книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

движение является неустойчивым. Рано или поздно скорости движе­ ния должны выравняться: медленные слои убыстрятся, а быстрые

Рассмотрим жидкость или газ, движущийся в направлении оси х. Пусть слои жидкости движутся с разной скоростью. На оси у,

скорости потока по мере отдаления от поверхности жидкости. Для наглядности мы можем предположить, что речь идет о быстрой речке, где скорости потоков на поверхности максимальны и постепенно убывают ко дну реки.

Если в какой-то момент времени устранить причины, создающие движение жидкости, то скорости движения различных слоев начнут выравниваться в соответствии с законом возрастания энтропии. Что­ бы такое выравнивание было возможным, необходимо существование силы внутреннего трения, действующей между слоями жидкости мли газа. Величина этой силы, отнесенной к единице площади слоя, полагается пропорциональной градиенту скорости, т. е.

Здесь г| есть коэффициент вязкости (или внутреннего трения). Его размерность в системе СГС—г/(см-с). Такая единица носит название

Любопытно отметить, что водород имеет вдвое меньшую вязкость и в семь раз большую теплопроводность, чем воздух. Этим объясняется использование водорода для охлаждения мощных турбогенераторов.

§ 81. Быстрота выравнивания

Хорошо известно, что установление равновесия может происхо­ дить в самые различные сроки. Температура брошенного в воду раскаленного куска железа и температура воды уравняются очень быстро. Напротив, температуры воздуха и нагретого кирпича урав­ ниваются медленно. В течение мгновений продиффундирует азот в кислороде, многими днями длится выравнивание концентраций раствора медного купороса. Также и выравнивание скоростей может

Ср— удельная теплоемкость при постоянном давлении, р — плот­ ность (таким образом, срр есть теплоемкость единицы объема). По­ этому между собой должны быть связаны следующие величины: температура, длина, время, плотность, теплоемкость и теплопровод­ ность. Можно без труда проверить, что время t не может зависеть от температуры и выражается через остальные величины единствен­ ным образом:

L2pcp

х

Значит, время выравнивания температуры выражается формулой

X

УС

где через % мы обозначили комбинацию констант — . Величина у носит название температуропроводности. Введение этого коэффи­ циента вполне оправдано желанием сделать аналогичными формулы выравнивания концентрации и температуры. Коэффициенты диф­ фузии и температуропроводности имеют одинаковую размерность и вполне аналогичны в рассмотренных двух явлениях выравнивания.

Мы видим, чем определяется остывание тела. Процесс идет тем медленнее, чем больше плотность и теплоемкость и чем меньше ко­ эффициент теплопроводности.

П р и м е р . Имеются два стержня одинаковых размеров из плавленого кварца

=0,0558 кал/(г- К), т. е. %===1,71 см2 /с. Это значит, что выравнивание температуры в серебряном стержне займет времени в 253 раза меньше, чем в кварцевом.

Как и для диффузии, для выравнивания температур характерна зависимость от квадрата расстояния: время выравнивания пропор­ ционально квадрату линейного размера области.

Не повторяя аналогичных рассуждений, можно записать формулу для времени выравнивания скоростей движения частей жидкости или газа. Вполне естественно, что и ей может быть придан тот же вид:

П р и м е р . Для воды ч =0,01 П, р = 1 г/см3, т. е. v=0,01 см2 /с; для глицерина г)=13,9 П, р==1,25 г/см3, т. е. v = l l , l см2 /с Это значит, что если успокоение ка­ кого-либо возмущения в глицерине происходит за 0,1 с, то такое же возмущение в воде успокоится примерно за 2 мин.

постепенно падает к наружным краям. В окружающей среде, ко­ нечно, наиболее горячим является воздух, примыкающий к утюгу. Далее температура спадает более быстро в силу малой теплопровод­ ности воздуха.

Для грубых расчетов и при малом размере тела, находящегося в воздухе или жидкости, можно не рассматривать кривой падения температуры, а говорить о разнице между температурой тела и среды, Т—То. Тепловой поток, передаваемый телом в среду за единицу вре­ мени, можно в этом случае полагать пропорциональным этой раз­ ности температур:

q = k{T-Ti>),

Коэффициент k называется коэффициентом . теплоотдачи. Это важная для техники величина. Ее значения и вычисления, с ней связанные, обсуждаются в курсе теплотехники.

Обозначим через Р мощность, подводимую к телу, например элек­ трическую мощность в случае утюга. Условие стационарности, процесса требует равенства

парном процессе, Т — T0-\--j . Она может существенно меняться в зависимрсти от подводимой мощности и от условий теплообмена.

Здесь уместно сделать замечание о температуре, которую пока­ зывает термометр, выставленный «на солнце». Термометр участвует в стационарном процессе передачи солнечного тепла окружающему воздуху. В зависимости от значения коэффициента теплоотдачи тер­ мометр, лежащий под солнечными лучами, может показать в пол­ ном смысле слова все, что угодно. Измеренная при таких условиях температура есть температура термометра и ни в какой степени не характеризует погоду.

Мы не будем рассматривать аналогичные проблемы в отношении диффузии.

§ 83. Движение в вязкой среде

Соображения, касающиеся размерности физических величин, по­ могают в решении задач огромной практической важности, например задачи о стационарном обтекании жидкостью или газом препятствия, или, что то же самое, о движении тела в среде.

Наиболее важной проблемой является вопрос о силе сопротивле­ ния, испытываемой телом при движении в среде. Эта сила сопротив­ ления может зависеть от размеров тела L , скорости движения тела и и свойств жидкости (или газа), а именно, его плотности р и вязко­ сти ц. Другие величины не должны играть роли в этом процессе.

. Числовое значение константы зависит от формы тела. Для шарика

F = 6яг\иг

г — радиус шарика). Последняя формула носит имя Стокса.

П р и м е р . Ртутный шарик (л=0,53 мм), опускаясь в глицерине со скоростью 0,6 см/с, испытывает силу трения около 8 дин.

В случае очень больших скоростей движение жидкости по отно­ шению к телу перестает быть стационарным. Получается вихревое, или турбулентное, движение. Тело может двигаться стационарно, а частицы жидкости движутся более или менее случайным образом. Благодаря интенсивному перемешиванию передача движения от слоя к слою перестает зависеть от вязкости. Это может быть лишь в том случае, если / (Re) стремится к пределу при возрастании ско­ рости. Поэтому при больших скоростях движения сила сопротивле­ ния становится пропорциональной квадрату скорости:

F= const -pa2 ZA

§84. Коэффициенты диффузии, вязкости и теплопроводности

для газов

Процессы становления равновесия в газах тесно связаны с ха­ рактеристиками, обсужденными в предыдущем параграфе. Вырав­ нивание температур, концентраций или скоростей одних частей газа по отношению к другим происходит благодаря перемешиванию мо­ лекул. Быстрота этого перемешивания определяется ролью столк­ новений между молекулами. При большом времени свободного пробега, например, произойдет следующее: быстрые молекулы за малое время проникнут в области, где находились медленные; мо­ лекулы примеси быстро распространятся в основном газе.

Весьма естественным является утверждение, что время выравни­ вания во всех трех процессах должно быть по порядку близко ко времени свободного пробега молекулы. На частных примерах это можно подтвердить теоретическими расчетами, на чем мы останавли­ ваться не будем.

Из равенства: время выравнивания т = / / у мы опустим безраз­ мерный коэффициент пропорциональности, обычно равный единице по порядку величины, и получим на основании § 81 совершенно тождественные выражения для коэффициентов диффузии *), ки­

*) Следует иметь в виду, что наряду с диффузией одного вещества в другое вещество вполне оправдано понятие самодиффузии, т. е. движение молекул среди подобных же, например диффузия водорода в водороде, кислорода в кислороде и т. п. Исследование этого явления стало возможным после освоения метода ме­ ченых автомов, а следовательно, и молекул.

В соответствии со сказанным здесь D есть коэффициент самодиффузии.

ч

Следующая табличка показывает, насколько хорошо выполня­ ется это предсказание:

Результаты надо считать хорошими. Совпадение по порядку вели­ чины нельзя рассматривать как случайность, если вспомнить, в сколь широких пределах меняются величины, о которых идет речь.

Зная выражение коэффициента теплопроводности через темпера­ туропроводность, мы получим:

mcpv

х ~ pvlcpР ~

где т — масса молекулы.

В этой формуле сократилось п — число молекул в единице объе­ ма. Отсюда следует, что теплопроводность газа не будет зависеть от его плотности, а значит, и от давления. Надо обратить внимание на этот неожиданный, но тем не менее вполне верный вывод. Увеличе­ ние плотности газа не ведет к увеличению теплопроводности.

Рассматривая формулу для коэффициента теплопроводности, можно сделать еще одно предсказание. Так как эффективный по­ перечник мало зависит от температуры (вообще говоря, а немного уменьшается с повышением температуры), так же как и теплоем­ кость, а тепловая скорость пропорциональна УТ, то и коэффициент теплопроводности должен быть пропорциональным корню квадрат­ ному из температуры.

Приводимые ниже числа дают представление о точности выполне­ ния обоих этих предсказаний.

Например, для азота взятого при 0 °С, 325 °С и 500 °С,

чем пропорционально У Т, за счет изменений поперечника и теп­ лоемкости. Что касается независимости от давления, то, как мы только что видели, она имеет место в очень широком интервале дав­ лений.

Так же точно не зависит от давления и плотности газа его динами­ ческая вязкость и ~ pvl. Температурное поведение вязкости идеаль­ ного газа должно совпадать с поведением теплопроводности — та же пропорциональность. Числовые примеры помогут запомнить сказанное.

Разительным является постоянство вязкости газа(С0 2 ): при измене­

Так называются газы, у которых длина свободного пробега боль­ ше линейных размеров сосуда. При нормальных условиях длина свободного пробега есть величина порядка 10~* см. Свободный про­ бег обратно пропорционален плотности. Следовательно, при давле­ нии порядка 10~4 мм ртутного столба длина свободного пробега будет измеряться десятками сантиметров. Для сосуда размером око­ ло 10 см при таком давлении мы получим вакуум или ультрараз­ реженный газ.

Следует обратить внимание, что и в вакууме плотность молекул измеряется огромными числами. При указанном выше давлении в 1 см3 газа содержатся тысячи миллиардов молекул.

Молекулы, переставшие сталкиваться друг с другом и соуда­ ряющиеся только со стенками сосуда, вносят специфические осо­ бенности в поведение такого газа. Теряет смысл ряд понятий. Уже нельзя говорить о внутреннем трении молекул газа, так как в газе не могут возникнуть слои молекул, обменивающиеся скоростями. Нельзя говорить о давлении одной части газа на другую (в то же время понятие давления газа о стенки сосуда сохраняет свой смысл). Также теряет смысл понятие теплообмена между частями газа и вообще все понятия, связанные со взаимодействием частей газа. Ультраразреженный газ взаимодействует лишь с помещенными внутрь него телами.

Специфику вакуума как особого физического состояния газа будет полезно проиллюстрировать примерами.

Как записать выражение для потока тепла, переносимого с одной пластины на другую, если эти пластины имеют разные температуры Ті и Тъ и находятся в вакууме? Сущность теплообмена в этом слу­ чае состоит в том, что молекулы газа, ударяясь о стенку, отскаки­ вают от нее со средней скоростью, соответствующей температуре этой стенки. Что же касается выражения для потока тепла, то, вгля­ дываясь в знакомую нам формулу

q = х —- = pcvl —-,

мы видим, что изменение заключается в том, что роль длины сво­ бодного пробега теперь играет расстояние между стенками L . По­ этому выражение для теплового потока должно принять для ультраразреженных газов следующую форму:

При дальнейшем разрежении ультраразреженных газов тепловой поток в соответствии с этой формулой должен убывать, после того

как длина свободного пробега сравнивается с линейными размерами сосуда. Это и наблюдается на опыте.

Также своеобразны для ультраразреженного газа условия равно­ весия газа в двух сообщающихся сосудах разной температуры. В случае обычного газа давления газов в обоих сосудах одинаковы при разных температурах; напротив, плотности газов различны, а именно, обратно пропорциональны температурам. Равенство дав­ лений необходимо для равновесия, так как иначе посредством соу­ дарений молекул один газ выталкивает из сосуда другой.

Совсем иначе обстоит дело в случае вакуума. Соударений между молекулами нет, поэтому поток молекул из одной части сосуда в другую не затруднен. Условие равновесия будет заключаться в равенстве потоков молекул. Если в единице объема п частиц и ча­ стицы движутся ео скоростью v, то за единицу времени через еди­

уравнения состояния идеального газа) и так как скорость молекул пропорциональна корню квадратному из температуры, то условие равновесия примет вид

Таким образом, равны друг другу не давления, а отношения дав­ лений к корню квадратному из температур. Если увеличивать плот­ ность газа, то давления начнут постепенно выравниваться, и мы придем к обычному равновесию тогда, когда длина пробега станет достаточно малой.