постоянного звучания какоголибо источника все помещение более или менее равномерно запол нится звуковой, т. е. колебательной, энергией. Через короткий срок установится равновесие между энергией, отдаваемой источником, и энергией, поглощаемой средой. Заметим, кстати, что при отсутствии поглощения звуковая энергия в закрытом помещении возрастала бы неограниченно при постоянном звучании источника.
Представим себе, что источник звука прекратил свою работу. Тогда будет происходить лишь одно явление, а именно, поглощение звуковой энергии поверхностью тел, находящихся в помещении. Каждый из материалов, принимающий участие в этом процессе, об
ладает характерным для него коэффициентом поглощения |
а. Если |
в помещении имеется открытое окно, то для него можно |
принять |
коэффициент поглощения равным 1, так как звук полностью уходит (а это все равно, что поглощается) из помещения. Дл я гладкой и твердой стены коэффициент а близок к нулю (для бетона 0,015). Теперь поглощение звука, характерное для всего помещения, можно описать величиной A =oc 1 S 1 +a 2 S 2 +cc 3 S 3 + .. . ; в этой сумме учи тываются все поверхности, ограничивающие помещение. Теория
показывает, что время реверберации зависит от величины Л и от объема помещения V, а именно, т —0,16-^-. В этой формуле объем
надо выразить в кубических метрах, а величину Л — в квадратных метрах (0,16—размерный коэффициент).
Нетрудно с помощью последней формулы найти типичные зна чения времен реверберации. Коэффициент поглощения для бетона мы привели только что; не намного больше (до 3%) энергии погло щают стекло, дерево, штукатурка. Резкое увеличение поглощения происходит при внесении в помещение мягких материалов. Доста точно сказать, что одежда одного человека поглощает столько же звука, сколько 20 м'2 стены. Для мягких материалов коэффициенты поглощения колеблются от 0,5 до 0,9. Для решения акустических проблем при строительстве зданий большое значение имеют пори стые материалы, коэффициент поглощения которых может прибли зиться к а для мягких материалов (пеностекло, пенобетон).
§ 49. Атмосферная акустика
Если волна переходит из одной среды в другую, то она меняет направление распространения в соответствии с законом преломле ния. Угол, на который меняется направление распространения, определяется показателем преломления, т. е. отношением скоростей распространения.
Известно (§ 32), что скорость распространения звука чувствитель но зависит от температуры. Изменение температуры на 1 °С увели чивает скорость звука примерно на 0,5 м/с. В различных слоях зем ной атмосферы температура имеет, как правило, разные значения.
Значит, в разных слоях воз духа звук будет иметь раз личную скорость. Как же ска жется на распространении звука то обстоятельство, что он движется в среде, где коэф фициент преломления непре рывно меняется?
|
Ответ |
на этот вопрос да |
|
Рис. 71. |
ет схема, |
изображенная |
на |
|
рис. 71. Представим еебе, |
что |
|
звук проходит через серию слоев, внутри которых показатель преломления постоянен, а при переходе от слоя к слою ме няется скачком. Путь звуковой волны представится ломаной линией. Если же толщины слоев будут малы и различия в коэффици ентах преломления начнут уменьшаться, то ломаная линия будет неотличима от кривой. Значит, в среде переменного показателя преломления звуковые волны распространяются, вообще говоря, по кривым линиям. При этом линия загибается всегда таким образом, что от точки к точке волна движется кратчайшее время (это положе-
ниє носит название принципа Ферма). В этом случае прямая линия в известном смысле не является кратчайшей.
Покажем справедливость этого принципа для случая двух сосед них участков ломаной кривой, которую мы только что рассматрива ли. Дл я простоты положим, что оба участка имеют равные толщины й и разные скорости распространения vx и v2. Время, затрачиваемое волной, чтобы пройти указанный на рисунке путь, равно
т = — Vx* + dl + — Via — x)2 + d2 .
Время выражено через независимую переменную х. Давая х различ ные значения, мы будем получать разные преломления и разные вре мена перехода от той же начальной точки к той же конечной точке.
|
|
|
|
|
dx |
|
|
Наименьшим время будет при условии, что ^ |
= 0 , т. е. при условии |
||||||
|
і>! |
х |
_ |
а—х |
|
|
|
|
v2 |
~~ Vx'i + d2 |
' V(a—xf+d* |
' |
|
||
Но r . х |
есть синус угла падения, а |
, |
а ~ х = = |
— синус угла |
|||
у x2-\-d2 |
|
|
|
У (а—x)*-\-d2 |
|
||
преломления. Мы доказали, что преломление волны происходит так, чтобы время ее движения стало минимальным. Следует подчеркнуть, что этот результат справедлив для всех волновых процессов, а не только для упругих волн.
Таким образом, волна, идущая в неоднородной среде, меняет свое направление так, чтобы удлинить свой путь в среде с большой ско ростью распространения и сократить его в слоях, где скорость рас пространения меньше. Иначе говоря, слои с большой скоростью рас
пространения будут |
проходиться по возможности полого, |
а слои |
с малой скоростью |
распространения — по возможности |
отвесно. |
Эти замечания делают вполне понятными рисунки, на которых схематически представлен ход звуковой волны для случая, когда температура воздуха убывает с высотой (что обычно имеет место днем) и когда температура возрастает с высотой (ночные условия) (рис. 72).
В данном случае большая скорость распространения звука имеет место в слоях, близких к земле. Если проследить за распростране нием звуковой волны, вышедшей из надземного пункта под неболь шим углом к вертикали, то обнаружится следующая картина. Каж дый последующий слой отклоняет волну все дальше и дальше от вер
тикали. Когда угол падения достигнет угла г0 , для которого |
= 1, |
преломление прекращается, происходит полное отражение. Фор мально причины полного отражения понятны: sin і не может стать большим единицы. Физическая сущность этого интересного явления будет рассмотрена ниже (§ 128) на примере электромагнитных волн. Как бы то ни было, волна не только не распространяется вдоль земной поверхности, но, напротив, поворачивается и направляется
5 А. И. Китайгородский |
129 |