книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

Второй важный случай — это сложение двух колебаний, час­ тоты которых находятся в отношении целых чисел. Совершенно ясно, что результирующее колебание будет периодическим. Если, скажем, период одного колебания 3 с, а другого 7 с, то через 21 с суммарное колебание будет повторяться. Это показано на рис. 51.

§ 30. Спектр колебания

Мы уже говорили о колебаниях, в точности повторяющихся через определенные интервалы времени, но не являющихся гармо­ ническими. Например, шла речь о пилообразных колебаниях. Если

синусоид хоть и не дает синусоиды, но образует периодическое ко­ лебание, если только частоты относятся как целые числа. Разу­

дом Т; с таким же периодом будет происходить колебание, склады­

своеобразие любого колебания, даже пилообразного? Положитель­ ный ответ на этот вопрос был дан французским ученым Фурье. Тео­ рема, которая носит его имя, доказывает, что всегда можно подо­ брать такие значения а1г а2 , а9, ... и ф 1 ; ср2, ф3 , чтобы предста­ вить любое периодическое колебание с частотой со в виде суммы

гармоника и т. д.). Чем ближе график колебания к синусоиде, тем меньше амплитуды гармоник. Напротив, если график колебания мало похож на синусоиду, то амплитуды нескольких гармоник будут не сильно отличаться от амплитуды основной частоты.

Представление колебания в виде суммы гармонических колеба­ ний называется разложением колебания в спектр, а спектром

называются данные о частотах и амплитудах гармонических колеба­ ний, из которых составляется колебание с частотой со. Данные о спектре колебания можно записать в виде таблички. Если частот много, то часто прибегают к графическому изображению спектра (рис. 52).

Идею спектра оказывается возможным распространить и на не периодические процессы. Можно говорить о спектре упругих коле­ баний, созданных ударом кулака по столу, имеет смысл понятиеспектра выстрела или выкрика.

Ї т Ї Т т т т т Т т Т

Чтобы это стало ясным, рассмотрим сначала процесс, состоя­ щий из периодических затухающих толчков. Это не выкрик или выстрел, а серия выкриков или выстрелов, повторяющихся через равные промежутки времени. Элементом такого процесса является быстро затухающее колебание, и вся кривая имеет вид, показанный на рис. 53, а. Спектр такого колебания можно установить сущест­ вующими средствами: он будет иметь вид, показанный на соседнем рисунке. Мы видим, что (как этого и следовало ожидать) спектр состоит из множества частот, кратных основной. Обратите внима­ ние, что спектр имеет максимум: наиболее сильно в спектре пред­ ставлена восьмая гармоника. Этоне случайно: если мы вернемся к картине колебания, то увидим, что в каждом отдельном толчке затухающий импульс колеблется с «частотой», в 8 раз большей частоты основного тона (рис. 53, а).

На рис. 53, б показана картина таких же толчков, но они про­ исходят с частотой в два раза меньшей, чем ранее. Сравните спектр этого колебания с предыдущим. Так как основная частота теперь в два раза меньше, то «частота» затухающего элементарного про­

Нетрудно теперь понять, что спектр непериодического про­ цесса — одного толчка — будет сплошным. Отдельных частот в нем

не будет, но характер спектра в том же интервале частот будет весь­ ма похож на то, что рассмотрено ранее (рис. 53, в).

S 0,5

1 І|/Wwwvy —Ц/\Л

§ о

Рис. 53.

Математическое доказательство приведенных рассуждений со­ держится в теории так называемых интегралов Фурье.

§ 31. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Чтобы проследить за закономерностями сложного колебания, являющегося суммой двухвзаимно перпендикулярных колебаний, проще всего воспользоваться электронным осциллографом. Об этом приборе будет еще речь впереди (стр. 418). Сейчас достаточно ска­ зать, что осциллограф позволяет осуществить колебания электрон­ ного луча в двух взаимно перпендикулярных направлениях. След электронного луча на светящемся экране описывает траекторию, возникающую как результат участия светящегося пятнышка в двух взаимно перпендикулярных колебательных движениях.

Пусть колебание следа луча в вертикальном направлении про­ исходит по закону cos (со/+6), а в горизонтальном направле­ нии — в соответствии с формулой x=acos oit. Чтобы выяснить ха­ рактер результирующей траектории, надо из этих двух уравнений исключить время и найти уравнение f(x, у)=0. Записывая выраже­ ния смещений в виде

— = cos d)t, -^- = cos (at + 6) = cos co^-cos 6 — sin Ш'• sin 6

и заменяя во втором уравнении cos at на х/а и sin at на |/ 1 —(х/а)'\ получим после элементарных преобразований уравнение эллипса, повернутого по отношению к осям координат:

Начнем теперь менять параметры колебаний и проследим за по­ ведением эллипса. Если изменять разность фаз, то эллипс будет менять свою форму и одновременно поворачиваться (рис. 54). При

разности фаз, равной 90°, оси эллипса будут совпадать с осями ко­ ординат. При изменении разности фаз в меньшую или большую сто­ рону эллипс начнет поворачиваться налево или направо и одновре­ менно сужаться. Когда разность фаз обратится в нуль-, то эллипс выродится в прямую линию. Сказанное нужно проверить, под­ ставляя в написанное выше уравнение эллипса значения 6=0, 90, 180°.

Если амплитуды колебаний вдоль вертикали и горизонтали рав­ ны, то при разностях фаз в 90 и 270° траектория становится окруж­ ностью. Между этими двумя разностями фаз есть различие, хотя они и дают тождественные траектории. В одном случае луч обегает окружность по часовой стрелке, а в другом — против. Чтобы это увидеть, надо вернуться к исходным уравнениям. Они запишутся так:

рону отрицательных у, т. е. по уасовой стрелке. Обратное движение указывается второй парой уравнений.

При демонстрации с помощью осциллографа можно обратить внимание на то, что эллипсы не стоят на месте, а медленно переме­ щаются так, как будто бы происходило непрерывное изменение сдвига фаз. Если мы посмотрим внимательно, то будет видно, что эллипс не поворачивается, а кривая, вычерчиваемая световым пят­ ном, как бы непрерывно переходит из одного эллипса в другой. Подобное явление имеет место тогда, когда частоты колебаний слег­ ка различаются. Действительно, ведь различие частот вполне экви­ валентно случаю непрерывно меняющейся разности фаз. Скажем, частота вертикального колебания со2 на Дю больше частоты гори­ зонтального колебания со1 ; тогда

Рис. 55.

фаза его становится иной. В результате описываемые кривые все меньше и меньше напоминают эллипсы. Примеры этих причудли­ вых кривых, называемых фигурами Лиссажу, показаны на рис. 55. Изображены кривые для отношения частот 3 : 4 и 1 : 2.

т. е. способностью восстанавливать свою форму, искаженную в ре­ зультате кратковременного действия силы. Эта способность тела является причиной того, что всякое механическое действие переда­ ется телом с конечной скоростью. Если бы существовал абсолютно твердый, неспособный деформироваться стержень, то он мог бы двигаться только как целое, действие силы распространялось бы по

такому телу мгновенно. Абсолютно пластическое тело, деформиру­ ющееся без малейшего восстановления формы, было бы неспособно

ккакой бы то ни было передаче механического действия.

Вупругом теле деформация передается последовательно от од­ ной точки тела к соседней. Если стержню нанесен сжимающий удар молотком, то на конце стержня образуется уплотнение, которое распространится с определенной скоростью с вдоль тела. Если в твердом теле создан местный кратковременный изгиб, то он также будет передаваться с конечной скоростью по твердому телу. То же самое справедливо для любой деформации. Пробегающие по телу при разных механических действиях деформации обычно демон­ стрируют при помощи пружин (рис. 56)

Рис. 56.

Упругостью сжатия и растяжения обладают как твердые тела, так и жидкие и газообразные. Поэтому в любых телах возможна передача этих деформаций. Что же касается деформаций сдвига, кручения, изгиба, то такие деформации могут передаваться только твердыми телами, обладающими соответствующей упругостью. При деформации сжатия и растяжения движения частиц происходят в том же направлении, в котором передается механическое действие. В подобных случаях мы говорим о продольном распространении де­ формации. При сдвиге, изгибе, кручении направление движения ча­ стиц может образовать, вообще говоря, произвольный угол с на­ правлением, по которому передается энергия.

Всегда возможно выделить направление, в котором передается механическое действие, а затем разложить смещение частицы тела по трем взаимно перпендикулярным осям, одна из которых лежит вдоль линии распространения, а две других — в перпендикулярной плоскости. Поэтому в наиболее сложном случае можно рассматри­ вать распространяющуюся деформацию как совокупность трех дви­ жений: двух поперечных и одного продольного.

Скорость распространения упругой деформации зависит от ме­ ханических свойств тела; ее, как показывает теоретическая физика, можно связать с другими физическими константами тела. Так, для продольных волн скорость распространения выражается простой формулой:

c ~ v W '

Здесь р — плотность тела, а и — сжимаемость. Большая плотность тела, приводит к увеличению инертности частиц тела и, следова-

тельно, уменьшает скорость распространения упругих волн. Малые сжимаемости говорят о том, что даже малым деформациям соответ­ ствуют большие упругие силы. Это обстоятельство приводит к уве­ личению скорости распространения деформации.

В таком виде этой формулой пользуются обычно для жидкостей. Так, например, вода при изменении давления на 1 атм сжимается на 5- Ю - 6 своего объема. Значит, сжимаемость; равная (см. стр. 138)

по определениюх= — д^^7"> е с т ь Ю~в с м 2 / д и н - 5 - Ю - 5 . Плотность воды 1 г/см3 . Отсюда для скорости распространения деформации в

и разрежения газа можно считать адиабатическими, т. е. происхо­ дящими без теплообмена. Ниже (стр. 150) будет получено уравнение

Здесь а — коэффициент, значение которого легко вычисляется при помощи уравнений, рассматриваемых позднее (стр. 149).

Таким образом, скорость распространения деформации в газе, в том числе и скорость распространения звуковых волн, о которых

*) Уравнение адиабатического процесса риї—const. Если р и о — равновес­ ные, значения давления и объёма для некоторой массы газа, р+Др и v—Av — со­ ответствующие значения в момент деформации, то

в водороде равна 1263 м/с, в то время как в воздухе мы имеем хорошо знакомое число 331 м/с.

Для продольных волн, распространяющихся в твердом теле, за­ меняют обычно коэффициент сжимаемости на модуль упругости.

поскольку линейное относительное сжатие будет равно объемному. Формула скорости запишется в виде

Насколько хорошо она выполняется, можно судить по следующим примерным числам:

х м 2 / н

Проверку этой формулы надо проводить, изучая скорость распро­ странения звука в тонких стержнях. Дело в том, что более глубокое рассмотрение вопроса показывает, что формула c—VElp должна быть справедлива только для таких тел. Для тел иной формы, а также для распространения звука в сплошной среде теория приводит к другим выражениям, которые мы приводить не будем.

Следует также заметить, что таблица приведенных величин мо­ жет служить лишь для ориентировки. Скорости звука в разных сор­ тах стекол, разных сортах дерева, стали и т. д. могут существенно различаться.

§ 33. Возникновение волнового движения

Многочисленными способами можно подвести к отдельной точке тела или среды непрекращающиеся колебания. Периодически дей­ ствующая в какой-либо точке тела сила создаст периодически меняющуюся деформацию, которая будет передаваться от точки к точке тела с определенной скоростью. В колебательное движение придут все точки тела. При этом из-за конечности скорости распрост­ ранения деформации точки тела будут приходить в колебание одна за другой. Если тело безгранично, то такое колебание будет все вре­ мя продвигаться вперед, образуя бегущую волну.