книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

некоторому конечному пределу. Характер движения и связи двух взаимодействующих частиц вполне детально описывается этой кри­ вой. Следует различать два случая: первый, когда полная механиче­ ская энергия этой пары частиц выражается нижней горизонтальной прямой $ и и второй, когда полная энергия равна <£2. В первом слу­ чае система не может выбраться из потенциальной ямы. Это значит, что расстояние между частицами лежит в пределах, указанных на рисунке. Взаимное движение частиц может носить лишь колеба­ тельный характер. Так обстоит дело в устойчивой двухатомной моле­ куле. Второй случай обратен первому. Полная энергия взаимодей­ ствующих частиц слишком велика, чтобы они постоянно были свя­ заны. Система может выйти из потенциальной ямы, т. е. связь между частицами не может существовать, частицы могут разойтись на сколь угодно большое расстояние.

Третья потенциальная кривая на рисунке — это так называеемый потенциальный ящик. Вспоминая, что сила характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенциальной кривой, мы видим, что потенциальная энергия может быть представлена в виде ящика, если тело или частицы перемещаются свободно без действия сил, но не могут выйти за пределы заданного участка, пока полная энергия меньше высоты бортов ямы.

Г Л А В А 3

ИМПУЛЬС

§ 14. Сохранение импульса

Импульсом тела или материальной точки называют произведение массы точки на вектор скорости, p=mv (другой термин для этой величины — количество движения). Импульс р является, таким образом, векторной величиной. Если речь идет о системе тел или системе точек, то импульс такой системы равен геометрической сумме импульсов точек, составляющих систему:

Я = Р і + Р , + . . .

Основная особенность, делающая эту векторную величину инте­ ресной для физика, заключается в том, что в замкнутой систе­ ме вектор Р не изменяется, какие бы движения ни происходили вну­ три системы. Это положение носит название закона сохранения им­ пульса.

Закон сохранения импульса следует непосредственно из законов Ньютона. Для каждого из тел, входящих в замкнутую систему, справедливо уравнение

второго, третьего и т. д. тел. Пользуясь двойными индексами, это можно записать так: FliJrF13JrFxiJr-.. Совершенно аналогично можно записать выражение силы, действующей на второе тело:

F*I+FM+F23+. . . , на третье: Fzl+F32+F33+..., и т. д. Не­ трудно сообразить, что при сложении правые части равенств дают

нуль. Каждому слагаемому одной строки всегда найдется в другой строке ему равное и противоположное по знаку в соответствии с

й - ( а + а + / » э + " - ) = о,

Это и есть закон сохранения импульса. Величины и направления импульсов отдельных тел могут меняться, но их геометрическая сумма для замкнутой системы не меняется.

Значения некоторых импульсов: импульс электрона с энергией 5 эВ—12- Ю - 2 5 Г'См/с, винтовочной пули ~ 8-Ю8 г-см/с = 8кг-м/с, товарного поезда—107 кг-м/с.

§ 15. Центр инерции

Известны способы нахождения центра тяжести любого тела. Если тело закреплено в центре тяжести, то оно находится в поло­ жении безразличного равновесия. Если имеется система материаль­ ных точек или если сплошное тело условно разбить на элементар­ ные объемы, рассматривая каждый как материальную точку, то можно дать аналитическое выражение для положения центра тя­ жести.

Используя правило сложения параллельных сил (рис. 19), мы можем найти для случая, когда материальные точки расположены вдоль одной линии, скажем, вдоль оси х, следующее выражение для положения центра тяжести:

Здесь хи х2, х3, . . . — координаты материальных точек, а ш ь тг, т3, . . . — их массы. Массы появляются вместо весов, так как уско­ рение силы тяжести сокращается.

Рис. 19.

В теоретической мех нике показывается, что при произвольном расположении материальных точек выражение для положения центра тяжести имеет вид

смысл и в том случае, когда тело будет перенесено в другие грави­ тационные условия и даже если будет находиться в условиях не­ весомости в межпланетном пространстве. Поэтому целесообразно распространенное название «центр тяжести» заменить на название,

Пользуясь формулой местонахождения центра инерции, получим

mlvl-\- т.2у.г + m3v3 -f-.. • mx ~Ь m-2 + тз + • • •

В числителе стоит суммарный импульс, который сохраняется в замк­ нутой системе; значит, в правой части равенства находится постоян­ ная величина. Отсюда вывод: вектор скорости центра инерции не меняется ни по величине, ни по направлению. Или, иначе говоря, центр инерции замкнутой системы материальных точек совершает инерционное движение.

Интеграл в левой части называют иногда импульсом силы. Гео­ метрический смысл этой величины на графике — площадь под кри­ вой удара (см. рис. 20).

объединяются. К неупругим ударам относятся столкновение глиня­ ных шаров, прыжок человека на движущуюся вагонетку, столкнове­ ние двух разноименных ионов с образованием молекулы, захват электрона положительным ионом и т. д.

Пусть до встречи тела двигались со скоростями t>i и v2; суммар­ ный импульс равнялся m ^ j + f f l j O z . После встречи тела имеют общую массу, равную т^т2, и движутся с какой-то скоростью V. Им­ пульс системы после встречи равен ( т х + т 2 ) V. Закон сохранения импульса требует равенства

(щ + m2)V = mlvl + m2v2,

откуда скорость тел после неупругого удара представится формулой

Вектор импульса после встречи тел должен равняться сумме векто­ ров импульса тел до удара.

Если встречное движение происходит вдоль одной прямой, то после удара тела будут двигаться в том направлении, куда ранее

Неупругий удар сопровождается энергетическим превращением. Из только что приведенного примера видно, что кинетическая энер­ гия может даже обратиться в нуль. Нетрудно подсчитать величину, на которую возрастает внутренняя энергия встретившихся тел в том или ином случае; для этого лишь надо составить разность

Рассмотрим теперь идеально упругие столкновения, т. е. такие, при которых тела полностью восстанавливают свою форму. Это значит, что в состоянии этих тел не происходят какие-либо измене­ ния, их потенциальная и внутренняя энергия до и после удара неизменна и, следовательно, кинетическая энергия должна сохра­ няться. Дл я двух тел, соударяющихся таким образом, можно сос­ тавить два уравнения: закон сохранения импульса и закон сохра­ нения кинетической энергии. Обозначим массы тел через т и М. Всегда можно выбрать начало координат совпадающим с одним из тел. Это упрощает задачу, нисколько не уменьшая общности рас-

В системе координат, связанной с центром инерции, шары дви­ жутся навстречу друг другу со скоростями -^v. Кинетическая энер-

гия каждого шарика равна -^mv2, а полная энергия системы -j mv2.

Таково будет количество тепла, выделяемое при неупругом соуда­ рении. Какой бы ни был удар, выделение тепла (или другой формы энергии) за счет кинетической энергии тел может произойти в ко­ личестве, не превышающем кинетическую энергию, подсчитанную для системы, связанной с центром инерции. И наоборот, для выде­ ления заданного количества тепла нужно эквивалентное количество кинетической энергии, подсчитанное для системы центра инерции.

и идет с поглощением энергии 1,13 МэВ. Какой кинетической энергией в лабора­

уже знаем, что это не так. В системе координат, связанной с центром инерции,

Отсюда кинетическая энергия системы (a, N1 4 ) в системе координат центра инер­

— так называемая приведенная масса обеих частиц. Будем считать ядра N 1 4 непо­ движными (о2 =0). Это предположение справедливо, так как всегда можно пре­ небречь медленным тепловым движением ядер-мишеней по сравнению с огромными скоростями налетающих частиц. Тогда кинетическая энергия в лабораторной

системе координат Кл = — mv\ и, следовательно,

Л л — А ц . и — «

In•>

Реакция идет, если Кц, „—ЫЗ МэВ. Учитывая, что mj=4, т2= 14, получим

to

К =1,13 . ^=1,4 5 МэВ. 14

§ 17. Явления отдачи

Закон сохранения импульса помогает легко разобраться в ос­ новных чертах явления отдачи при выстреле, реактивном движении и при рассмотрении других аналогичных проблем.

Рассмотрим, прежде всего, явление отдачи, происходящее в си­ стеме отсчета, где в начальный момент тела покоились. В случае выстрела из орудия такое рассмотрение вполне естественно. Если в начальный момент система, состоящая из двух или более тел, покоится, то суммарный импульс ее равен нулю. Какие бы события далее ни произошли, равенство нулю суммарного импульса продол­ жает иметь место. Если поэтому в какое-то мгновение происходит взрыв, в результате которого система делится на части с массами

тел имеет вид m t » + M V = 0 ; здесь малые буквы относятся к одному телу, скажем снаряду, а большие — к другому, к орудию. Разделе­ ние системы на две части может происходить при разлете частей только вдоль общей прямой линии. Поэтому векторные значки можно отбросить и записать условие в виде mv=—MV. Скорости орудия и снаряда должны быть обратно пропорциональны их массам. Итак, явление отдачи будет ощущаться тем резче, чем больше масса сна­ ряда по отношению к массе орудия.

Чрезвычайно большой интерес представляют явления «непрерыв­ ной отдачи», имеющие место в реактивном движении. Подобные явления составляют своеобразную главу механики, которую можно назвать механикой переменной массы. Они осуществляются не только в реактивном самолете. Напротив, можно указать ряд обы­ денных явлений, в которых мы имеем дело с подобным движением. В качестве примера достаточно указать рулон разматывающейся бумаги или падение непрерывно конденсирующейся в атмосфере капли (см. пример в конце параграфа). Основания механики пере­ менной массы были заложены в конце X I X в. профессором И. В. Ме­ щерским. Не имея возможности останавливаться на его работе, мы рассмотрим лишь одну-единственную проблему этой области, каса­ ющуюся возможной скорости движения ракеты.

Ракета движется со скоростью и и в какое-то мгновение выбра­ сывает некоторую порцию горючего газа с массой dM. Масса ракеты естественно уменьшится на эту величину. Если скорость истечения газов обозначить через и (это скорость не по отношению к ракете, а по отношению к той же инерциальной системе отсчета, в которой опи­ сывается скорость движения ракеты), то импульс отделившегося от ракеты вещества будет равен и dM. Ракета уменьшит свою массу и увеличит свою скорость на величину dv. Импульс ракеты после выброса горючего будет равен (М—dM) (v+dv). В соответствии с