книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

Универсальной является также величина

Она называется постоянной Больцмана. Тогда

Если представить квадрат скорости и2 через сумму квадратов состав­ ляющих, у2 =р2 .+у^-т-и|, то, очевидно, на любую составляющую придется в среднем энергия

Эту величину называют энергией, приходящейся на одну степень

(выражающихся друг через друга) является относительно сложной задачей, требующей проведения тонких измерений.

Проделанный вывод дает в наше распоряжение полезные фор­ мулы, позволяющие вычислять средние скорости молекул и число

где М — молекулярный вес. Корень квадратный из среднего ква­ драта скорости называют средней квадратичной скоростью. Она равна

т. е. прямо пропорциональна корню квадратному из температуры и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярного веса. Легко найдем, что при комнатной температуре молекулы кис­ лорода имеют скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При темпера­ туре жидкого гелия те же молекулы имели бы соответственно ско­ рости 40 м/с и 160 м/с, при температуре поверхности Солнца 6000°— скорости 2160 м/с и 8640 м/с. Правда, мы привели нереальные при­ меры: при температуре жидкого гелия водород и кислород затвер­ деют и поступательного движения молекул не будет, а при темпера­ туре поверхности Солнца молекулы распадутся на атомы.

Для числа молекул в единице объема получим следующее простое выражение:

Отсюда следует закон Авогадро: при одинаковых давлениях и температурах все газы содержат одно и то же число молекул в еди­

Свойства одноатомных газов определяются кинетической энер­ гией поступательного движения молекул. Внутренняя энергия ато­ ли не сказывается на термодинамике газа. Очевидно, учет внутрен­ ней энергии атома может стать нужным лишь в тех случаях, когда газ находится при очень высокой температуре и когда столкнове­ ния атомов могут привести к их возбуждению и ионизации. Об этих процессах в свое время у нас будет подробная речь.

Таким образом, весьма широкую применимость будет иметь фор­ мула внутренней энергии одноатомного газа

где N — число молекул. Воспользовавшись формулами предыду­ щего параграфа, получим для 1 моля идеального одноатомного газа выражение

U = \ r T .

Отсюда для теплоємкостей 1 моля одноатомного газа получим по формулам, приведенным в § 60:

и соответственно постоянство теплоємкостей одноатомного газа имеют место в довольно широком интервале внешних условий.

У многоатомных газов такая простая картина если и имеет место, то в значительно более узком интервале температур. Причина за­ ключается в том, что энергия многоатомной молекулы складывается из энергии поступательного движения, энергии вращения и энер­ гии колебания частей молекулы (т. е. атомов, из которых она по­ строена) друг по отношению к другу. Подсчет средней энергии, при­ ходящейся на молекулу, становится довольно сложным. Оказыва­ ется, что энергия молекулы уже не будет линейно зависеть от тем­ пературы и соответственно теплоемкость газа уже не будет постоян­ ной, не зависящей от Т величиной. Все же обычно удается найти

Опыт показывает, что в участке температур, где теплоемкость оста­ ется неизменной, эти формулы хорошо выполняются. Внутренняя энергия одного моля двухатомного газа при комнатной температуре 300 К будет 1500 кал = 6250 Д ж .

Типичный ход кривой теплоемкости в широком интервале темпе­ ратур иллюстрируется рис. 84.

§ 7 1 . Статистическое распределение

Существует множество событий, которые нельзя предугадать. Мы называем их случайными. Рост юноши, явившегося на воинский призыв; число прохожих, пересекающих определенный перекресток в определенные часы; число выигрышных билетов в тираже займа, пришедшихся на облигации каждой рядовой сотни номеров,— все это примеры случайных событий. Наблюдая множество однотипных событий, например измеряя рост большого числа молодых людей, подсчитывая число прохожих за минуту в течение многих дней или анализируя число выигрышных билетов для многих тиражей займа, мы можем отчет о подобных наблюдениях оформить в виде так назы­ ваемых кривых распределения. Если речь идет о росте человека,

человека точно заданного роста (например, 171,34 см) практически равна нулю. Поэтому имеет смысл говорить лишь о числе призывни­ ков, рост которых лежит в некотором интервале.

Если речь идет об анализе выигрышных таблиц, то кривая рас­ пределения может быть построена на основании данных о числе рядо­

и т. д.), то полученная кривая и есть кривая распределения. Пример такой кривой показан на рис. 85. Кривая проведена через средние точки верхних оснований прямоугольников. Каждый

прямоугольник имеет площадь, численно равную числу случаев, при которых осуществлялось случайное событие для величины, лежа­ щей в данном интервале.

Замечательной особенностью кривых распределения является их воспроизводимость. Если построить кривые распределения, анализирующие рост призывников для ряда лет, то можно убедиться в их полном подобии. Мы не найдем этого подобия, если будем изу­ чать кривые распределения роста, построенные на основании не­ большого числа измерений. Если же увеличивать материал, поло­ женный в основу построения каждой кривой, то кривые разных лет будут становиться все более и более похожими. Такое положение дел имеет место для кривых распределения любых событий, если только они случайны и условия полученных кривых распределения не изменились.

Закон распределения той или иной величины, выполняющийся тем лучше, чем для большего числа событий построена каждая ор­ дината кривой, носит название статистического закона.

Знание кривой распределения, разумеется, не поможет нам предугадать номер облигации, которая выиграет в следующем ти­ раже. Однако можно сказать, какова будет доля рядовых сотен но­ меров, на которые выпадает один выигрыш. Это предсказание будет тем точнее, чем большее число номеров облигаций будет привлечено для анализа.

Огромное число молекул, приходящееся на самый малый объем вещества, делает особенно точным всякого рода статистические пред­ сказания о поведении молекул. Кривая распределения той или иной случайной величины, построенной для молекул вещества, будет вос­ производиться с огромной точностью по той причине, что каждому «прямоугольничку» кривой распределения соответствуют миллиар­ ды молекул.

§ 72. Закон Больцмана

Некоторые представления о распределении молекул сразу же следуют из хаотичности теплового движения. Это относится к рас­ пределению молекул по направлениям скоростей или к распределе­ нию молекул по объему для случая, когда на газ не действуют ка­ кие-либо силы. Однако имеется множество случаев, для которых заранее не очевидны следствия допущения о хаотичности теплового движения.

Прежде всего, возникает вопрос о распределении молекул по величинам скоростей. Каков процент быстрых, средних по скорости, медленных молекул? Далее, может встать задача: найти, как изме­ нится равномерное распределение молекул по плотностям при вне­ сении газа в поле сил, скажем, в поле тяжести, или в электрическое или магнитное поле, если молекулы обладают электрическими или магнитными свойствами. На эти и подобные вопросы отвечает закон

Больцмана, который можно вывести, используя аппарат теории ве­ роятностей.

Рассмотрим небольшой объем пространства — кубик со сторо­ нами Ах, Ay, Az, построенный в точке х, у, z. Пусть в этом кубике находится значительное число молекул. Среди них мы отберем те,

таковы, чтобы в указанном интервале скоростей находилось боль­ шое количество молекул. Это нужно для того, чтобы к этим малым объемам можно было применять законы статистической физики (фи­

поле зависит от координат молекулы в пространстве, то все вы­ деленные нами молекулы имеют практически одну и ту же энер­ гию <§.

Закон Больцмана, обоснование которого следует искать в кур­ сах теоретической физики, дает общее выражение для числа моле­

здесь A — постоянная, которая может быть найдена для конкретной задачи, Т — абсолютная температура и k — постоянная Больцмана.

Энергия, входящая в экспоненту, является суммой кинетической энергии поступательного движения молекулы и ее потенциальной

энергии во внешнем поле: < £ = ^ - + £ / . Поэтому

'/,;пр2 + {/

Ап = Аг к Т АхАу Az Avx Avy Avz.

Формула распространяется и на случай, когда молекула обладает и другими формами энергии, например вращательной или колеба­ тельной. Тогда эти составляющие энергии надо внести в <§.

Закон Больцмана, или, как еще говорят, распределение Больцма­ на, показывает, что наибольшей энергии соответствует наименьшее число частиц, скорости и координаты которых лежат в заданном интервале.

Закон Больцмана мы применим для решения двух важных вопро­ сов, касающихся распределения частиц с высотой и распределения молекул по скоростям.

§ 73. Распределение частиц по высоте в поле тяжести

Если в жидкости находятся в большом количестве маленькие частички, более тяжелые, чем жидкость, и не растворяющиеся в ней, то на первый взгляд может показаться, что рано или поздно эти частицы должны опуститься на дно. Это, однако, неверно,— так было бы, если бы отсутствовало тепловое движение.

Действительно, сила тяжести тянет частицы вниз, однако хаоти­ ческое тепловое движение, являющееся неотъемлемым свойством любых частиц, будет непрерывно препятствовать действию силы тя­ жести. Частица движется вниз, но по дороге может испытать столкно­ вение, которое отбросит ее кверху; опять начнется движение вниз и опять столкновение может отбросить частицу вверх или в сторону. Если какой-то частице удалось добраться до дна сосуда, то зато слу­ чайными ударами другая частица может быть поднята со дна и слу­ чайными толчками может быть доведена до высоких слоев жидкости. Вполне понятно, что в результате установится некоторое неравно­ мерное распределение частиц. В верхних слоях частиц будет меньше, ближе ко дну сосуда — больше всего. Чем тяжелее частицы и чем меньше температура, тем больше будет «прижато ко дну» распре­ деление частиц по высоте.

Количественная сторона этого интересного явления, которое имеет место для любых частиц, расположенных в поле тяжести (мо­ лекул газа или частиц эмульсии, взвешенных в газе или жидкости), освещается законом Больцмана. Экспоненциальный множитель в формуле распределения Больцмана перепишем в виде

mv2 mgh

e~Uf е W-

вместо потенциальной энергии тяготения U мы подставили ее выра­ жение mgh. Нас интересует число всех молекул (любых скоростей), находящихся на высоте между h и h-\-Ah. Оно будет равно

Здесь коэффициент пропорциональности п0 по смыслу есть не что иное, как удельное число частиц ~ при h=0. Закон убывания ча­

стиц с высотой показан на рис. 86.

Вид формулы показывает справедливость утверждения, сделан­ ного выше: чем больше масса частиц и чем меньше температура, тем быстрее падает кривая. Из формулы видно также, что быстрота убы­ вания зависит от ускорения силы тяжести. На разных планетах частицы должны быть по-разному распределены с высотой.

Согласно приведенной формуле какое-то (пусть очень малое) число молекул имеется на любой высоте над поверхностью Земли. Это значит, что молекулы могут удаляться от Земли, улетать в ми-

ровое пространство, так как не исключено, что случайными столкно­ вениями то та, то другая молекула получит скорость 11,5 км/с, достаточную, как известно, для ухода из сферы земного притяжения. Можно поэтому сказать, что Земля постепенно теряет свою атмосфе­ ру. Однако оценки скорости рассеяния атмосферы показывают, что она ничтожно мала. За все время существования Земли было по­ теряно ничтожное количество воздуха. Другое дело на Луне, где

Рис. 86.

скорость преодоления притяжения равна ~ 2 км/с. Такая небольшая скорость достигается молекулами с большой легкостью, поэтому на Луне нет атмосферы.

Формула убывания числа частиц с высотой может быть записана для плотности газа или для давления газа. Так как давление газа пропорционально числу частиц в единице объема, то формулу можно переписать в виде

Здесь рй— давление на нулевом уровне. Последнюю формулу назы­ вают барометрической. С ее помощью метеорологи, производящие измерения атмосферного давления на больших высотах, приводят результаты своих измерений «к уровню моря».

Необходимо отметить еще одно важное применение формулы распределения частиц по высоте: она была использована французским ученым Перреном для опытного определения числа Авогадро. В соответствии с условиями опыта Перрену пришлось несколько модифицировать формулу распределения молекул по высоте. Он изучал эмульсию, получающуюся при растворении гуммигута (раз­ новидность смолы) в воде. В этой эмульсии при помощи микроскопа можно рас­ смотреть целый муравейник зернышек сферической формы. При помощи центри­ фуги Перрен сортировал зернышки гуммигута по размеру. За несколько месяцев работы было получено 20—30 г зерен гуммигута диаметром 0,74 микрона. Плот­ ность гуммигута D= 1,195 г/см3, т. е. масса одного зерна была равна 7- Ю - 1 4 г.

Если построить трехмерный график, по осям которого отклады­ вать проекции скоростей молекул vx, vy, vz, разбить мысленно это пространство на бесконечно малые кубики объема AvxAv,,Avz, то можно наглядно представить себе данные о распределении скоростей молекул в виде чисел молекул, приходящихся на один кубик. Фор­ мула Больцмана и дает нам число молекул для каждого из кубиков. Однако, всматриваясь в формулу, мы видим, что число молекул бу­ дет одинаковым для всех кубиков, попадающих внутрь шарового пояса с радиусом от У до У + А У , — ведь в экспоненциальный множи­ тель формулы входит лишь абсолютное значение скорости. Число молекул, обладающих скоростями в пределах от и до v--Av, бу­ дет пропорционально объему шарового слоя, т. е. 4nu-Av; таким образом, если число молекул, заключенных в одном кубике, равно

Се 2 к Т Avx Avy Аи.

то число молекул, заключенных в шаровом поясе, т. е. обладающих

дать максимумом. Обычными правилами найдем максимум множи­ теля при Av. Беря производную от этого выражения и приравнивая ее нулю, получим

откуда значение скорости, при которой функция распределения име­ ет максимум, равно

Что же это за скорость? Так как по оси ординат кривой распределе­ ния отложено число молекул, имеющих скорость v, то с является своеобразным рубежом: молекулы, движущиеся со скоростями как большими, так и меньшими с, встречаются реже молекул, движу­ щихся со скоростями с.

Эта скорость называется наиболее вероятной. Кривая распре­ деления молекул газа по скоростям (распределение Максвелла) приведена на рис. 87.

Полезно сопоставить формулы наиболее вероятной скорости и средней квадратичной: