книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

Если наружная сфера отдаляется (гв~*оо), то емкость становится равной

С = г.

Емкость уединенного шара измеряется величиной его радиуса. Если между обкладками конденсатора находится диэлектрик с

коэффициентом е, то напряженность £ и потенциал ср уменьшатся в є раз.

Из формулы

применимы для точек пространства между обкладками конденсатора. Они не могут быть распростра­ нены на точки пространства, на­ ходящегося внутри первой обо­ лочки или охватывающего обе оболочки, так как закон Гаусса дает для этих точек другой ре­ зультат.

Если заряд внутренней сферы сосредоточен на ее поверхности, то для точек внутри сферы

(j) D cosadS = 0.

Так как подобное утверждение справедливо' для любой поверх­ ности, проходящей внутри сфе­ ры, то это возможно лишь в случае, если D=0, а значит, равна нулю и напряженность поля. Следовательно, закон Га-

гусса доказывает отсутствие поля

внутри объема, или заряды рас­ положены лишь на его поверхно­ сти. Что же касается потенци­

ала ср, то при £ = 0 он может равняться постоянной величине, рав­ ной значению ср на поверхности сферы. Кривые £ и ср в функции г, показанные на рис. 91, поясняют сказанное.

П р и м е р ы 1. На расстоянии 1000 км от поверхности Земли напряженность

ее электрического поля упадет в I — ^ I =1,33 раза. V6400 J

2.Емкость Земли С=6,4-108 ед. СГС==700 мкФ.

3.Емкость конденсаторов, применяемых в радиотехнике, колеблется в ши­

роких пределах от долей пФ (1 пФ = 10 - 1 2 Ф) до тысяч мкФ.

Поле равномерно заряженной сферы. Очевидно, что вне такой сферы поле такое же, как у точечного заряда или у сферы, заряжен­ ной на поверхности, т. е.

Е - ± т2 '

где г — расстояние от центра сферы, а q = -7? ля3 р (р — плотность

заряда, а — радиус сферы).

Чтобы найти поле внутри сферы, проведем вспомогательную

или

(СГС).

Обратим внимание на то, что поле равно нулю лишь в центре шара. Далее поле линейно возрастает (рис. 92) и на поверхности шара (г—а) становится равным <7/(еа2). Здесь совпадают результаты формул для внешнего и внутреннего пространст­ ва. Далее происходит спад поля по закону обратного квадрата. Потен­ циал внетакого шара может быть по-прежнему представлен как а/г.

Значение ср внутри шара не представ­ ляет интереса, и мы его рассматри­ вать не будем.

Поле с цилиндрической симметри­ ей. Если поле создается равномерно заряженной нитью или цилиндром,

у которых на единицу длины приходится заряд qll, то поля таких систем будут одинаковы (вне заряженных тел) и будут обладать

сятся к бесконечным по длине цилиндрам. Практически приведен­ ные формулы годятся, если объем пространства, занятого «искажен­ ным» полем, существенно меньше объема неискаженного радиаль­ ного поля.

Однородные поля, Однородные поля, т. е. поля, в которых сило­ вые линии параллельны и расположены с равной плотностью, соз­ даются бесконечно протяженными плоскостями. Разумеется, сило­ вой поток перпендикулярен к такой плоскости. Величину ПОЛЯ мы найдем опять-таки с помощью закона Гаусса — Остроградского. Для этой цели построим вспомогательную поверхность в виде ци­ линдра, проходящего через заряженную плоскость. Если боковая поверхность цилиндра перпендикулярна к плоскости, то поток через

нее сводится к потокам через два основания. Интеграл (f) 5) cos a dS

будет равен 23D5, где 5 — площадь основания. Заряд внутри ци­ линдра равен oS. Отсюда для смещения имеем формулу

д . — 2 .

Напряженность электрического поля в системе СИ будет равна

расстояния до источников поля. Рассмотрим теперь плоский кон­ денсатор. В сферическом и цилиндрическом конденсаторе поле соз­ дается лишь внутренней заряженной поверхностью, а в плоском конденсаторе поле между его обкладками создается обеими поверхно­ стями. Вне конденсатора поля не будет; в этом сохраняется анало­ гия с конденсаторами, рассмотренными выше. Между обкладками конденсатора 3 ) = о , а напряженность равна

Чтобы записать выражение для потенциала однородного поля, будем откладывать расстояние х от одной из заряженных пластин в направлении силовой линии. Если эта пластина единственная, то

потенциал запишется в виде ср= —— ax+const. Если же речь идет

о конденсаторе, то выражение для потенциала между его обклад­ ками будет иметь вид

Ф = — — ох + const.

^ є

Отсюда разность потенциалов

(ра — (рь = — о(хь—ха) = - г ad,

где d — расстояние между обкладками. Значит, емкость плоского

конденсатора на единицу площади С -£-г (СГС), или С = ^ ( С И ) .

— є

And

Все эти формулы строго верны для бесконечно протяженных пластин. Практически мы можем ими пользоваться, если влияние краев конденсатора, на которых поле явно неоднородно, невелико. Определять поле в какой-либо точке по приведенным формулам можно лишь в том случае, если эта точка расположена достаточно далеко от краев. Точнее, это условие сводится к тому, чтобы поле, создаваемое элементарными зарядами, расположенными на краях пластин, было много меньше полей, создаваемых ближайшими к точ­ ке наблюдения местами пластин.

Вернемся к конденсатору, разобранному в примере на стр. 206. Удвоим рас­ стояние между пластинами двумя способами.

1. Пластины остаются соединенными с источником напряжения t/=5 кВ.

Поле на поверхности металла. Внутри металла электрическое поле отсутствует. Это следует из того, что все заряды проводника расположены на его поверхности. Согласно закону Гаусса поле будет направлено во внешнее пространство.

Поверхность металла обладает следующим очевидным свойством: она является эквипотенциальной поверхностью. Действительно, в обратном случае электрические заряды перемещались бы по поверх­ ности проводника. Отсюда следует, что линии силового потока, вы­ ходящего с поверхности металла во внешнее пространство, должны образовывать в точках поверхности прямой угол с ней. Так как весь поток выходит из поверхности в одну сторону, то от единицы площади поверхности, согласно закону Гаусса, должно выходить

линий. Иначе говоря, напряженность поля на поверхности проводника равна

Е=^- (СГС).

Электрическое изображение. Рассмотрим электрическое поле, которое возникнет, если около плоской метаоТлической поверхности поместить точечный электрический заряд. Благодаря явлению элек­ трической индукции на поверхности металла вблизи точечного ис­ точника соберется электрический заряд противоположного знака. Плотность этого заряда будет наибольшей в местах, наиболее близ­ ких к точечному источнику, вдали же от него плотность индуци­ рованного заряда будет спадать к нулю. Так же и электрическое поле будет сильнейшим в наиболее близких к заряженной точке

местах. Имеется возможность рассмотреть эту задачу и количест­ венно.

Так как поверхность проводника является поверхностью эквипо­ тенциальной, можно, ничуть не уменьшая общности задачи, считать проводящую поверхность заземленной и, следовательно, потенциал металла равным нулю. Внутри металла поля нет, и нас интересует электрическое поле в правой части полупространства.Электрические свойства этого полупространства однозначно определены, если ука­ зано, какова величина заряда и на каком расстоянии от эквипотен­ циальной плоскости он находится. Важно следующее: нас совершен­ но не интересует, что находится слева от поверхности нулевого по­ тенциала. Это обстоятельство строго доказывается в математической

<0

Рис. 93.

физике — поле внутри какого-либо пространства определено одно­ значно, если заданы заряды внутри этого пространства и указаны граничные условия для потенциала.

Обращаясь к рис. 93, а, на котором изображено поле двух раз­ ноименных зарядов, и мысленно деля пространство, заполненное этим полем, на две симметричные части, мы видим, что полупро­ странство этого рисунка в точности эквивалентно полупространству заряда около металла (рис. 93, б). Поля таких полупространств должны быть тождественными. Из этого рассуждения вытекает справедливость следующей процедуры. Мы «отражаем» электриче­ ский заряд в поверхности металла. В правой части пространства электрическое поле заряда и его «изображения» должны совпадать с искомым полем. Таким образом, искомое электрическое поле вы­ ражается формулой

где гх— расстояние точки наблюдения от заряда, а г2— от его изо­ бражения.

Второй вывод, который мы делаем: электрический заряд притя­ гивается к металлической поверхности с такой же силой, как и к своему электрическому изображению, т. е. с силой <72/(4а2), где а — расстояние от заряда до поверхности.

Наконец, тот же подход к задаче позволяет найти распределение индуцированного электрического заряда на металлической поверх­ ности. Для этого следует продифференцировать выражение для по­ тенциала по направлению нормали к поверхности — это даст зна­ чение напряженности электрического поля; далее, согласно формуле последнего раздела надо умножить Е на е/(4я).

Метод электрических изображений имеет ряд применений и дает возможность решать задачи электростатики в случае систем, состоя­ щих из неплоских металлических тел и расположенных вблизи них точечных зарядов.

§ 90. Электрическая энергия

Энергия конденсатора. В том, что заряженный электрический конденсатор обладает энергией, нетрудно убедиться. Несложно и измерить величину этой энергии. Для этого можно, например, раз­ рядить конденсатор через проводник и измерить джоулево тепло, которое при этом выделяется. Чтобы выяснить, от каких факторов зависит электрическая энергия конденсатора, нам нет нужды обра­ щаться к эксперименту. Формула электрической энергии конден­ сатора является следствием уже известных нам теоретических поло­ жений.

Рассмотрим конденсатор, одну из обкладок которого для удоб­ ства рассуждений будем считать заземленной. Процесс разрядки кон­ денсатора (заземление второй обкладки), заряженного до разности потенциалов ср количеством электричества q, можно представить себе как последовательный уход элементарных зарядов dq под дей­ ствием сил электрического поля в землю. Работа, совершаемая полем при таком элементарном акте, равняется ср dq. По мере разрядки работа на перенесение каждой последующей порции зарядов в землю будет становиться все меньше, так как разность потенциалов q>=q/C все время уменьшается. Полная работа, которая будет совершена полем при разрядке конденсатора, будет равна

о

Эту величину вполне уместно назвать электрической энергией кон­ денсатора. Используя связь потенциала с зарядом, формуле энергии можно придать различный вид:

Отсюда видно, что при постоянной разности потенциалов электриче­ ская энергия пропорциональна квадрату заряда. Постоянство раз­ ности потенциалов имеет место при подключении конденсатора к по­ стоянному элементу. Если обкладки конденсатора изолированы, то заряд постоянен; в этом случае энергия пропорциональна квадрату потенциала и прямо пропорциональна емкости конденсатора.

Энергия поля. В случае бесконечного плоского конденсатора

ваться системой СГС. Нами написаны формулы для энергии, при­

ходящейся на единицу площади плоского конденсатора.

Эти формулы можно преобразовать, вводя в них напряженность

Рассмотрим теперь произвольное электрическое поле. Построим мысленно эквипотенциальные поверхности и силовые линии и разо­ бьем пространство на малые объемы dv, ограниченные двумя сосед­ ними эквипотенциальными поверхностями и боковой поверхностью, проходящей через силовые линии. Каждый из таких объемов не отличается от участка объема плоского конденсатора, ему принад-

єЕ2

лежит электрическая энергия, равная dW = -^dv. Если это выра­ жение проинтегрировать по всему пространству, занятому электри­ ческим полем, то мы вправе ожидать, что полученная формула даст электрическую энергию той системы, которая создала поле.

Итак, формула электрической энергии имеет вид

Значение проведенных математических преобразований выходит за рамки формального удобства пользования той или иной формулой. Новое выражение энергии позволяет говорить не об энергии системы, создающей поле, а об энергии самого электрического поля и приво­ дит нас к мысли о реальности электрического поля. В рамках изу­ чения постоянных полей эта идея не может быть ни подтверждена, ни опровергнута. Однако, переходя к переменным полям, мы на­ ходим прямые доказательства реальности электромагнитного поля (см. стр. 288), и тогда выведенная формула энергии поля (энергии электромагнитной материи) приобретает фундаментальное значение.

П р и м е р . Продолжим пример, рассмотренный на стр. 214. До раздвижения пластин энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, была №1 = =22,5х Х Ю - 6 Дж, плотность энергии м>1=4,5 Дж/м3 . После раздвижения пластин пер­ вым способом (напряжение t/=const) энергия станет №., — -^-== 11,25-Ю- " Дж,

а плотность энергии ffi'2=l, 12 Дж/м3 (объем поля возрос вдвое). Энергия источника возрастет за счет работы внешних сил и убыли энергии ноля. После раздвижения пластин вторым способом (<7--=const) энергия W7 2 =2tt, / 1 =45- Ю - 0 Дж, а плотность энергии не изменится, ta2 =4,5 Дж/м3 .

Энергия взаимодействия. Если два разноименно заряженных тела притягиваются, то при этом силы электрического поля производят работу, разумеется, за счет энергии электрического поля: dA = =—dWълт-1 акт\ образом, в согласии со сказанным на стр. 45 ра­ бота электрических сил происходит за счет убыли потенциальной

энергии q - ^ . Эту энергию уместно назвать энергией взаимодей­

ствия зарядов.

В каком же соотношении находится эта формула и формула элек­ трической энергии поля, которая была рассмотрена в предыдущем пункте? Нетрудно видеть, что энергия взаимодействия является ча-~ стью электрической энергии поля изучаемых зарядов. Всматриваясь внимательно в формулу энергии поля, мы заметим, что электриче­ ская энергия имеет определенное значение и тогда, когда в про­ странстве имеется один электрический заряд. Уместно назвать энергию поля, создаваемую одним заряженным телом, собственной энергией электрического заряда. Энергия электрического поля всегда может быть разложена на сумму собственных энергий электрических зарядов и сумму энергий взаимодействия этих зарядов.

Обозначим через £ ь £ 2 . . . напряженности поля, создаваемого первым, вторым и т. д. зарядами. Полное поле будет равно в каж­ дой точке пространства векторной сумме напряженностей: E=Ei +

Мы отчетливо видим указанный выше смысл происшедшего разбие­ ния на слагаемые. Квадраты £ дают собственные энергии, а удво­ енные произведения — энергии взаимодействия. Понятно, что энер­ гия взаимодействия зарядов может быть и положительной, и отри­ цательной величиной; что же касается собственных энергий зарядов и полной энергии поля, то они являются положительными вели­ чинами.

Как правило, мы имеем дело с энергией взаимодействия электри­ ческих зарядов. Поэтому с одинаковым успехом можно подсчитать работу электрических сил как результат убыли энергии взаимодей­ ствия или как результат уменьшения энергии поля. Нужно произ­ водить то вычисление, которое легче проделываете я.