книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений
.pdf§ 10. Кинетическая энергия
Итак, при ускорении тела результирующая сила F**3 совершает работу
Л = Ffe 3 AS = ma( AS,
где at— среднее тангенциальное ускорение на рассматриваемом участке пути AS. Подставляя значение at, получим
А = т •• • |
= mv • Ди, |
где v — средняя скорость, равная |
~ (v2-\-Vi), если v2 и vx— мгно |
венные скорости в конце и в начале пути. Так как Av=v2— vlt то *)
т. е. работа численно равна приращению величины mv°l2. Поэтому величина
,r mv"-
к= ~т
принимается за меру энергии движения материальной точки; вели чину К мы и будем называть кинетической энергией. Предыдущее уравнение читается теперь так: работа результирующей силы, дей ствующей на тело (т. е. произведение тангенциальной составляющей результирующей силы на путь), равна приращению кинетической энергии тела. Это уравнение удобно для решения элементарных механических задач, в которых задан путь, на котором действовала сила.
Термин «энергия» встретится нам неоднократно. Это одно из важнейших физических понятий. Энергия, т. е. работоспособность, есть функция состояния тела; за счет убыли величины этой функции и произведена работа. Кинетическая энергия есть функция состояния движения. Если кинетическая энергия изменилась от Кі до К*, то произведенная при этом работа будет равна К2—Кх в н е зависимости от характера движения. Быстро или медленно, равномерно или нет менялась скорость — все это не имеет значения. Убыль кинетиче ской энергии на определенную величину дает всегда одну и ту же работу.
Только в том случае, если физическая величина является функ цией состояния, она может иметь смысл энергии, т. е. запаса работы.
*) Тот же результат мы получим, записав выражение для бесконечно малой работы в виде dA=mv dv и проинтегрировав его от момента, когда скорость была vu до и2 :
о.
A = )™dv = - 2 |
r . |
П р и м е р ы . Единицей энергии в атомной физике является электрон-вольт (эВ); это кинетическая энергия электрона, ускоренного разностью потенциалов в 1 вольт:
1 эВ=1,6 . 10 - 1 2 эрг= -- 1,6 - 10 - 1 9 Дж.
Энергия протона, |
ускоренного в синхрофазотроне, равна 10 ГэВ=101 0 эВ — |
= 0,016э рг=1,6- Ю - 5 Дж. |
|
Кинетическая |
энергия крупного пассажирского реактивного самолета (т = |
= 100 т, с>=800 км/ч) равна |
|
|
2,5-1016 эрг = 2,6-109 Дж = 2,5-10« кгс-м. |
§ 11. Потенциальная энергия
Рассмотрим некоторые явления, при которых произведенная ра бота не сопровождается изменением скорости тела. Два типа приме ров будут занимать наше внимание: первые относятся к упругой деформации тел, вторые описывают события, происходящие при движении тел в поле тяжести и в электрическом поле. Сейчас мы по кажем, что в обоих этих случаях мы сталкиваемся с превращением работы в особую разновидность энергии, называемую потенциаль ной энергией.
Сначала остановимся на явлениях упругой деформации. Опыт по казывает, что при любой упругой деформации — растяжении, сжа тии, изгибе и т. д.— можно указать такую функцию состояния, которая возрастает как раз на величину произведенной над телом работы. Эта функция состояния или, иначе говоря, функция свойств
тела и степени деформации, носит название потенциальной |
энергии |
упругости. |
|
Покажем наличие такой энергии лишь для одного примера |
упру |
гой деформации — линейного растяжения или сжатия. Аналогич ные доказательства возможны для любых иных видов упругой де формации.
Пусть некоторая сила (скажем, мускульная) очень медленно ра стягивает твердое тело (пружину). Работа, затраченная на растяже ние тела от длины l-\-s1 до длины l-\-sit где / — длина недеформиро-
ванной пружины, равна |
|
A = |
F(si~s1). |
Мускульная сила уравновешивается упругости пружины. Последняя же ний пропорциональна деформации
в каждый данный момент силой для не очень больших растяже s *):
|
1 упр f t ; > - |
F |
*) Напомним, что закон упругой деформации (закон Гука) записывают в виде |
s |
— — E-j , где Е — модуль упругости, a S — сечение растягиваемого тела. Таким образом, жесткость (коэффициент пропорциональности в выражении для силы упругости) имеет значение k=ESfl.
В выражение для работы мы должны подставить среднее значение силы F, т. е. 1/i(ks2Jrks1). Тогда получим *)
т. е. работа против сил упругости затрачивается на возрастание ве личины ks2/2. Эту величину и следует принять за меру энергии упру гости. Величину
будем называть потенциальной энергией упругости.
Совершенно такой же вид имеют формулы потенциальной энер гии упругости для других видов деформации, k характеризует жест кость тела по отношению к конкретному виду деформации, a s является мерой деформации (например, угол закручивания, угол сдвига и т. п.).
Величина ( / у п р является энергией именно в том смысле, о кото ром мы говорили в конце § 10. Каким бы способом и с какой бы бы стротой ни было произведено деформирование тела, одной и той же затраченной работе будет соответствовать всегда одно и то же зна чение приращения величины ks2/2. Это и значит, что ks2/2 является
мерой энергии, а именно потенциальной |
энергии |
упругости. |
П р и м е р ы . 1. Потенциальная энергия куска |
стальной |
проволоки (модуль |
Юнга £=20,6-101 0 Н/мг ), имеющей длину 50 м, поперечное сечение 10 мм2 и рас тянутой на 1 см, будет
t / y n P = - § - = 20-106 э р г я 2 Д ж .
2. Для резины модуль Юнга £=7,8510s Н/м2 . Камень с массой 20 г, выпу щенный из рогатки, поднимается на высоту 20 м. Для этого ему должна быть со общена энергия 3,92 Дж. Пусть при этом резиновый жгут растягивается на 40 см
при первоначальной длине |
40 см. Найдем требуемое |
сечение |
резинового жгута |
|||
U |
- E l s l . о |
2LU |
2-40СМ-3.92 |
Дж |
|
|
и у п Р - 1 2 ' |
Es2 |
7,85 • 10^ Н/м2 • 1600 см2 ~ |
' |
• |
||
Силы тяжести обладают той же особенностью, что и силы упру гости, а именно: работа, затраченная на подъем тела в поле тяжести, идет на изменение функции состояния тела. В этом случае интере сующая нас функция зависит от расположения данного тела по отношению к притягивающим его телам. Она носит название по тенциальной энергии тяготения.
Покажем наличие такой энергии, прежде всего, для тела, на ходящегося вблизи земной поверхности. Из точки 1 тело перемести лось в более высокую точку 2 по какому-то криволинейному пути. Разобьем эту траекторию на малые кусочки и заменим кривую линию ломаной. Это можно сделать сколь угодно точно. Работа,
*) К тому же результату придем интегрированием бесконечно малой работы dA=—ksds в пределах от sx до s2.
затраченная на перемещение тела вдоль одного из таких прямоли нейных отрезков длиной dl, равна
dA = mgdl |
sin а, |
или dA |
=mgdh, |
где dh — прирост высоты. |
Так |
как mg |
неизменно на всем пути |
движения, то при сложении по всему пути переноса mg выносится
за скобку |
(при интегрировании выносится за знак интеграла), |
||
что дает для всей |
работы |
|
|
|
|
A = |
mg(ht—h1), |
где hi, h2— |
высоты |
точек 1 и 2. |
|
А= (mgh)2—(mgh) 1 = Д (mgh),
т.е. работа перемещения равняется приросту произведения mgh,
которое является мерой потенциальной энергии тяготения для этого простого случая.
Вполне ясно, что
U = mgh
является энергией и отвечает полностью смыслу, вкладываемому нами в это слово. Каким бы путем ни производилась работа, по какому пути ни перемещалось бы тело и с какой быстротой оно ни двигалось бы, работа перемещения тела из точки 1 в точку 2 будет всегда одинаковой, так как прирост энергии зависит лишь от место нахождения этих точек, в нашем простейшем случае — от их высот.
Так как работа перемещения тела в поле тяготения не зависит от формы пути, то работа перемещения по замкнутому контуру будет равна нулю.
Заметим, что начало отсчета h роли не играет. Если условиться отсчитывать h от поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне колодца, будет отрицательной.
Написанная выше формула непригодна для тел, далеких от Земли, например для Луны. Действительно, как было выяснено в § 2, для больших расстояний приближенная формула силы тяготе ния mg должна быть заменена точной ут1™г .
Рассчитаем работу, производимую силами тяготения. Условимся работу, совершаемую силами системы, считать положительной, а работу против сил системы — отрицательной. Допустим, что два тяготеющих тела сближаются вдоль линии действия сил на беско нечно малый участок пути — dr (минус, так как г уменьшается). При этом
dA —V г dr.
Работа |
идет |
за счет |
уменьшения |
величины V — |
—у—являю |
щейся |
мерой |
энергии |
тяготения |
в общем случае: |
|
dA = — dU.
Величина
представляет потенциальную энергию тяготения в общем случае. Потенциальная энергия тяготения равна нулю, если тела нахо дятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга. При сбли жении тел U растет по абсолютной величине, но так как U отри цательно, то, как и по приближенной формуле для тел, находящихся
вблизи Земли, потенциальная энергия тем меньше, чем ближе |
друг |
||||||
к другу притягивающиеся |
тела. Разумеется, при желании можно |
||||||
изменить начало отсчета U и сделать эту величину положительной в |
|||||||
интересующем нас интервале значений. |
|
||||||
|
Нетрудно показать соотношение между общей формулой для U |
||||||
и ее частным случаем U—mgh. Действительно, заменяя г на |
R-{-h, |
||||||
где R — радиус |
Земли, |
получим: |
|
|
|||
|
|
|
ц _ |
|
уМт _ |
R \ |
|
|
|
|
|
|
R + h |
, , h |
|
|
|
|
|
|
|
l ^ R |
|
(М |
— масса Земли). Но h/R |
— малая величина, поэтому с достаточ- |
|||||
ной |
точностью |
1 |
j — = |
, |
h |
|
|
|
1—7J-, откуда |
|
|||||
U = — y-g- + mgh.
Изменив начало отсчета U, а именно приняв за нуль потенциаль ную энергию тела, находящегося на поверхности Земли, приходим к формуле U—mgh.
П р и м е р . Чтобы яснее представить себе смысл полученных результатов, рассчитаем потенциальную энергию тела с массой т—1 кг на поверхности Земли и на расстоянии 1000 км над поверхностью Земли.
Потенциальная энергия на поверхности Земли
U0= -V^JP ^6,67- Ю - 1 1 - 5 ' ^ 1 |
. 0 |
^ 1 = - 6 |
, 1 • 10' Д ж = - 6 , 1 • 10» эрг. |
Потенциальная энергия на расстоянии |
1000 км |
|
|
ч 8 . i n 2 4 . 1 |
|
|
|
Viooo = - 6,67• 101 1 - " з 1 0 а |
= |
- 5,3 . 10' Дж = - 5 , 3 . 1 0 " эрг. |
|
Из расчета видно, что: 1) потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли все время отрицательна и увеличивается по мере удаления от Земли (так как мы условились, что она стремится к нулю при h—yoa); 2) изменения потенциальной энергии поднимаемого над Землей тела, вообще говоря, не описываются формулой
tng{h2—hit. |
Действительно, |
|
|
|
|
|
tfiooo-*/o = - 5 , 3 - 1 0 - - ( - |
6,1 • 10') =0,8-10' |
Дж, |
||
тогда как расчет по формуле mg(h2—Іц) |
дает 0,98-107 Дж. Однако в тех случаях, |
||||
когда речь идет о подъемах на высоту h<^.R (R — радиус Земли), можно пользо |
|||||
ваться упрощенной формулой mg(h.2—/її). |
|
|
|||
Весьма |
схожи между собой |
выражения потенциальной энергии |
|||
тяготения |
и потенциальной |
энергии |
электрического |
взаимодействия |
|
зарядов. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим два одноименных электрических заряда qt и q2, нахо |
|||||
дящихся на расстоянии г |
друг |
от друга. Заряды взаимодействуют |
|||
(отталкиваются) по закону Кулона. Поэтому, сближая их на малый отрезок dr, мы произведем работу, равную —dA = — q-^-dr
(слева знак минус, так как работа совершается против сил системы; справа тоже знак минус, так как происходит сближение и dr отри цательно). Вычисление, ничем не отличающееся от только что про веденного для сил гравитационного тяготения, дает для энергии электрического взаимодействия зарядов (для краткости ее назы вают кулоновской) выражение U = , т. е. и здесь dA=—dU.
Энергия взаимодействия разноименных зарядов будет отрица тельной и будет вести себя, как гравитационная. Энергия одноимен ных зарядов равна нулю на бесконечности и растет по мере сбли жения зарядов.
Этими примерами потенциальной энергии мы можем ограничить ся, хотя в разных случаях в рассмотрение могут быть введены и иные функции состояния тела.
Потенциальная энергия появляется всегда, когда между телами или частицами, входящими в рассматриваемую систему, действуют силы, зависящие от расстояний между телами. Потенциальная энер гия есть энергия взаимодействия тел. Если система состоит из мно жества тел или частиц, то можно говорить о ее суммарной потен циальной энергии, которая складывается из энергий взаимодействия между всеми частицами (каждой с каждой). Уже в случае четырех частиц потенциальная энергия будет состоять из шести слагаемых,
так как надо учесть взаимодействие |
первого тела со вторым, |
третьим |
и четвертым, второго с третьим и |
четвертым и, наконец, |
третьего |
счетвертым.
Вмеханике учитывают только потенциальную энергию сил, дей ствующую между разными телами. Если тела — сложные и состоят из множества частиц, то потенциальная энергия взаимодействия этих частиц считается неизменной во время механических явлений. Потенциальная энергия взаимодействия частиц, из которых состоит тело, входит составной частью во внутреннюю энергию тела (гл. 9). Если же имеют место изменения внутренней энергии тела, то яв ление должно быть рассмотрено с точки зрения законов термодина мики (гл. 9).
§ 12. Закон сохранения механической энергии
Какие бы силы ни принимали участие в движении, всегда работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии тела, т. е.
Силы, действующие на тело, могут быть силами упругости, тяготе ния, это могут быть также электрические силы, силы трения и т. д.
Всегда можно выделить из действующих сил такие, работа ко торых идет на изменение потенциальной энергии. Для краткости такие силы называются иногда потенциальными, или имеющими потенциал. Уравнение работы перепишется в виде
Здесь f — непотенциальные силы. Работа этих сил равна изменению внутренней энергии тела или среды, в которой тело движется.
Подставляя вместо работы потенциальных сил приращение по тенциальной энергии с обратным знаком, можем переписать урав нение в виде
Сумму потенциальной и кинетической энергии тела называют пол ной механической энергией. Обозначая эту величину через <§, по лучим: /As=A<£, т. е. изменение полной энергии тела равно работе непотенциальных сил, например сил трения.
Если |
работа, идущая на изменение внутренней энергии |
тела, |
|||
мала |
по |
сравнению с <8, то |
равенство переходит в |
утверждение: |
|
А$=0 |
и ^=const. Это есть закон сохранения механической энергии, |
||||
который |
говорит, что полная |
механическая энергия |
тела |
сохра |
|
няется. |
|
|
|
|
|
Закон сразу же обобщается на систему, состоящую из многих тел или частиц. Для каждого тела можно написать уравнение работы и все эти равенства сложить. Полная энергия будет теперь равняться сумме кинетических энергий тел и потенциальной энергии взаимо действия:
Если привлечены к рассмотрению все взаимодействующие тела (такая система тел называется замкнутой), то форма закона оста ется той же, что и для одного тела. Изменение механической энергии равно работе непотенциальных сил, а если этой работой пренебречь, то полная механическая энергия замкнутой системы тел остается не изменной — сохраняется.
Закон сохранения механической энергии является, с одной сто роны, следствием уравнений механики (закона Ньютона); с другой
стороны, его можно рассматривать как частный случай наиболее общего закона природы — закона сохранения энергии (гл. 9).
Уже в механике мы сталкиваемся с большим разнообразием различных взаимопревращений энергии. Рассматривая движение тела под действием упругих сил или сил тяготения, нетрудно заме тить, что увеличение энергии одной из механических форм сопро вождается уменьшением энергии другой формы.
Так, например, силы тяжести, действующие на падающее тело, уменьшают потенциальную энергию и увеличивают кинетическую энергию тела. Обратный переход происходит при подъеме тела на высоту. Силы упругости, заставляющие отскочить от стенки бро шенный мяч, уменьшают потенциальную энергию сжатого мяча, ко торая переходит в кинетическую. Обратный переход происходит в момент остановки стенкой брошенного мяча (период от отсутствия деформации до максимального сжатия).
Растянутая пружина может поднять груз на высоту. Напротив, падающий груз растянет пружину. Следовательно, энергия упру гости может перейти в энергию тяготения, и наоборот.
Приведенные примеры относятся как к случаям перехода одной формы энергии в другую для одного и того же тела, так и к случаям передачи энергии одним телом другому.
Разумеется, возможны передачи одним телом другому энергии в той же форме: один груз тянет другой при помощи перекинутой через блок нити, один шар, столкнувшись с другим, передал ему часть своей кинетической энергии, и т. д.
§ 13. Потенциальные кривые. Равновесие
Потенциальная энергия взаимодействия тел или частиц зависит от их взаимного расположения, т. е. всегда является функцией коор динат или иных параметров, характеризующих положение этих тел в пространстве. В простейших случаях потенциальная энергия мо жет зависеть от одной-единственной координаты.
Рассмотрим взаимодействие двух частиц, потенциальная энер гия взаимодействия которых определяется функцией U(х), где х —
расстояние между частицами. Пусть для определенности частицы |
||
отталкиваются с силой F. Под действием силы взаимодействия рас |
||
стояние между ними увеличится на dx, т. е. будет совершена работа |
||
F |
dx. Это возможно за |
счет потенциальной энергии взаимодействия |
U, |
которая изменится |
на —dU (уменьшение энергии). |
Таким образом, — dU—Fdx, |
или |
Р__ |
<Ш_ |
т. е. в случае потенциальных сил сила есть производная от потен циальной энергии по параметру х с обратным знаком. Тогда харак тер механической задачи очень просто и наглядно описывается при
помощи так называемых потенциальных кривых, т. е. графиков, на которых значения потенциальной энергии отложены в функции
параметра (рис. |
17). |
|
При объяснении существа этого графического метода обычно |
||
обращаются к движению тела по горе. Рисунок потенциальной кри |
||
вой особо нагляден в этом случае, так как профиль горы и вид по |
||
U(x) |
тенциальной энергии, которая |
|
пропорциональна высоте h, |
||
|
совпадают |
с точностью до по |
|
стоянного |
множителя. |
|
|
На потенциальной |
кривой |
|||||||
|
|
имеются |
ямы, вершины, |
кру |
||||||
|
|
тые и отлогие скаты и подъе |
||||||||
|
|
мы. |
Вид |
кривой |
позволяет |
|||||
|
|
сразу же |
указать, |
на |
|
каких |
||||
|
|
участках |
пути |
совершается |
||||||
|
|
большая или меньшая |
работа, |
|||||||
|
|
каков знак этой работы. Чем |
||||||||
|
|
круче потенциальная |
кривая, |
|||||||
Закрещенная облаете |
тем |
больше |
сила, |
действую |
||||||
для полной энергии |
£Л |
щая |
на тело. |
В |
соответствии |
|||||
Рис. |
17. |
с известным |
геометрическим |
|||||||
смыслом |
производной |
сила |
||||||||
|
|
|||||||||
характеризуется тангенсом угла наклона касательной к |
потенци |
|||||||||
альной кривой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедливость формулы, связывающей потенциальную энер |
||||||||||
гию и силу, вполне очевидна для |
тех частных |
случаев |
потенциаль |
|||||||
ной энергии, которые мы привлекли к рассмотрению. Для потен
циальной |
энергии тела у поверхности |
Земли |
|
||||
|
|
U = mgh |
и |
F = — ~ |
= — mg; |
||
для |
тела |
в поле тяготения |
в общем |
случае |
|
||
|
|
|
|
и F =. |
— = |
тхт2 |
|
|
|
|
|
|
|
dr = У |
|
для |
тела, |
подвергающегося |
|
упругому |
действию, |
||
|
|
fct2 |
|
с |
dU • =— |
кх, |
|
для |
электрического взаимодействия |
|
|
|
|||
|
|
и=--—Ш>. |
и |
F = |
d_U _ |
дгдг |
|
|
|
- dr |
|
||||
Возвращаясь к потенциальной кривой, изображенной на рисун ке, мы сразу же можем отметить на ней, пользуясь сделанным заме чанием, те места, где сила наибольшая, и те точки, где сила, дейст вующая на тело, равна нулю. Последние точки, т. е. положения рав новесия,— это дно потенциальной ямы и вершина потенциальной
горы. Те положения, при которых потенциальная энергия макси мальна, соответствуют неустойчивому равновесию, а дно потенци альной ямы является положением устойчивого равновесия.
Мы сказали выше, что вид потенциальной кривой позволяет опи сать возможное движение тела. Это не вполне точно: кроме потен циальной кривой нужно еще знать значение полной механической энергии тела. Если это число известно, то действительно можно по виду потенциальной кривой рассказать о возможных движениях тела или частицы.
На рис. 17 проведены горизонтальные прямые с ординатами Si и <8Ъ. Если <В есть полная энергия частицы, то из графика можно найти уже не только потенциальную энергию, но и кинетическую энергию как разность между S и U.
Движущаяся точка не может быть в тех положениях, при которых потенциальная энергия больше полной энергии. Таким образом, го ризонтальная прямая £ ограничивает возможные участки движения тела. В случае, если энергия выражается нижней прямой Si, у движущейся точки имеются два возможных интервала положений: она может находиться либо в потенциальной яме (и совершать в ней колебательные движения), либо на склоне правее точки А, где она будет двигаться вниз или вверх с соответствующим приобретением или потерей кинетической энергии.
Проведенные рассуждения вполне одинаковы для потенциальной кривой любой природы. На рис. 18 приводится несколько типов
Рис. 18.
потенциальных кривых. Кривая 18, а — это потенциальная кривая тела, колеблющегося на пружине. Колеблющееся тело находится в потенциальной яме с симметричными краями. Кривая 18, б — это потенциальная кривая, типичная для многих взаимодействующих частиц — атомов, молекул. Кривая представляет собой потенци альную яму, один край которой очень крутой, а другой — пологий. По оси абсцисс отложено расстояние между частицами. Как видно из кривой, потенциальная энергия весьма велика на малых рассто яниях, затем с увеличением расстояния потенциальная энергия падает, достигает минимума, затем медленно возрастает, стремясь к