книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

за счет работы Л 2 , совершаемой внешними силами над рабочим телом.

Чтобы получить непрерывно действующую тепловую машину, необходимо закончить такт сжатия в той точке, в которой начался такт расширения; короче, процесс должен быть циклическим. Ра­ бочее тело по проведении каждого цикла возвращается в исходное состояние. Закон сохранения энергии требует поэтому, чтобы энер­ гия, полученная от окружающих тел, равнялась энергии, пере­ данной окружающим телам. От среды получено: тепло Qi при расширении и работа Л2 при сжатии рабочего тела. Среде отдано: ра­ бота Ах при расширении тела и тепло Q2 при сжатии. Следовательно, Qi+A2=Q2+Alt или Л І — Л 2 = Q i — Q 2 . При проведении цикла по часовой стрелке работа сжатия меньше работы расширения. По­ этому последнее равенство выражает тот простой факт, что чистая работа, переданная рабочим телом внешней среде, равна разности теплот, полученной от нагревателя и отданной холодильнику. Соот­ ветственно коэффициент полезного действия цикла, а значит, и всей

1 <?2

машины, будет равен Ц — і — ^ - .

Описанный процесс действия тепловой машины является, разу­ меется, абстрактной схемой. Однако наиболее существенные черты каждого теплового двигателя передаются этой схемой. Рабочим те­ лом является расширяющийся и сжимающийся газ или пар, роль холодильника играет окружающая среда. Нагревателем служит паровой котел или, в двигателях внутреннего сгорания, горючая смесь.

Те же три системы являются необходимыми и для холодильной машины, в которой цикл протекает в обратную сторону. Принцип работы этой машины заключается в следующем: расширение рабочего тела производится тогда, когда оно находится в контакте с холо­ дильником. Этим холодное тело охлаждается еще больше, что и является задачей холодильной машины. Далее, чтобы цикл стал воз­ можным, нужно произвести сжатие рабочего тела и передать тепло, полученное от холодильника. Это выполняется при контакте ра­ бочего тела с нагревателем. Таким образом, более горячее тело на­ гревается еще больше. «Противоестественный» переход тепла от те­ ла менее нагретого к телу более нагретому «оплачивается» работой. Действительно, при совершении цикла против часовой стрелки ра­

с более горячим телом), имеет следующий смысл: количество тепла, отнятое от системы, должно быть скомпенсировано равным количе­ ством механической работы.

Второе начало термодинамики накладывает некоторое условие на действие тепловой машины. Если предполагать процесс обратимым, то изменение энтропии рабоч-его тела после прохождения цикла должно равняться нулю. Можно сказать и иначе: изменение энтро-

Адиабатические процессы в цикле Карно носят вспомогательный характер: они помогают перейти с одной изотермы на другую. В энер­ гетическом балансе эти процессы не участвуют, так как работа ади­

В адиабатическом процессе энтропия системы не меняется. При изотермическом расширении энтропия нагревателя уменьшается на

рабочего тела, вернувшегося в исходное состояние, остается неизмен­

К- п. д. цикла определяется температурами холодильника и на­ гревателя. Чем больше перепад температуры, тем выше к. п. д.

машины. Нетрудно видеть, что коэффи­ циент полезного действия цикла Карно дает оптимальное значение к. п. д. Нет лучшего цикла, чем цикл Карно, и в этом смысле он должен являться образцом для конструкторов тепловых машин, они дол­ жны стремиться как можно более при­ близить реальные циклы к циклу этой идеальной машины.

в

dQ

Т

А

для которого несомненно справедливо неравенство

в в

dQ . 1

рода называют такой двигатель, который производит работу при помощи периодически действующей машины за счет одного лишь отнятия теплоты от окружающей среды. Такой двигатель, будь он возможен, был бы практически вечным, так как запас энергии в ок­ ружающей среде почти безграничен и охлаждение, скажем, воды оке­ анов на один градус дало бы непредставимо огромную энергию.

лось бы 102 1 ккал=4,18 - 10 2 4 Д ж тепла, что эквивалентно полному

что по порядку величины совладает с размерами солнечной системы!

Вечный двигатель второго рода — это тепловая машина, рабо­ тающая с нагревателем, но без холодильника. Такая машина могла бы поработать один такт — газ, находящийся в сосуде с поршнем, мог бы расшириться, но на этом работа двигателя и закончилась бы, так как для продолжения действия машины тепло, полученное газом, необходимо передать холодильнику. Формально невозможность

Невозможно осуществить периодически действующий вечный двигатель, комбинируя изотермическое расширение с адиабатиче­ ским процессом сжатия. Такой процесс невозможен, даже если бы удалось его сделать обратимым. При изотермическом расширении рабочего тела энтропия падает. Значит, процесс сжатия должен приводить к возрастанию энтропии. Этого, однако, не может сде­ лать адиабатический процесс, так как он проходит при постоянной энтропии.

Вполне соответствует принятой здесь формулировке второго на­ чала термодинамики также постулат Клаузиуса, который состоит в утверждении о невозможности перехода тепла от менее нагретого тела к более нагретому без компенсации. Процесс, противоречащий постулату Клаузиуса, протекает с уменьшением энтропии; это свой­ ство энтропии было показано с самого начала.

Мы еще раз вернемся ко второму началу термодинамики в § 77, где мы обсудим его с точки зрения молекул я рно-кинетической теории.

же обнаружим основные особенности газообразного состояния вещества.

Наибольший линейный размер двухатомных молекул кислорода равен примерно 4А, такой же размер имеют молекулы азота; моле­ кулы водорода значительно меньше. Объем молекулы кислорода будет примерно равен Ю - 2 3 см3 . При нормальных условиях в 1 см3 кислорода находится 2,7-101 9 молекул. Следовательно, на одну молекулу приходится объем около 0 , 4 - Ю - 1 9 см3 . Сопоставляя эти две цифры — собственного объема молекулы и объема, приходяще­ гося на одну молекулу,— мы видим, сколь редко расположены мо­ лекулы. Вполне понятно, что при такой малой плотности встречи между молекулами будут происходить относительно редко. В сред­ нем молекула проходит путь в 1000 А между двумя последователь­ ными столкновениями. Однако скорость молекулы велика, около

Молекулы начинают притягиваться лишь тогда, когда расстоя­ ния между ними становятся сравнимыми с их собственными разме­ рами. Поэтому большую часть своего пути молекулы движутся пря­ молинейно и равномерно. Если на пути одной молекулы попадается другая, то только в этом случае проявятся силы взаимодействия ме­ жду молекулами. Ввиду того, что взаимодействие проявляется на незначительной доле пробега молекулы, можно говорить о столкно­ вениях между ними. Время, в течение которого молекулы заметно взаимодействуют, иначе говоря, время соударения, равно примерно Ю - 1 3 с. Таким образом, подавляюще большую часть своей «жизни» молекула проводит в свободном движении по инерции.

Такая картина имеет место для газов, находящихся в обычных условиях. Повышение давления, ведущее к увеличению плотности, может ее существенно изменить.

Внутренняя энергия газов, в которых взаимодействие между молекулами происходит лишь во время почти мгновенных соударе­ ний, не содержит потенциальной энергии взаимодействия между мо­ лекулами. Такие газы мы назовем идеальными и оправдаем вторичное использование того же термина тем, что докажем справедливость уравнения газового состояния для таких газов.

Итак, газообразное вещество представляет собой огромное число мельчайших частиц, пролетающих большие пространства без соуда­ рений, затем сталкивающихся, как пара биллиардных шаров, и раз­ летающихся в разные стороны, уже с другими скоростями, до сле­ дующего соударения. Если последить за одной молекулой газа (разу­ меется, это можно сделать лишь мысленно), то мы увидим ее то движущейся влево, то вправо, то вперед, то назад. Иногда она будет лететь с большой скоростью, в иных случаях будет двигаться мед­ ленно. Ввиду полной хаотичности теплового движения в газе можно утверждать, что молекулы свободного газа, находящегося в тепло­ вом равновесии, будут равномерно распределены в пространстве по

плотности. Также несомненно, что во всех направлениях в данное мгновение будут двигаться равные количества молекул. Будут рав­ номерно распределены также и другие случайные события. Скажем, для всех мест будут одинаковы числа молекул, пролетевших без соударения путь от 100 до 200 А, за секунду наблюдения.

Однако необходимо оговориться: все суждения, высказанные выше, носят так называемый статистический характер. Они спра­ ведливы в среднем и справедливы в тем большей степени, чем боль­ ше число молекул газа.

Мы утверждаем, например, что число молекул, летящих «вправо» и «влево», будет одинаковым. Разумеется, это не значит, что эти числа будут равны с точностью до единиц. Числа движущихся моле­ кул столь огромны, что при различии указанных чисел не только на единицы, но и на миллионы процентное различие будет ничтожным.

Если многократно «подсчитывать» количество молекул в ка­ ком-либо объеме, то при различных подсчетах будут получены не­ сколько отличные числа. Измерения плотности устанавливают сред­ нее значение числа молекул, находящихся в интересующем нас объеме. Если бы возможно было измерять хотя бы с точностью до тысяч молекул, то отдельные измерения незначительно колебались бы около этого среднего значения (незначительно в процентном отношении).

Когда говорят о числе молекул, имеющих такие-то скорости, или движущихся туда-то, или сталкивающихся по такому-то механизму, всегда имеют в виду среднее значение соответствующего числа. Если число молекул газа велико, то отклонения мгновенных значений от средних (они называются флуктуациями) будут ничтожными. В сильно разреженных газах флуктуации могут стать значитель­ ными.

В теории вероятностей доказывается, что среднее по абсолютной величине относительное отклонение плотности газа от среднего

то флуктуация плотности газа в пределах одного кубического сан­ тиметра составит

1

V2,7-101 9 '

т.е. 2 - Ю - 1 0 от средней величины. Ясно, что подобные отклонения находятся за пределами опытного обнаружения.

Так же обстоит дело и со всеми другими свойствами газов, кото­ рые определяются средними числами молекул.

Зарождение кинетической теории газов восходит к Даниилу Бернулли (1700—1788). Существенное развитие кинетическая теория получила в трудах М. В. Ломоносова (1711 — 1765). В X I X в. кине­ тическая теория газов развивалась Клаузиусом (1822—1888), Мак­ свеллом (1831—1879) и Людвигом Больцманом (1844—1906) и при­ няла уже современную форму.

0 — величина постоянная для данного газа. Значит, длина свобод­ ного пробега определяется только плотностью; уменьшив плот­ ность, скажем, в 100 раз, мы во столько же раз увеличим длину сво­ бодного пробега.

Для воздуха в нормальных условиях эффективный поперечник а равен примерно 5 - Ю - 1 5 см2 . Это прекрасно сходится с известными нам из измерения в кристаллах размерами молекул кислорода и азо­ та. Максимальный размер равен 4,3 А, а минимальный — немного меньше 3 А; радиус кружка размером 5- Ю - 1 5 см3 равен 4 А.

Размеры молекул, как было сказано выше определяют из иссле­ дований кристаллов. Однако исследование столкновений частиц можно рассматривать как метод установления их эффективного по­ перечника. Такой метод имеет ценность для исследования атомных ядер (стр. 519).

Длина свободного пути при нормальных условиях: в воздухе 600 А, в азоте 600 А, в водороде 1100 А, в гелии 1800 А.

§ 69. Давление газа. Средняя квадратичная скорость молекул

Поставим перед собой задачу: пользуясь упрощенными предста­ влениями о движении и взаимодействии газовых молекул, выразить давление газа через величины, характеризующие молекулу.

Рассмотрим газ, заключенный в сферическом объеме с радиусом R и объемом v. Отвлекаясь от соударений газовых молекул, мы вправе

свой вклад в общую силу давления газа. Можно принять в соответ­ ствии с основным законом механики, что сила давления есть не что

иное как изменение импульса всех молекул, происходящее за одну

секунду: — ^ — г — g — 1 ~ • • • или, вынося постоянный член за скобки,

Пусть в газе содержится п молекул, тогда можно ввести в рас­ смотрение средний квадрат скорости молекулы, который определя­ ется формулой

V> = ±{v\ + v\+ ...).

Выражение для силы давления запишется теперь кратко:

mnv1

F = - R '

Давление газа мы получим, разделив выражение силы на площадь сферы 4я/?3 . Получим

Заменяя AnR3 на 3V, получим следующую интересную формулу:

pv=-jnmv\ или рV = у п ( - у -

Итак, давление газа пропорционально числу молекул газа и среднему значению кинетической энергии поступательного движе­ ния молекулы Газа.

К важнейшему выводу мы приходим, сравнивая полученное уравнение с уравнением газового состояния. Сопоставление правых

т. е. средняя кинетическая энергия поступательного движения моле­ кул зависит только от абсолютной температуры и притом прямо про­ порциональна ей.

Проделанный вывод показывает, что газы, подчиняющиеся закону газового состояния, являются идеальными в том смысле, что при­ ближаются к идеальной модели собрания частиц, взаимодействие которых не существенно. Далее, этот вывод показывает, что введен­ ное эмпирическим путем понятие абсолютной температуры как вели­ чины, пропорциональной давлению разреженного газа, имеет простой молекулярно-кинетический смысл. Абсолютная темпера­ тура пропорциональна кинетической энергии поступательного дви­