книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

целесообразно преобразовать, заменив температуру с помощью урав­ нения газового состояния. Получим:

Piv1 = ptvt

Сравнивая это уравнение с законом Бойля — Мариотта, имеющим место в изотермическом процессе, мы видим существенные различия в характере изменения давления при сжатии или расширении. В изо­ термическом расширении или сжатии остается неизменным произве­ дение pv, а в адиабатическом процессе — произведение/?^. Так как Y > 1, то кривая, изображающая адиабатический процесс на графике

Рис. 78.

(коротко — адиабата), идет круче, чем изотерма. При изменении объема вдвое в изотермическом процессе давление возрастает вдвое; в адиабатическом процессе давление меняется более резко. Напри­ мер, для большинства двухатомных газов, у которых у —1,4, при изменении объема вдвое давление изменится в 2,63 раза.

Мы уже подчеркнули, что оба процесса носят идеальный харак­ тер и что для создания идеальных условий этих процессов требования обратны. Поэтому ясно, что газовые процессы, происходящие в реальных условиях, дадут кривые, промежуточные между адиабатой и изотермой.

Нетрудно дать наглядное объяснение различию в ходе адиабаты и изотермы. При адиабатическом сжатии газ нагревается; поэтому при одном и том же сокращении объема давление возрастает в ади­ абатическом процессе больше — ведь нагревание при постоянном объеме ведет к повышению температуры.

Как видно из графика на рис. 78, работа изотермического рас­ ширения больше работы адиабатического расширения. Напротив, работа изотермического сжатия меньше работы адиабатического сжатия. Это, разумеется, для тех случаев, когда начальные точки процессов совпадают.

Работу адиабатического процесса можно вычислить графически и по формулам. Прежде всего, из первого начала термодинамики для адиабатических процессов следует, что работа должна равняться

иЗіМенению внутренней энергии:

2

A=\pdv = Vl — Uv

і

В случае идеальных газов разность энергии вычисляется элементар­ но: ІІ!— U2=cv(T1—Га). Значит, для идеальных газов и работу можно рассчитывать по этой формуле.

К определению работы при адиабатическом процессе можно по­ дойти и другим путем. Так как в любой промежуточной точке про­

записать в виде

что дает после интегрирования от начальной до конечной точек про­ цесса

легко доказать, воспользовавшись уравнением состояния идеального

В зависимости от данных, та или иная формула может предста­ вить практические удобства.

Приведем простой пример, иллюстрирующий утверждение, сделанное в гл. 9, о том, что приращения AQ—ДЛ не являются полными дифференциалами, т . е . не характеризуют изменения состояния системы.

Пусть состояние 1 моля водорода (рис. 79) характеризуется следующими дан-

ными: с, =0,02 м3 , 7^=300 К, Pi = ——-— 125 ООО Дж/м3 (здесь #=8,31 Дж/К)-

vi

ср—cv—R, а так как водород—двухатомный газ, тоcp !cv =l,4. Тогдаср =29,4 Дж/К, cv—2\ Дж/К. Рассмотрим три возможных пути перевода газа в состояние 3: t>3=0,04 м3 , Г3 =300 К, ря =63000 Дж/м3 .

у 3

Путь /—3. Работа по изотерме Ау-з—ЯТ^п—=1700 Дж. Эти 1700 Дж взяты

y i

у нагревателя, а внутренняя энергия (7=const, так как Т^=^Т3.

Путь 1—2—3. Здесь /—2— изобара. Следовательно, 72 =600 К- У нагрева­ теля берется Q]-г --=ср (Т2 — Г])=8600 Дж, а работа против внешних сил Ал-„— —Pi(vi—fj)=2300 Дж. Следовательно, внутренняя энергия газа увеличилась на

совершается только за счет убыли внутренней энергии:

А ^ ^ — с, ( ^ - 7 - 0 = 6300 ( l - 2 ~ ~ J Дж.

— - Л

На пути 4—3 нагреватель отдаст Q 4 _ 3 — ср (Т3 — Т4) = 8600 \ 1і——2V2у )J Дж тепла, а работа против внешних сил будет

Измерение теплоємкостей газов. Казалось бы, проще всего опре­ делить теплоемкость газа, заполнив испытуемым газом сосуд и по­ грузив этот сосуд в калориметр. Однако мы не учитываем при таком измерении исключительной малости теплоемкости газа по сравнению с теплоемкостью сосуда, из какого бы твердого материала он ни был сделан. Поэтому измерения теплоемкости газа при постоянном объеме не производятся. Измеряют теплоемкость при постоянном давлении. Для этой цели через калориметр пропускается змеевик, в котором под постоянным давлением движется газ. При помощи термоэлемента измеряется температура газа при входе в калориметр и при выходе. Газ, входящий в калориметр после предварительного нагревания, передает часть своего тепла воде. Зная количество газа, протекшего через сосуд за какое-то определенное время, и количест­ во тепла, полученное водой калориметра за тот же самый срок, мы без труда найдем теплоемкость газа при постоянном давлении ср, деля это количество тепла на протекшую массу газа и на разность температур газа при входе и выходе.

Для определения теплоемкости при постоянном объеме пользу­ ются отношением теплоємкостей — коэффициентом Пуассона у— —cp/cv. Для определения у предлагалось много способов, часть из них основана на измерении объемов и давлений газа в последова-

тельных состояниях при адиабатическом процессе. Можно восполь­ зоваться и другими уравнениями, связывающими теплоемкости, на­ пример соотношением, определяющим разность теплоємкостей Ср и cv.

Теплоемкости различных газов приведены в таблице.

§ 61. Процесс Джоуля — Томсона

Так называется процесс перетекания газа через маленькое от­ верстие из области большего давления рі в область меньшего давле­ ния рй. Сосуд, в котором происходит процесс, теплоизолирован от окружающей среды.

По условию процесса давления р х и р2 должны поддерживаться неизменными. Для этого оба поршня (рис. 80) должны передвигаться

тельно,

является одним из важнейших законов природы. Оно является су­ щественной частью второго начала термодинамики, о чем у нас речь пойдет ниже. Открытие этого принципа, как и всего второго начала термодинамики, связано, прежде всего, с именами Карно и Клаузиуса. Сущность принципа, несмотря на некоторую его абстрактность, легко понять: переход тела из одного состояния во второе может произойти бесчисленным количеством способов (разные кривые на графике, начинающиеся и заканчивающиеся в тех же точках); при этих переходах тело может получать самые различные количест-

2

ва тепла, однако во всех случаях интеграл \ ^ ~ будет иметь оди-

I т

наковые значения. Отношение количества теплоты к той темпера­ туре, при которой это тепло было получено, AQ/T, называют иногда приведенной теплотой. Так как интеграл всегда можно представить приближенно суммой, то изменение энтропии при переходе из одного состояния в другое равно сумме приведенных теплот. Предположим, что тело, равномерно нагреваясь от 20 до 25 °С, получает при подъе­ ме температуры по одному джоулю тепла на каждый градус. Тогда прирост энтропии будет примерно равен

г- ^ 1 Дж , 1 Дж . 1 Дж . I Дж . I Дж

° 2 ~ 293,5 К т " 294,5 К ~^ 295,5 К ^ 296,5 К 297,5 К '

Наиболее просто выражаются изменения энтропии при изотер­ мических процессах:

сс _ 0__

где Q — полученное при процессе тепло. Так, например, при тая­ нии 1 кг льда энтропия вещества возрастает на

За нуль энтропии может быть принято значение энтропии любого состояния (кипящей воды, плавящегося льда). Однако в некоторых случаях принимают за нуль значение энтропии вещества при аб­ солютном нуле температуры. Для этого, впрочем, имеются некоторые теоретические основания (теорема Нернста), на которых мы оста­ навливаться не будем.

Приняв 5 = 0 при 7 = 0 , энтропию вещества при температуре Т можно найти по формуле

о

если нагрев происходит при постоянном давлении. Как видим, чтобы знать энтропию, надо изучить ход теплоемкости с температурой.

Если известно уравнение состояния вещества, то энтропия (с точностью до произвольной постоянной) может быть вычислена

§ 63. Принцип возрастания энтропии

Как уже говорилось, обратимых процессов, строго говоря, не существует, хотя с точностью, доступной опыту, можно осуществить множество процессов, практически неотличимых от обратимых. Имеются, однако, примеры процессов, которые всегда односторонни и уже поэтому никоим образом не могут быть обращены. Так, на­ пример, газ может расшириться сам по себе, но не может сжиматься без приложения внешних сил. Тепло может самопроизвольно пере­ ходить от горячего тела к холодному и только при затрате работы (например, электроэнергии) может переходить от холодного тела к более нагретому. При трении кинетическая энергия макроскопи­ ческого движения всегда превращается во внутреннюю энергию, но никогда не происходит самопроизвольный обратный процесс. Не­ обратимость всех остальных процессов в конечном счете связана с тем, что в каждом из них в той или иной степени присутствует один из перечисленных односторонних процессов. В реальных процессах невозможно избежать ни самопроизвольных расширений, ни тре­ ния, ни теплового рассеяния.

Нет ли какого-нибудь общего признака у всех перечисленных односторонних процессов? Оказывается, есть: этот признак состоит в том, что во всех односторонних процессах возрастает энтропия.

В случае теплообмена между двумя телами общее (всей системы) изменение энтропии равно

т. е. при теплообмене общая энтропия системы, в которой произошел теплообмен, возрастает.

Другой случай. Внутри сосуда с газом происходит интенсивное механическое движение (скажем, вертится колесо). Объем не ме­ няется, температура растет, поэтому энтропия изменится на

т

S2— S1 = cv In -j^-> т. е. возрастет.

Наконец, при расширении в пустоту при неизменной температуре

прирост энтропии S2 — Sl = \iR ln-^2 -— опять-таки положительный. Итак, во всех односторонних процессах энтропия системы возра­ стает.

Нетрудно понять, какое значение имеет этот вывод для всех необратимых процессов. Так как каждый необратимый процесс со­ провождается односторонними явлениями, идущими с повышением

энтропии., то прирост, энтропии у необратимого процесса будет завы­ шен против того прироста, который имел бы место при обратимом переходе. Пусть AQ — тепло, полученное телом при температуре Т в интересующем нас необратимом процессе. Если бы процесс был обратимым, то прирост энтропии равнялся бы AQ/T; в реальном про­ цессе прирост энтропии будет больше этой величины:

d S > ^ - .

Если система теплоизолирована, то AQ=0 и предыдущее ут­ верждение приобретает вид

ляются важнейшими функциями, определяющими термодинамиче­ ский процесс. ІМОЖНО сказать, что энтропия является директоромраспорядителем процесса, а внутренняя энергия является его бух­ галтером: энтропия определяет направление протекания процесса, энергия «оплачивает расходы» на его проведение.

Если в предыдущие формулы ввести вместо знака > знак го краткой формулой запишется закон энтропии как для обратимых,

Для замкнутых систем второе начало говорит: энтропия теплоизо­ лированной системы возрастает или остается неизменной.

Целесообразно объединить оба начала термодинамики одной

удобной для рассмотрения всех практических задач термодинамики. Принцип возрастания энтропии относится к закрытым системам.

ния связаны с уменьшением энтропии. Живой организм из неупоря­ доченной системы малых молекул, получаемых в процессах пита­ ния и дыхания, конструирует высокоорганизованные постройки — биологические макромолекулы (стр. 595). При этом энтропия орга­ низма падает.

Если представить себе замкнутую систему организм+среда, энтропия которой обязана расти, то ясно, что энтропия среды долж­ на возрастать, перекрывая уменьшение энтропии организма.

Возрастание энтропии среды происходит за счет выделений ор­ ганизма.

Если процесс стационарный, то

Можно сказать, что жизнедеятельность организма состоит в пропускании через себя потока энтропии вещества. При этом эн тропия вещества, входящего в организм, меньше энтропии, отдавае­ мой среде,— организм деградирует продукты питания.

П р и м е р ы. 1. В примере на стр. 57 мы рассмотрели неупругое столкновение пули с баллистическим маятником и выяснили, что при ударе в системе пуля — маятник исчезает 3920 Дж механической энергии. Это значит, что AQ=3920 Дж было необратимым образом передано маятнику от пули посредством теплопро­ водности. Если предположить, что процесс был изотермическим (т. е. теплопро­ водность маятника чрезвычайно велика) и температура системы, скажем, 27 °С, то в этом необратимом процессе энтропия системы возросла на

AS = - ^ - = l 3 , l Дж/К.

2. Детский резиновый мяч массой 0,3 кг после падения с высоты 2 м подпры­ гивает на 1 м от пола. В этом изотермическом процессе (пусть /=27 °С) необратимо передается AQ=2,96 Дж, т. е. энтропия системы мяч — пол возросла на

A S = 1.2,87-Ю-» Дж/К.

Если бы мяч и пол были абсолютно упругими, то энтропия'не менялась б:. (AS=0) и движение мяча продолжалось бы вечно.

3. Рассмотрим необратимый процесс передачи тепла от парового котла к коїс денсатору. Пусть паровой котел находится при температуре /t =300 °С, а конден­ сатор — при ґ2—30 °С. При тепловой мощности котла 10000 кВт и к. п. д. 25% ежесекундно от котла к конденсатору будет переноситься 7,5-106 Дж. Для котла,

§ 64. Принцип действия тепловой машины

Тепловая машина превращает тепло в работу, иначе говоря, за бирает тепло от одних тел и передает его другим телам в форме ме­ ханической работы. Для того чтобы осуществить это превращение, надо располагать двумя различно нагретыми телами, между которы­ ми возможен теплообмен. Для краткости будем называть более горячее тело нагревателем, а более холодное — холодильни­ ком. При наличии таких двух тел процесс превращения тепла в работу рисуется следующим образом: способное расшириться тело (рабочее тело) приводится в контакт с нагревателем. Тепло Q, отбирается от нагревателя и затрачивается на работу расширения Лі, которая отдается окружающим телам. Далее, рабочее тело при­ водится в контакт с холодильником, которому оно отдает тепло Qt