книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений
.pdfзаконом сохранения импульса мы можем приравнять импульс Mv ракеты до выброса порции горючего и импульс системы после исте чения порции газа. Последний будет равен разности импульса ра кеты и массы горючего. Итак,
Mv = (M—dM) (v + dv) — udM,
откуда с точностью до бесконечно малых второго порядка
dv = (u + v ) w .
Но u-\-v есть относительная скорость истечения горючих газов (по отношению к ракете). Обозначая эту скорость через с, мы при ходим к следующему уравнению для приращения скорости ракеты:
, |
dM |
0 |
, |
dv=—с-д|-. |
Знак минус поставлен, |
чтобы учесть возрастание ско |
|
рости при убывании массы. Мы видим, что прирост скорости равен доле потерянной массы, умноженной на относительную скорость ис течения горючего.
Считая скорость истечения газов по отношению к ракете величи
ной постоянной, |
мы легко проинтегрируем написанное уравнение. |
|
Если масса ракеты была М0, |
когда скорость ракеты была v0, и |
|
стала равной М |
тогда, когда |
скорость ракеты изменилась до v, |
то интегрирование дает
м |
|
|
Ш |
|
М |
і |
М, |
v—va = |
c\n-^. |
Последняя формула была впервые получена первым создателем конструкции ракеты и исследователем теории межпланетного сооб
щения К- Э. Циолковским. |
|
Переходя к десятичным логарифмам и вводя для разности |
масс |
ракеты, т. е. для массы отброшенного горючего, обозначение |
т= |
~М0— М, получим формулу Циолковского в виде |
|
y = C . 2 , 3 . 1 g ( l + f |
|
(начальную скорость v0 полагаем равной нулю).
Для скорости истечения газов 2000 м/с расчет по формуле дает
такие характерные |
цифры: |
|
|
|
|
|
|
т/М |
0,25 |
1,0 |
4,0 |
10,0 |
32,3 |
54 |
999 |
v, м/сек |
446 |
1386 |
3218 |
4817 |
7013 |
8000 |
13815 |
Как видно из этой таблицы, скорость ракеты возрастает много медленнее с количеством выброшенного горючего, чем хотелось бы. Для придания ракете значительной скорости необходимо выбро-
сить огромное количество горючего по отношению к начальной массе ракеты. Так, для придания скорости 7 км/с от массы ракеты долж на остаться меньше чем 1 / 3 0 часть.
Чтобы ракета вышла за пределы земного тяготения, ей нужно придать скорость, равную примерно 11 км/с. Эта цифра получается следующим простым рассуждением. Для отрыва от Земли ракета должна обладать такой кинетической энергией, которой хватило бы для производства работы перемещения тела с земной поверхно сти в бесконечность. Но эта работа против сил тяжести равна раз ности потенциальных энергий ракеты на поверхности Земли и в бесконечности. Так как в бесконечности потенциальная энергия равна нулю, то условие отрыва от Земли имеет следующий простой вид:
mv1 тМ
где М и R — масса и радиус Земли. Умножив числитель и знаме натель правой части равенства на R, вспоминая формулу ускоре-
ния силы тяжести на поверхности Земли g = y-^ и сокращая |
на |
|||
массу |
ракеты, |
находим условие отрыва |
от Земли: v = \^2gRt |
что |
и дает |
цифру |
около 11 км/с. |
|
|
Если считать, что скорость истечения |
газов2000 м/с*), то мож |
|||
но найти по формуле Циолковского отношение т/М. Оно будет рав но 244. Желая оторвать ракету от Земли, мы должны придать ей такую конструкцию, чтобы в межпланетное путешествие отправить всего лишь 1 / 2 i 5 долю той массы, которой обладала покоящаяся ра кета. Если бы эту скорость удалось повысить в три раза, т. е. до вести до 6 км/с, то отношение т/М упало бы до 5,3. Но это, видимо, пока нереально, судя хотя бы по сообщению прессы в декабре 1968 г. о рейде «Аполлона-8» вокруг Луны: «в земную атмосферу вернется отсек весом 5,3 тонны — все что останется от корабля в 3100 тонн».
Меньшие трудности приходится преодолеть при выведении на орбиту спутника Земли. Дл я создания искусственного спутника требуется меньшая начальная скорость. Если полагать, что уско рение силы тяжести на тех высотах, где мы желаем создать орбиту спутника, примерно то же, что и на земной поверхности, то закон механики, записанный для искусственной планеты, будет иметь вид mg=ma, а так как спутник движется по окружности, то центро
стремительное ускорение a=V2/R. |
Отсюда находим значение скоро |
сти обращения спутника v = YgR, |
т. е. 8 км/с. Если такая скорость |
будет придана ракете, то она превратится в земного спутника. Из приведенной выше таблицы, рассчитанной для скорости истечения газа в 2000 м/с, мы видим, что значение т/М, нужное для придания ракете скорости 8 км/с, равно 54.
*) В нашей литературе указывалось, что жидкостный двигатель способен дать скорость течения до 4500 м/с.
П р и м е р д в и ж е н и я т е л а с п е р е м е н н о й м а с с о й. Пусть водяная капля падает в насыщенной водяными парами атмосфере. В момент времени / капля имеет массу т и радиус г. За время dt объем капли, а следовательно, и масса (при плотности, равной 1) увеличатся на величину 4nr2dr. Следовательно, скорость
dm . , |
dr п |
, |
, |
возрастания массы -ц=шг* |
— . В то же время из физических соображении_ясно, |
||
dm |
|
|
|
что скорость конденсации |
водяного пара должна быть пропорциональной кон |
||
денсирующей поверхности (4яг2 ). Отсюда ^ |
= const и r=kt, |
где k — некоторый |
|
коэффициент пропорциональности.
Составим уравнение движения этой капли в поле тяготения Земли. Нас ин тересует изменение импульса d(mv), которое по основному закону механики равно
Fdt, |
где F=mg. Имеем F= ~ (mv), т. е. mg —т |
Подставляя сю- |
|
|
dv |
ЗУ |
|
да |
выражения для т иг, п о л у ч и м ^ — 8 — j ~ • Интегрирование этого урав- |
||
а
нения показывает, что v=-—t, т. е. капля падает с постоянным ускорением
~g=2,45 м/с2 . Сопротивление воздуха в расчет не принималось.
Г Л А В А 4
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§18. Кинетическая энергия вращения
Вэтой главе будут изучаться «абсолютно твердые» тела. Это значит, что всякого рода деформациями, которые могут происходить при движении тела, мы можем пренебречь и полагать, что расстоя
ния между |
частицами |
тела |
остаются |
неиз |
|||||
менными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим твердое тело, |
вращающееся |
||||||||
около |
неподвижной |
|
проходящей |
через |
него |
||||
оси (рис. 25). Мысленно разобьем это тело на |
|||||||||
маленькие |
объемы с массами |
Д т х , А т 2 , |
. . . , |
||||||
находящиеся |
на расстояниях |
г и |
г2 , . . . от |
||||||
оси вращения. Разным значениям расстояний |
|||||||||
будут соответствовать и различные скорости |
|||||||||
движения Vi, v2, . . . |
Нас интересует кинетиче |
||||||||
ская энергия вращения всего твердого тела. |
|||||||||
Она сложится из кинетических энергий частиц |
|||||||||
Д/Пь |
Ат2, |
. . . . т. е. |
|
|
|
|
|
||
|
„ |
_ |
Атху\ |
. Am2vt |
Am3vl . |
|
|||
Рис. 25. |
*^вр |
|
2 |
' |
2 |
|
2 |
"("••• |
|
Скорость кругового движения той или иной точки тела нетрудно выразить через угловую скорость вращения тела со. Если тело по ворачивается за время dt На угол dq>, то производная dyldt носит
название |
угловой скорости: |
|
dm |
В случае |
равномерного движения последняя формула переходит |
в известное читателю соотношение со=2л/7\ Величина со измеряется обычно в радианах в секунду. Если тело совершает 1 оборот в се кунду, то его угловая скорость равна 2я рад/с.
Все точки вращающегося твердого тела имеют различные скоро сти v (мы будем называть их линейными), но одинаковую угловую скорость со. При повороте на угол dcp точка проходит дугу ds=r dep. Деля обе части этого равенства на время движения dt, находим со отношение между линейной и угловой скоростью:
v = cor.
Таким образом, формула, известная ранее для равномерного дви жения, справедлива в общем случае.
При помощи этого соотношения выражение для /Св р может быть преобразовано следующим образом:
^ В р = у (г* Л « і + r\ Ат2 + . . . ) .
Величина, стоящая в скобках, не зависит от скорости движения, а характеризует инерционные свойства тела во вращательном движе нии: чем больше величина, стоящая в скобках, тем большую энер гию надо затратить для достижения заданной скорости. Поэтому величина
I = r\ Amt + г\ Ат2 + . . .
называется моментом инерции тела, а выражение г2Am — моментом инерции точки. Значение / можно записать и короче:
I = \)r2 dm;
при этом интегрирование (суммирование) происходит по всем точ кам тела.
Формула для кинетической энергии вращающегося тела при обретает вид
к
Аир 2 •
Эта формула справедлива для тела, вращающегося около непод вижной оси. Если речь идет о катящемся теле — шаре, колесе и пр., то энергия движения будет складываться из энергии враще ния и энергии поступательного движения. Если катящееся тело име ет массу М, момент инерции /, скорость поступательного движения v и вращательного со, то кинетическая энергия
„ _ Ми2 . /со 2
Более того, оказывается, что последняя формула справедлива для любого производного движения твердого тела. В теоретической ме ханике доказывается, что произвольное движение всегда можно раз ложить на совокупность поступательного и вращательного. При этом вращение надо рассматривать по отношению к оси, проходя щей через центр инерции.
|
|
|
§ 19. Момент |
инерции |
|
|
|
|
|
|||
|
Всматриваясь внимательно в формулу для момента |
инерции, |
||||||||||
мы видим, |
что значение / зависит от характера |
распределения |
мас |
|||||||||
сы |
по отношению |
к оси вращения. |
Точки, лежащие |
вдали |
от оси |
|||||||
вращения, |
вносят |
в сумму значительно больший вклад, |
чем близ |
|||||||||
кие |
точки. |
|
|
|
|
|
с радиусом г |
|
||||
|
Вычислим момент инерции |
плоского диска |
отно |
|||||||||
сительно |
оси, перпендикулярной |
к его |
плоскости |
и проходящей |
||||||||
|
|
|
через его |
центр |
(рис. 26). Масса |
элемен |
||||||
|
|
|
тарного |
|
кольца |
с |
радиусом |
х |
|
будет |
||
|
|
|
dm=p-2nxdx, |
где р — плотность материала |
||||||||
|
|
|
диска. |
Момент |
инерции |
этого |
кольца |
|||||
|
|
|
dl1=dm-xi, |
|
а момент |
инерции |
всего ди |
|||||
|
|
|
ска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
г |
|
dx = 2яр —- = |
|
||||
|
|
|
1Х = J d/j = |
j " р • 2ях 3 |
|
|||||||
|
|
|
Очевидно, что относительно |
такой |
же оси |
|||||||
|
Р и с |
26. |
момент |
инерции |
кольца, вся масса |
кото |
||||||
|
|
|
рого сосредоточена на внешней окружности |
|||||||||
|
|
|
радиуса |
г, будет |
/ 2 = т г 2 , т. е. |
1ъ=21х. |
||||||
|
Момент инерции одного и того же тела будет различным, |
смотря |
||||||||||
по расположению оси вращения. Если тонкая спица вращается
около своей длинной |
оси, то момент |
инерции |
||||||
будет |
крайне |
мал — все точки |
лежат |
очень |
||||
близко |
к оси вращения, |
и следовательно, все |
||||||
величины г. |
г2 |
входящие |
в |
формулу |
||||
|
|
I 2> |
|
|
|
|
|
|
для /, совершенно незначительны. Момент |
||||||||
инерции будет гораздо больше, если спицу |
||||||||
вращать около линии, |
перпендикулярной |
к |
||||||
ее оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции |
зависит и |
от направле |
||||||
ния оси и от места |
ее |
прохождения. |
Если |
|||||
нет специальной оговорки, то предполагается, |
||||||||
что ось вращения проходит через центр |
инер |
|||||||
ции тела. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ось вращения |
сдвинута по отноше |
|||||||
нию к центру |
инерции |
(рис. 27) на расстояние а, то новый момент |
||||||
инерции / будет отличен от момента |
инерции / 0 относительно па |
|||||||
раллельной оси, проходящей через |
центр |
инерции. |
||||||
Используя замечание, сделанное в конце предыдущего пара графа, мы можем кинетическую энергию тела, вращающегося около сдвинутой оси, представить как сумму
Д - — т — 2 ~ ,
здесь v — скорость движения центра инерции, которая будет рав на асо. Таким образом,
Следовательно, момент инерции / относительно параллельной оси, сдвинутой на а от центра инерции, будет равен
1 = 10 + Ма\
Отсюда следует, что момент, инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, всегда самый малый для данного направле ния. В зависимости от симметрии тела его характеризуют одним, двумя или тремя моментами инерции по отношению к главным осям, проходящим через центр инерции.
Так, для диска характерны две оси, проходящее через его центр: лежащая вдоль диска и перпендикулярная к диску; моменты инер ции соответственно равны (разумеется, имеем в виду однородное распределение массы по диску) тг2/4 и тг2/2. Для кольца моменты инерции около так же проведенных осей будут тґ2/2 и тг2.
Для всех тел вращения достаточно знать моменты инерции от носительно двух осей. В случае тел произвольной формы для исчер пывающей характеристики инерционных свойств тела при враще нии вполне достаточно знать три момента инерции относительно осей, проходящих через центр инерции, а именно: наибольший
момент инерции / м а к с , |
наименьший / м и н |
и момент инерции |
отно |
сительно оси, перпендикулярной к первым двум ( / С р ) . |
|
||
Единственное тело, |
у которого моменты инерции около |
всех |
|
|
|
2 |
|
осей одинаковы,— это |
шар. Для шара |
1=-^тг2. |
|
Приведенные формулы моментов инерции рассчитаны по формуле
I — \ г2 dm.
Использование этой формулы требует в общем случае умения опе рировать кратными интегралами. Примеры таких вычислений будут даны в курсе теоретической механики.
Как мы узнаем ниже, физика интересуют иногда значения мо ментов инерции молекул. Так как масса атомов сосредоточена в яд рах, размеры которых крайне малы, то расчет моментов инерции проводится без труда: атомы можно рассматривать как материаль ные точки.
3 А . И. Китайгородский |
65 |
У двухатомной молекулы момент инерции относительно ОСИ,: проходящей через атомы, равен нулю. Дл я оси, перпендикулярной к соединительной линии, имеем
I = тАГА |
+ |
тв г%, |
где гА и гв— расстояния атомов |
А |
и В двухатомной молекулы до |
центра инерции. Если / — расстояние между атомами, то rA+rB^=l
и |
— = — . Следовательно, |
|
|
|
|
re |
тА |
|
|
|
|
j ^ тдтя |
р |
|
|
|
тл |
+ |
тн |
|
Моменты инерции более сложных молекул также могут быть |
|||
подсчитаны |
как суммы моментов |
инерции точечных атомов. |
||
П р и м е р ы . 1. Маховик судового двигателя с массой порядка 1 т и диамет ром 2 м имеет момент инерции / —1000 кг-м2 . Делая 300 об/мин, маховик обладает
кинетической |
энергией |
вращения |
* |
|
|
К—^яа |
500 000 Дж ^ 50 000 кгс- м. |
||
2. Момент |
инерции |
земного шара |
имеет величину порядка 1015 г-сма = |
|
= Ю3 8 кг-м2 . Кинетическая энергия вращения Земли вокруг своей оси 2,5- 102в Дж.
3. |
В молекуле |
водорода Н 2 |
расстояние / = 0 , 7 5 3 - Ю - 8 см, масса атома водо |
|
рода тн |
= 1,6598- Ю - 2 4 |
г, поэтому момент инерции молекулы относительно оси, |
||
перпендикулярной |
к /, |
будет |
|
|
тн1-
/ = — | — = 0.46- 10-*ч г с м 2 .
§ 20. Работа вращения и основное уравнение вращения
Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение силой F или, напротив, вращающееся тело тормозится силой, то при этом кинетическая энергия вращения возрастает или убывает на вели чину затраченной работы. Так же, rdf как и в случае поступательного движения, эта работа зависит от действующей силы и от произве денного ею перемещения. Однако перемещение теперь угловое и зна комое нам выражение работы для смещения материальной точки на
Рис. 28. некоторое расстояние теперь уже неприменимо.
Для нахождения интересующей нас формулы обратимся к чер тежу (рис. 28). Сила F приложена в точке, находящейся на расстоя нии г от оси вращения. Угол между направлением силы и радиу сом-вектором обозначен через 6. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы (хотя она и приложена к одной точке) равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на
угол dtp точка приложения проходит путь г dtp и работа dA, равная произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения, будет равна
dA = Fr sin 6 dep. |
|
||
Выражение Fr sin0 носит |
название момента силы, |
|
|
M |
= |
FrsmQ. |
|
Из чертежа видно, что г sin 6 |
d, где d—кратчайшее |
расстояние |
|
между линией действия силы и осью вращения. Поэтому |
|
||
М = Fd,
момент силы равен произведению силы на плечо. Формула работы, которую мы искали, есть
dA = Mdy.
Работа вращения тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.
Строго говоря, формула справедлива для бесконечно малого угла dtp. Однако мы можем ею пользоваться в любом случае, если будем понимать под М среднее значение момента силы за время поворо та. Тогда
АА = / И с р Дф.
Работа вращения идет на увеличение кинетической энергии вра щения. Поэтому должно выполняться равенство
Md<p = d(^pj .
Если момент инерции постоянен во время движения, то
Md(f = /ю dco
dm
или, так как w = - ^«
Это есть основное уравнение движения вращающегося тела. Момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции
|
|
da |
на угловое |
ускорение |
-jf' |
П р и м е р ы . |
1. Момент |
силы, приходящийся на одно колесо локомотива, |
развивающего тяговое усилие порядка 105 Н, будет порядкам 3000 Н-м.
Человек, едущий на велосипеде, создает вращающий момент на педали по рядка 100 Н-м.
2. Покажем на примере связь между выражением для кинетической энергии
движущегося твердого тела (см. стр. 63) и основным законом |
механики. |
3* |
W. |
Пусть кагушка с массой т и радиусом л, обладающая моментом инерции / относительно своей оси, обмотана невесомой нитью (рис. 29). Конец нити закреп лен на некоторой высоте над уровнем Земли. Катушка падает под действием своего
. веса те. Составим уравнения движения катушки:
m z - T = m d t '
где Т— натяжение нити, со — угловая скорость вра щения катушки. Исключая Т, получим ускорение
dv |
g |
dt |
|
Если начать отсчет времени в.момент освобождения катушки, то за t секунд она упадет на Л=и2 /2а. Очевидно, что полная кинетическая энергия катуш ки в этот момент должна равняться изменению по тенциальной энергии катушки:
K=mgh = mg£.
Подставляя сюда выражение для а, получим
„ mv2 . /со2
Л = - о - - Т - " о - •
§ 21. Момент импульса
Бросается в глаза аналогия между формулами движения мате риальной точки и выведенными законами вращения твердого тела. Это ясно хотя бы из такого сопоставления:
Точка |
Вращающееся тело |
|
n |
dv |
М = Ґda |
F = = m d t > |
IF' |
|
А = |
- о - . |
z©2 |
2 * |
||
Очевиден и физический смысл аналогии: подобно тому как в меха нике точки ускорения могут быть вычислены по заданной силе, во вращательном движении угловое ускорение вычисляется по задан ному моменту силы. Роль массы играет момент инерции, им харак теризуется во вращении степень инертности тела (одной массы уже для этого недостаточно). Эта аналогия поощряет нас к тому, чтобы сделать еще один шаг и допустить, что в отношении аналогичных физических величин должны существовать аналогичные закономер ности.
В предыдущей главе было установлено, что импульс p—mv является физической величиной, удовлетворяющей закону сохране-
ния в замкнутой системе. Величиной, аналогичной р, является
момент импульса (вращательный импульс)
N = Iw.
Можно строго доказать, что вращательный импульс удовлетворяет закону сохранения: в замкнутой системе полный вращательный им пульс входящих в эту систему тел не изменяется. Увеличение вра щательного импульса одного из тел должно быть скомпенсировано равным уменьшением остальных.
Закон
Л ш 1 + -^С 0 2 + Л-)( О з+ • • • |
~ const |
имеет много интересных приложений, во |
многом аналогичных за |
дачам, которые мы изучали в предыдущей главе.
Закон сохранения импульса, если его применить к одному телу, имеет форму m©=const и, таким образом, совпадает с законом инер ции. Закон сохранения вращательного импульса приводит нас к интересному результату даже в этом простейшем случае. Одноединственное тело при отсутствии взаимодействия со средой долж но удовлетворять условию
/со = const.
Но момент инерции тела может изменяться во время движения. Мы видим, что возрастание / должно сопровождаться уменьшением со, и наоборот.
Этому можно привести множество примеров и эффектно проил люстрировать на опытах, если располагать вращающимся табуре том. Сидя на таком табурете, возьмите в руки гантели (рис. 30).
Рис. 30.
Раздвиньте руки в стороны и попросите дать вам небольшой вра щательный толчок. Движение происходит при некотором моменте инерции / с угловой скоростью со. Теперь сомкните руки перед грудью: момент инерции существенно уменьшится до / ' . Так как