книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

материальных точек. Впрочем, уравнение Ньютона для материальной точки имеет и непосредственное исключительно широкое примене­ ние, так как во множестве задач механики мы или имеем дело с небольшими по размеру телами или интересуемся движением од­ ного лишь центра тяжести тела.

Основной закон механики говорит следующее. Если на тело действуют силы / і , / 2 , fs и т . д., дающие в сумме силу F= 2 / . то векторное ускорение, приобретаемое телом под действием этих сил,

с направлением результирующей силы. Коэффициент пропорци­ ональности в этой формуле полагается равным единице, что на­ кладывает известные из школьного курса условия на единицы изме­ рения входящих в это уравнение величин.

Основной закон механики можно также записать в виде

или еще F — d t . Последняя запись эквивалентна предыдущим

лишь в случае массы, не изменяющейся во время движения. Мы бу­ дем придерживаться этого условия. Случаи переменной массы будут рассмотрены ниже. В гл. 3 мы остановимся кратко на уравнении движения тел с переменной массой типа ракет, а в гл. 24 рассмо­ трим осложнения, проявляющиеся при движении тел со скоростя­ ми, близкими к скорости света (механика теории относительности).

Основной закон механики следует рассматривать как закон, обобщающий факты. Это уравнение не может быть выведено теоре­ тически из каких-либо простых общих соображений.

Закон инерции является непосредственным следствием основ­ ного закона. Если на тело силы не действуют, то векторное ускоре­ ние равно нулю, тело движется прямолинейно и равномерно.

Применяя основной закон Ньютона к какому-либо телу, мы ста­ вим это тело в центр рассмотрения, нас интересуют силы, действую­ щие на это тело. Однако нужно всегда помнить, что силы являются мерой взаимодействия тел и что односторонних взаимодействий не существует. Если одно тело действует на второе, то и второе тело

на второе, и силы, действующей со стороны второго тела на первое. Так как нас интересует обычно какое-тр одно тело, то действующую на него силу мы выделяем, а вторую силу называем силой противодей­ ствия, или силой реакции. Силы действия и противодействия равны

друг другу по величине и противоположно направлены. Это поло­ жение вошло в науку под названием третьего закона Ньютона.

Относительность движения. Тело, покоящееся в одной системе координат, может нам представиться движущимся с другой точки зрения. Равномерное движение человека, шагающего по перрону, будет неравномерным, если его описывать в системе координат, свя­ занной с тормозящим поездом. Поэтому, говоря о законе движения, нужно указать систему отсчета, для которой этот закон имеет место. Система, в которой выполняются законы Ньютона, должна обяза­ тельно удовлетворять такому требованию: тело, на которое силы не действуют, должно двигаться в этой системе прямолинейно и равномерно или покоиться. Такая система носит название инерциальной.

Вполне очевидно, что все системы отсчета, которые движутся с ускорением по отношению к телу, на которое не действуют силы, не будут инерциальными системами. Другой важный вывод, к которому мы сразу же приходим, это то, что инерциальная система не будет единственной. Напротив, существует бесчисленное множе­ ство инерциальных систем. С любым из тел, движущихся равно­ мерно и прямолинейно по отношению к какому-нибудь одному телу, на которое не действуют силы, можно связать инерциальную систему.

Действительно, предположим, что инерциальная система вы­ брана. Для какого-нибудь тела, движущегося в этой системе со ско­ ростью v и ускорением о, справедлив закон Ньютона F=ma. Рас­ смотрим теперь другую систему отсчета, которая движется прямо­ линейно и равномерно со скоростью ц по отношению к инерциальной. В этой системе то же самое тело будет, правда, иметь другую скорость, равную разности скорости v и скорости и движения вто­ рой системы по отношению к первой. Но ввиду прямолинейности и равномерности относительного движения этих двух систем уско­ рение тела в них обеих будет одним и тем же. Ведь ускорение есть производная от скорости, а производная от постоянной величины равна нулю:

так как ^ - = 0. В закон Ньютона входит ускорение тела и не входит

его скорость. Поэтому основной закон механики будет выглядеть неотличимо одинаково с точки зрения обеих систем.

Это важное утверждение, следующее из закона механики Ньюто­ на, называется принципом относительности движения. Принцип относительности говорит: существует бесчисленное множество инер­ циальных систем, в которых выполняется закон инерции и закон F=ma. Ни одна из этих систем не имеет каких бы то ни было пре­ имуществ или особенностей по отношению к другим системам. Все инерциальные системы равноправны.

Принцип относительности был впервые установлен Галилеем.

Законы механики в неинерциальной системе координат. Примем, что утверждение «ускорение вызывается силами» сохраняется всегда в любых системах отсчета. В неинерциальных системах отсчета тело движется ускоренно и в тех случаях, когда оно не участвует во взаимодействии с другими телами. Но если так, то в неинерци­ альных системах, кроме сил, обусловленных взаимодействием, имеются и силы другого происхождения — обусловленные неинерциальностью системы. Эти дополнительные силы носят название сил инерции (хотя, по существу, было бы правильнее назвать их неинерциальными силами). Поскольку силы инерции не обусловле­ ны взаимодействием, они не удовлетворяют третьему закону Нью­ тона.

Так как мы не собираемся в дальнейшем пользоваться для ана­ лиза движения неинерциальными системами координат, то огра­ ничимся простейшим примером силы инерции.

Предположим, что по каким-то соображениям нам удобна сис­ тема отсчета, движущаяся с постоянным по величине и направле­ нию ускорением а. Все тела, покоящиеся или движущиеся равно­ мерно по отношению к инерциальным системам, будут двигаться с ускорением •— а по отношению к выбранной нами неинерциальной системе отсчета. Ускорение — а создается с и л о й — т а .

Это и есть сила инерции для рассматриваемого случая. Она не является результатом взаимодействия тел и обусловлена ускорен­ ным движением системы отсчета.

Если тело, за которым ведется наблюдение в неинерциальной системе отсчета, находится во взаимодействии с другими телами, то сила инерции добавится к силам, обусловленным взаимодействием.

Основной закон механики в неинерциальных системах коорди­ нат записывается в виде

та = F + силы инерции;

здесь F — результирующая сила, обусловленная взаимодействиями тел.

В зависимости от характера движения неинерциальной системы отсчета (линейное, круговое, круговое с ускорением и т. д.) выра­ жение сил инерции будет иметь разный вид. Формулы сил инерции для всевозможных случаев можно найти в курсах теоретической физики.

§4. Приложение основного закона механики

кускоренному прямолинейному движению

Ниже приводится несколько элементарных примеров, иллюстри­ рующих физическое содержание основного закона механики: гео­ метрическая сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на ускорение и направлена вдоль ускорения.

Горизонтальное движение под действием постоянной силы.

Двигатель толкает вагонетку, находящуюся на рельсах. На ваго-

Но сила трения покоя не может быть как угодно большой, она меньше некоторой величины /чр1 4 0 . Если

то движение с ускорением а становится невозможным и груз со­ скальзывает с вагонетки. Если бы трения между грузом и дном ваго­ нетки не было, то груз не сдвинулся бы с места: вагонетка уходила

действуют при неравномерном движении на груз, лежащий на полу лифта.

Пусть лифт движется ускоренно вверх (рис. 8). На груз действуют

Мы видим, что это сопротивление складывается из веса груза и инерционного сопротивления. Силу Fгл называют иногда кажущимся весом.

Этот результат получен для случая, когда ускорение лифта на­ правлено в сторону, противоположную земному ускорению, что будет осуществляться не только тогда, когда лифт движется уско­ ренно вверх, но и тогда, когда лифт движется замедленно вниз.

В том случае, когда направления силы тяжести и ускорения лифта совпадают, сила давления груза на лифт (кажущийся вес)

та = Fw + Fav.

Сила, составляющая пару с F 3 r , приложена к Земле и нас не инте­ ресует. Напротив, представляет интерес сила F r H , т. е. сила, с ко­ торой груз натягивает нить. Эта сила, приложенная к нити, равна

F r H = — ma + F3r.

Таким образом, и в этом примере инерционное сопротивление вхо­ дит слагаемым в сопротивление, испытываемое ускоряющим телом.

§ 5. Приложение основного закона механики

к движению по окружности

Движение по окружности является ускоренным движением. Если тело движется по окружности с неизменной угловой скоростью, то его ускорение равно по величине a>2R и направлено по радиусу к центру.

Равномерно вращающееся по окружности тело может находиться под действием любого числа как угодно направленных сил. Однако

из основного закона механики следует, что векторная сумма всех этих сил, или, короче, результирующая сила, должна быть направ­ лена по р'адиусу к центру (параллельно ускорению), а по величине должна иметь значение

mv2 , „

^n ц с = - £ - = т о о 2R.

Результирующую силу, действующую на вращающееся равномерно по окружности тело, называют центростремительной силой. Еще раз подчеркнем, что результирующая сила направлена всегда вдоль ускорения, но не вдоль скорости, т. е. в нашем случае сила, созда­ ющая равномерное движение по окружности, направлена вдоль радиуса к центру окружности, но не вдоль касательной к круговой траектории. Роль центростремительной силы заключается в том, что она непрерывно отклоняет тело от прямолинейного пути, по ко­ торому это тело двигалось бы по инерции в отсутствие действующей силы.

Если тело приводится в ускоренное движение, то в соответствии с правилом действия и противодействия ускоряемое тело действует на другие тела (играющие роль связей), заставляющие его двигаться ускоренно, а не по инерции. Силу, действующую на связи со стороны ускоряемого тела, мы назвали инерционным сопротивлением. Такая сила существует, разумеется, и при движении по окружности ее называют центробежной силой.

Центробежная сила равна по величине центростремительной силе и противоположна ей по направлению. Центробежная сила прило­ жена к связям тела, участвующего в круговом движении, или, иначе говоря, приложена к тем телам, которые заставляют рассматриваемое тело двигаться по окружности и мешают ему двигаться прямолинейно и равномерно. Как и центростремительная сила, центробежная сила является результирующей — суммой всех реакций, которые оказывает вращающееся тело на связывающие его тела.

Рассмотрим несколько примеров, причем ограничимся простей­ шими случаями, когда круговое движение возникает благодаря взаимодействию двух тел. Если тело А мешает телу Б двигаться

ществляется между телом, положенным на подставку в форме круг­ лой чаши, вращающейся около своей оси в горизонтальной плоско-

сти, и самой подставкой (рис. 10). Если трение не очень велико и подставка вращается быстро, то тело соскользнет к борту подстав­ ки. В этом случае взаимодействие тела и подставки состоит в сле­ дующем: борт чаши действует на тело в направлении по радиусу к центру (центростремительная сила), а тело с равной по величине силой давит на борт в направлении по радиусу от центра (центро­ бежная сила).

Вернемся теперь к начальному моменту этого опыта. Тело лежит на подставке и подставка только-только при­ ведена во вращение. Если бы между телом и подставкой не было взаимодействия, то тело оставалось бы на месте, а подставка враща­ лась бы под телом. Наличие трения покоя приводит к иному. Вместе с подставкой увле­ кается во вращение и тело. При этом, как указывалось в предыдущем параграфе, сила трения покоя будет направлена по радиусу к

Центробежная сила действует со стороны тела на подставку, она направлена по радиусу от центра. Если представить себе для на­ глядности (однако надо помнить, что это очень грубая картина) трение как результат зацепления двух шероховатых поверхностей, при котором выпуклости поверхности одного тела входят во впа­ дины поверхности другого тела, то центробежная сила представится нам силой, действующей вдоль радиуса от центра на зацепляющие

станет невозможным. Действительно, чтобы обеспечить телу участие в круговом движении с угловой скоростью со, на него надо подей­ ствовать с силой m(x)2R. Если взаимодействие трения не может обе­ спечить этой силы, а следовательно, и движения по кругу радиуса R со скоростью со, то тело сдвинется с места по отношению к подставке и между телом и подставкой взаимодействие трения покоя пере­ станет осуществляться.

Как только взаимодействие тела с подставкой прекратилось и тело стало свободным, начинается прямолинейное и равномерное движение с той векторной скоростью, которой тело обладало в мо­ мент отрыва. Так как скорость тела, движущегося по окружности, направлена по касательной, то эта линия и будет линией движения

освободившегося тела. Наиболее отчетливым образом тангенциаль­ ные пути отрывающихся от вращающегося тела частиц можно де­ монстрировать на опыте с точильным кругом.

Сделаем несколько замечаний о процессе вращения камня на веревке (рис. 11). Чтобы в обычных условиях вращать равномерно на веревке камень, нужно придать телу не только центростремитель­ ное ускорение, но и тангенциальное. Последнее необходимо для

Рис. П.

преодоления трения о воздух. Результирующее ускорение, а следо­ вательно, и сила не направлены вдоль радиуса, а образуют острый угол с направлением движения. Кисть руки совершает вращатель­ ное движение, а нить направлена в каждый данный момент вдоль касательной к окружности, описываемой рукой.

В качестве еще одного примера кругового движения рассмотрим вращение двух притягивающихся тел с одинаковой угловой ско­ ростью вокруг общего центра. Нетрудно заставить с помощью цен­ тробежной машины вращаться около общей оси два груза равной массы, связанных ниткой.

Рассмотрим сначала первый груз на нитке, зацепленной за ось

(см. рис. 12), называется центром инерции (см. § 15). Можно утвер-

ждать, что устойчивое вращение двух связанных тел происходит вокруг точки, являющейся центром инерции системы.

Мы говорили о двух телах, взаимодействие которых осуществля­ ется при помощи нитки. Однако все сказанное совершенно спра­ ведливо и в том случае, если речь идет о двух телах, притягиваю­ щихся согласно закону всемирного тяготения или о притягиваю­ щихся положительном и отрицательном электрических зарядах.

Рис. 12.

Взаимодействие любой природы между парой притягивающихся тел может, таким образом, привести к устойчивому вращению вокруг точки, являющейся центром инерции. Это взаимодействие пред­ ставляется двумя силами, приложенными к обоим притягивающимся телам. Силы направлены друг другу навстречу и численно равны. (Обычно в этом месте у неподготовленного читателя опять возникает вопрос: почему же тела не притянутся друг к другу? Еще раз под­ черкиваем: силы параллельны ускорениям, но не скоростям, а в круговом движении ускорения направлены по радиусу к центру вращения.) Так как на каждое тело действует одна-единственная сила, то обе они являются центростремительными. В то же время обе эти силы являются и центробежными. Действительно, тело А играет роль связи для тела Б, и наоборот. Значит для тела А сила FБЛ является центростремительной, а сила FAE—центробежной, и наоборот. Впрочем, применение понятия центробежной силы в данном случае носит совершенно формальный характер. Эти строчки были нужны лишь для того, чтобы подчеркнуть аналогию, существу­ ющую между системой шаров, связанных ниткой, и системой тел, «связанных» силами притяжения.

Планетная система являет нам пример устойчивого вращения притягивающихся тел. Допустим, что у Солнца существовала бы одна лишь планета Земля. Тогда центр вращения делил бы линию,

СОеДИНЯЮЩуЮ СоЛНЦе С Землей, В ОТНОШеНИИ ОТсолнца : / « З е м і н = = 333 ООО : 1.