книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

Таким образом, говоря в повседневной жизни, что Земля вра­ щается вокруг Солнца, мы не совершаем большой ошибки и не со­ вершили бы ее даже и в том случае, если бы Земля была единствен­ ным спутником Солнца.

§ 6. Влияние вращения Земли на механические явления

Земной шар совершает сложное движение: вращается около своей оси, движется по орбите вокруг Солнца. Вполне понятно, что Земля не является инерциальной системой отсчета. Тем не менее мы с успехом пользуемся законом Ньютона в земных условиях. Однако в ряде случаев неинерциальность Земли сказывается до­ статочно резко. Эти случаи мы должны изучить.

Влияние вращения Земли на ее форму. Вес тела. Если не учи­ тывать вращения Земли, то тело, лежащее на ее поверхности, следует

Л

Рис. 13.

рассматривать как поколщееся. Сумма действующих на это тело сил равнялась бы тогда нулю. На самом же деле любая точка поверх­ ности земного шара, лежащая на географической широте ср, дви­ жется около оси земного шара, т. е. по кругу радиуса r=R cos ср (R — радиус Земли, рассматриваемой в первом приближении в виде шара), с угловой скоростью со=0,7292 - Ю - 4 с - 1 . Следовательно, сумма сил, действующих на такую точку, отлична от нуля, равна произведению массы на ускорение со2/? cos ср и направлена вдоль г.

Очевидно, что наличие такой результирующей силы 0G (рис. 13)

возможно лишь в том случае, если реакция земной поверхности OA

по касательной ОБ. Наличие вращения Земли приводит, как мы видим из чертежа, к двум фактам. Во-первых, вес (давление тела

стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к эква­

близкую к эллипсоиду вращения. Экваториальный радиус Земли становится в результате указанного действия примерно на V300 долю больше полярного радиуса.

Расплющивающие силы заставляли перемещаться массы земного шара до тех пор, пока он не принял равновесной формы. Когда про­ цесс смещения закончился, расплющивающие силы, очевидно, перестали действовать. Следовательно, силы давления, действую­ щие на поверхность земного «шара», направлены по нормали к по­ верхности.

Возвратимся теперь к величине давления тела на землю, то есть к той физической величине, которую принято называть весом. Вы­ числение, сделанное для шара (сила тяготения минус mRm2 cos2 cp), разумеется, несправедливо для истинной фигуры Земли. Однако для приближенных вычислений этим результатом можно поль­ зоваться.

На полюсе (ср=90°) вес тела равен силе тяготения. Обозначим через mg силу тяготения тела на полюсе. Тогда давление тела на земную поверхность в любой точке земного шара, иначе говоря, вес тела, будет равно, как сказано выше, разности силы тяготения и силы DE, т. е.

mg—mRu? cos2 cp = mg'

и

g' =g—Я со2 cos2 cp

есть ускорение, с которым падают тела на широте ср. На экваторе g' примерно на V300 меньше g.

Использование различных ускорений свободного падения на разных широтах избавляет нас от необходимости учета влияния вращения Земли на вес тела.

Влияние вращения Земли на движение тел по земной поверх­ ности. Представим себе, что наблюдения движения тела произво­ дятся во вращающейся системе координат. Мимо наблюдателя дви­ жется прямолинейно и равномерно какое-либо тело. В выбранной

неинерциальной системе отсчета траектория тела будет криволи­ нейной. Французский ученый Кориолис вычислением показал, что по отношению к системе, вращающейся с угловой скоростью to, тело, движущееся прямолинейно и равномерно со скоростью V, имеет ускорение, равное 2 у« sin а, где а — угол между осью вращения и направлением прямолинейного движения. При этом вектор уско­ рения направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения и направление скорости. Для выбора из двух возмож­ ных направлений ускорения одного можно пользоваться следую­ щим правилом: если смотреть вдоль оси вращения так, чтобы видеть

земного наблюдателя. Это отклонение может быть большим или

Отклонения тел могут происходить как в горизонтальной, так и в вертикальной (по отношению к поверхности Земли) плоскостях.

ти, всего больше на полюсе и равны нулю на экваторе. Обратное по­ ложение имеет место для отклонений от вертикальной плоскости. Отклонения в этих двух плоскостях характеризуются соответствую­

Отклонение движущихся в горизонтальной плоскости тел от . прямолинейного пути сказывается на размытии реками правых бере-

уравнения Ньютона мы можем определить ускорение материальной точки. Однако сведения о траектории, скорости, знание момента вре­ мени, которому соответствует прохождение через данную точку про­ странства,— все эти сведения при помощи одних только уравнений движения Ньютона не могут быть получены. Чтобы описать движе­ ние, надо для любого момента времени знать место, где находилась материальная точка, а также знать ее скорость как по величине, так и по направлению. Всего требуется задать шесть чисел: три коорди­ наты и три проекции скорости по осям. Эти данные однозначно ха­ рактеризуют «механическое состояние» точки; их можно назвать параметрами состояния.

Итак, задача сводится к нахождению параметров состояния, а уравнения Ньютона дают лишь ускорения.

Чтобы решить задачу, нужно знать начальные условия, т. е. значения параметров состояния для какого-либо момента времени (обычно этот момент обозначают ^=0, отсюда и название: начальные условия). Если начальные значения параметров состояния известны, то дальнейшее является уже делом математика. Уравнения движе­ ния Ньютона плюс начальные данные однозначно решают механи­ ческую задачу. Дальнейшая судьба точки, а также ее прошлое могут быть прослежены в принципе на сколь угодно большие сроки вперед и назад. Эта идея в свое время поражала ученых. Великий фран­ цузский ученый и мыслитель Лаплас говорил: если бы знать началь­ ные координаты и скорости всех частиц, из которых состоит мир, то можно было бы предсказать судьбу мира. Эта несколько наивная точка зрения, сводящая все сущее к чисто механическим явлениям,

ниченное применение и выводы ее не могут применяться столь широко.

Вернемся, однако, к шести начальным условиям. Необходимость задания для материальной точки именно шести цифр отчетливо видна из самих уравнений Ньютона.

Векторное уравнение можно разложить по трем осям и написать его в виде трех равенств: max=Fx,may=Fy и maz=Fz. Определить движение — это значит найти, как меняются со временем все три

Первое интегрирование позволяет найти ^-компоненту скорости. При интегрировании появляется первая постоянная интегрирова­ ния. Второе интегрирование позволяет найти координату х в функ­ ции времени. При втором интегрировании появляется вторая про­ извольная постоянная. То же самое относится и к уравнениям изме­ нения со временем других двух координат. Всего появятся шесть

Итак, твердое тело надо характеризовать шестью координатами и шестью скоростями изменения этих координат, всего двенадцатью параметрами.

В качестве еще одного примера рассмотрим две жестко связанные

Таким образом, независимых величин, характеризующих указанную

рить о степенях свободы системы, подразумевая под этим число неза­ висимых координат, нужных для описания системы. Таким образом, одна точка имеет три степени свободы, две жестко скрепленные точки — пять степеней свободы, твердое тело — шесть степеней свободы, система из п независимых точек — За степеней свободы и т. д. Теперь нам будет ясен смысл утверждения: механическое сос­ тояние системы определяется заданием ее параметров по числу сте­

мерения силы, массы и расстояния. Можно выбрать единицы изме­ рения и так, чтобы было у= 1. Дл я этого за единицу массы надо при­ нять массу точки, притягивающуюся к другой такой же, находя­ щейся на единичном расстоянии, с единичной силой. В системе СГС такая масса равнялась бы, очевидно, 1,5-107 г, т. е. 15 тоннам.

Таким образом, универсальные коэффициенты, фигурирующие в законах физики, появляются вследствие конкретного выбора еди­ ниц измерения. При желании можно было бы изгнать все коэффи­ циенты этого рода из всех законов, выбирая соответствующим обра­ зом единицы измерения.

Важно усвоить следующее: применяемая система единиц измере­ ния и коэффициенты пропорциональности в формулах связаны друг с другом. Эту связь можно обнаружить при рассмотрении формул размерностей. Прежде всего, необходимо установить число единиц, которые мы желаем считать основными. Это число целиком зависит от нашего произвола и определяется исключительно соображениями удобства.

В физике общепринята система, в которой единицы измерения длины L , массы М и времени Т выбраны независимо друг от друга.

Тогда значения всех универсальных констант, а также единицы изме­ рения всех других величин однозначно определяется выбором еди­ ниц для L , М и Т. Характер этой связи дается так называемыми формулами размерности. Их смысл ясен из примеров. Размерность

и единиц измерения производных физических величин, если изме­ нить величину какой-либо основной единицы.

Как мы увидим на примерах (§ 81), анализ размерностей физи­ ческих величин может подсказать характер тех или иных зависи­ мостей между физическими величинами.

Наряду с системой, в которой основными величинами являются расстояние, время и масса, широкое распространение имеет система, в которой в качестве основных величин выбраны расстояние L , время Т и сила F (системе FLT). Разумеется, формулы размерности в этой системе будут выглядеть иначе. Например, момент силы в си­

расстояние и время. Поэтому выбор коэффициента пропорциональ­ ности в этой формуле зависит для обеих систем от выбора единиц измерения. В обеих системах полагают коэффициент пропорциональ­

45°), которая связана с двумя принятыми нами единицами силы соот­ ношениями:

1 к г с = 9 , 8 1 Н = 9,81 • 105 дин.

Мы еще раз вернемся к вопросу о системах единиц, когда нам понадобятся электрические величины.

§ 9. Работа

Движение без ускорения (т. е. прямолинейное и равномерное) может происходить как без действия, так и при действии на тело сил. В последнем случае сумма сил, действующих на тело, равна нулю. Между этими двумя видами движений без ускорения имеется существенное различие. В первом случае движение не сопровожда­ ется работой, для осуществления второго типа движения нужно за­ тратить работу. Работает мотор, движущий равномерно и прямоли­ нейно автомашину. Работает человек, движущий равномерно и прямолинейно санки с грузом. Говорят, что в этих случаях ра-

бота затрачена на преодоле­ ние сопротивлений— тре­ ния, сопротивления воздуха и т. д.

Из двух уравновешива­ ющихся сил, действующих на тело, движущееся без ускорения, одна направле­ на вдоль, другая против движения.

Мы говорим про силу, действующую по направле­ нию движения, что она производит работу. Мы го-

ворим про силу, направленную против движения, что против этой силы совершается работа.

Количественной характеристикой работы является произведение силы, действующей на тело в направлении движения, на пройденный телом путь. Эта физическая величина называется работой.

Пусть на тело действует множество сил, геометрическая сумма которых равна нулю. Тело движется равномерно и прямолинейно. Тогда можно все силы разложить на четыре (рис. 15). Силы Ft и F2 согласно принятому определению работы не производят. Сила F производит работу, равную FAS (AS — пройденный путь). Работа силы F' равна — FAS. Знак минус показывает, что работа произ­ водится против силы F'.

Рассмотрим теперь движение тела с ускорением, т. е. криволи­ нейное и неравномерное движение. Как нам известно, в этом слу­ чае на тело действует результирующая сила, направленная вдоль ускорения (но не вдоль пути в общем случае!). Разложим опять все действующие силы на силы, направленные вдоль движения и на пер­ пендикулярные (рис. 16). Теперь F не равно F' и Fx не равно F%.

Сохраняя данное выше определение работы, мы по-прежнему гово­ рим про силы Fx и F 2 , что они не совершают работы. Работа силы F'

но, по радиусу окружности, т. е. перпендикулярно к направ­ лению движения. Поэтому центростремительная сила не производит работы.

Итак, излишек работы в общем случае криволинейного уско­ ренного движения идет на создание не всего ускорения, а лишь тан­

Работа, затрачиваемая на ускорение тела (равная, по определе­ нию, проекции результирующей силы на направление движения, умноженной на величину пройденного пути), равна произведению массы тела на величину пути и на величину тангенциального уско­

высоту h = 10 км. Если бы он двигался равномерно, то работа подъема на такую высоту равнялась бы

A1 = Ph = 7.\0« к г с м = 68,6 108 Дж = 68,6-101 § эрг.

Если же набор высоты происходит на пути S=85 км с одновременным увеличением скорости (ускорение а=0,3 м/с2 ), то дополнительная затрата работы на создание ускорения будет

A.2 = ma-S= 17,9-108 Дж=17,9-10Ч э р г = 1,82-10» кгс-м.

2. Чтобы обстругать доску длиной 2 м и шириной 0,2 м( столяр затрачивает работу около 150 кгс-м=1470 Дж.