книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

или

^ = 4л7 г ' т а к к а к § В c o s а dS = m (СИ).

Разумеется, никаких «уединенных» магнитных полюсов не суще­ ствует. Написанная формула имеет смысл лишь в случае длинного магнита с точечным полюсом и при этом не слишком далеко от по-

Рис. 109.

люса. Подобный подход к магнитному полю постоянного магнита имеет все же полное право на существование. Это хорошо видно при составлении выражения для поля стержневого магнита, рассма­ триваемого как магнитный диполь с двумя полюсами т, находящи­ мися на расстоянии / друг от друга. На рис. 109 показано поле стерж­ невого магнита и идеальное поле, рассчитан- + ное по формуле

дукции, создаваемой стержневым магнитом на большом расстоянии

где М=т1 носит название магнитного момента постоянного магнита. Во втором случае (рис. 110)

Итак, поле вдоль оси в два раза сильнее. В системе СИ две послед­ ние формулы будут иметь вид соответственно

нитом длиной /=10 см на расстоянии г= 1 м от магнита вдоль оси. Площадь по­ перечного сечения магнита S=3 см2, индукция в магните 500 Гс.

Магнитный поток в магните (он же выходящий из полюса) Ф=500-3=1500

Рассмотрим взаимодействие уединенного магнитного полюса и элемента тока (рис. 111). Магнитный полюс создает поле В в месте нахождения электрического тока.- Следовательно, по закону Ампера на элемент тока будет действовать сила

Мы можем вместо величины магнитной индукций поставить ее выра­ жение для точечного полюса. Учитывая, что поле направлено по радиусу, мы получим для силы взаимодейст­

вия следующие выражения:

или

сг2 '

Вполне естественно принять, что сила, с которой элемент тока действует на магнитный полюс, представится той же формулой с обра­ щением направления силы. Это допущение

Рис. Ш . нельзя проверить непосредственно на опыте, так как мы не можем осуществить ни уеди­ ненного полюса, ни отдельно взятого элемента постоянного тока.

Однако мы можем проверить правильность высказанного положе­ ния, интегрируя силы взаимодействия для опытных случаев. Теория действительно совпадает с. опытом.

Итак, сила действия элемента тока на магнитный полюс может быть представлена в виде

или в системе СИ, без коэффициента Мс и с заменой пг на т/4л,

Мы не ставим знака минус в этой формуле, так как полагаем обра­ щенным радиус-вектор. За направление г всегда принимают на­ правление от источника поля до точки наблюдения. Поэтому, когда речь шла о силе, действующей на ток, г предполагалось направлен­ ным от полюса к элементу тока. Теперь же, когда речь идет о силе, действующей со стороны тока на полюс, радиус-вектор г предпола­ гается направленным от элемента тока к полюсу.

Сила, действующая на единичный магнитный полюс, носит назва­ ние напряженности магнитного поля:

dH = dF

Нашим рассуждением доказано, что напряженность магнитного по­ ля, создаваемого элементом тока, выражается формулой

Итак, существуют две характеристики магнитного поля: вектор индукции, измеряемый действием магнитного поля на токи, и век­ тор напряженности, который может быть получен в эксперименте измерением воздействия поля на магниты.

Практически измерения на­ пряженности удобнее сводить к измерению вращательного мо­ мента, действующего на магнит­ ную стрелку (рис. 112). Такая стрелка, помещенная в однород­

N = МН sin а

или в векторной форме N=lMtf], где M—ml — магнитный момент стрелки, что весьма напоминает формулу момента сил, действующих на контур тока.

Сила взаимодействия обратно пропорциональна магнитной про- ницаемости.

Э л е к т р о м а г н и т н о е д е й с т в и е , т. е. действие тока на маг­ нит. Магнитная стрелка испытывает вращательный момент со сто­ роны элемента тока. Для просто­ ты принято М±_Н, Т. е. магнит­

ложен на продолжении оси стер­ жневого магнита на расстоянии г от него (рис. ИЗ). Контур испыты­ вает вращательный момент

N = МтокаВ Sin а == ^тока А*маг,5 ІП ОС (СГС),

или

N = sin а (СИ).

Взаимодействие не зависит от магнитной проницаемости.

П р и м е р . Контур площадью 5=20 см2, обтекаемый током /=10 А, взаимо­ действует на расстоянии 100 см со стержневым магнитом, магнитный момент ко­ торого Л1 м а г н =1000 ед. СГС=1 А-м. На контур будет действовать вращающий момент

= - 1 ^ . 1 0 . 2 0 = 4 . 10-- ед. СГС,

Л/ = 4 10-5 дин-см = 0,04 Н-м.

dF=-b-dl1B,

с1

т. е.

Взаимодействие прямо пропорционально магнитной проницаемости. Таким же точно образом можно составить формулы для любых

взаимодействий магнитных систем.

П р и м е р. Электродинамическое взаимодействие надо серьезным образом учитывать при прокладке токопроводящих шин. В случае короткого замыкания шины и поддерживающие их изоляторы должны оказаться достаточно прочными, чтобы выдержать большие электродинамические нагрузки. Пусть по параллель­ ным шинам, отстоящим на расстоянии d=20 см, текут токи / 1 =/ 2 =3 - 10* А. На единицу длины одной из шин действует сила f = B / = | i 0 t f / , где #=//(2jid) — напряженность магнитного поля, создаваемого прямолинейным током, текущим по другой шине (см. стр. 250). Имеем

т. е. на каждый метр шины действует сила ~90 кгс. Этот же результат можно было получить интегрированием последней формулы для dF.

§ 103. Эквивалентность токов и магнитов

Мы обращали внимание на сходство между выражениями для вра­ щательных моментов, действующих на магнитную стрелку и контур тока. Действительно, поведение этих двух систем во внешнем поле чрезвычайно похоже. Если характеризовать каждую из систем стрел­ кой ее магнитного момента, то сходство будет еще более полным. Каждая система стремится расположиться в магнитном поле так, чтобы ее магнитный момент совпал с силовыми линиями поля. Если магнитный момент отклонен от положения устойчивого равновесия, то на систему действует вращательный момент N=[MH\ — для маг­ нитной стрелки и N=[MB] — для контура тока. Соответственно потенциальные энергии этих двух систем представятся формулами

U=—MH и U=— MB.

Так как В = ц0 |д#, то становится очевидным различие между формулами: они переходят одна в другую введением в формулы маг­ нитной проницаемости. Отсюда следует, что в отношении механиче­ ского воздействия магнитная стрелка с моментом М эквивалентна контуру тока с моментом M r =M/(ii 0 u . ) .

Однако сходство этих двух систем еще не кончается на сказан­ ном. Мы покажем сейчас, что магнитная стрелка и контур тока об­ ладают собственными полями, совпадающими с точностью до посто­ янного множителя. Такое сходство имеет место на расстояниях, существенно больших размера системы. Докажем это для точки про-

странства, лежащей на линии магнитного момента на расстоянии г от центра системы. Поле магнита для такой точки было уже вычис­ лено, оно равно В=2М/г3. Остается найти поле кругового тока на

смысл обозначений ясен из чертежа. Такую же величину поля даст любая пара «противоположных» элементов. Поэтому полное поле мы получим, заменив в последнем выражении длину элемента dl на длину половины окружности па. Напряженность поля кругового тока на его оси на расстоянии г от тока *) представится формулой

Этим доказано, что магнитный диполь и контур тока эквивалент­ ны не только в отношении действующих на них сил, но и в отноше­ нии создаваемых ими полей. Эквивалентность имеет и здесь тот же характер. Чтобы заменить магнитную стрелку с моментом М, нужно

контуру тока с таким же магнитным моментом.

*) Нас интересуют большие расстояния, следовательно, различия между г и расстоянием до центра системы пренебрежимо малы.

2-17

Магнитное напряжение вдоль замкнутой линии должно быть про­ порционально току, около которого эта линия обворачивается:

где k — коэффициент пропорциональности.

Силовая линия может охватывать не один ток, а несколько. Для создаваемого поля существенна алгебраическая сумма токов, и уравнение имеет вид

Более глубокий теоретический анализ, на котором мы здесь не можем останавливаться, показывает, что написанное уравнение под­ вергается еще двум обобщениям. Во-первых, магнитное напряжение можно взять не только вдоль силовой линии, но и вдоль произволь­ ного контура; во-вторых, коэффициент пропорциональности в урав­ нении является константой, зависящей лишь от свойств среды и оди­ наковой для любых геометрических условий. Таким образом, маг­ нитное напряжение, взятое для любой замкнутой кривой линии, одинаково, если только эта кривая охватывает токи определенной силы. Безразлична форма кривой, размеры кривой; кривая может охватывать один ток или десяток токов; эти токи могут быть пря­ мыми, к р у г о в ы м и , — все это безразлично, магнитное напряжение будет одним и тем же, если только алгебраическая сумма токов, пронизывающих кривую, будет иметь одинаковое значение.

Так как коэффициент пропорциональности в формуле магнитного напряжения есть величина универсальная, то мы можем найти k, если сумеем вычислить магнитное напряжение для любой системы, поле которой нам известно.

М ы познакомились с общим выражением для напряженности магнитного поля элементарного тока. Вычисление магнитного на­ пряжения с помощью формулы напряженности

представляет математические трудности. Кроме того, нам известна формула напряженности магнитного поля на оси кругового тока, Н=2М/г3. Вычисление магнитного напряжения вдоль оси кругового тока не представит особых затруднений. Нас не должно смущать, что интегрирование происходит вдоль прямой линии, в то время как нас интересует магнитное напряжение вдоль замкнутой кривой. Дело в том, что прямая, идущая от отрицательной бесконечности в положительную, является замкнутой кривой — она замыкается в