Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

.pdf
Скачиваний:
56
Добавлен:
27.10.2023
Размер:
44.34 Mб
Скачать

некоторому конечному пределу. Характер движения и связи двух взаимодействующих частиц вполне детально описывается этой кри­ вой. Следует различать два случая: первый, когда полная механиче­ ская энергия этой пары частиц выражается нижней горизонтальной прямой $ и и второй, когда полная энергия равна <£2. В первом слу­ чае система не может выбраться из потенциальной ямы. Это значит, что расстояние между частицами лежит в пределах, указанных на рисунке. Взаимное движение частиц может носить лишь колеба­ тельный характер. Так обстоит дело в устойчивой двухатомной моле­ куле. Второй случай обратен первому. Полная энергия взаимодей­ ствующих частиц слишком велика, чтобы они постоянно были свя­ заны. Система может выйти из потенциальной ямы, т. е. связь между частицами не может существовать, частицы могут разойтись на сколь угодно большое расстояние.

Третья потенциальная кривая на рисунке — это так называеемый потенциальный ящик. Вспоминая, что сила характеризуется тангенсом угла наклона касательной к потенциальной кривой, мы видим, что потенциальная энергия может быть представлена в виде ящика, если тело или частицы перемещаются свободно без действия сил, но не могут выйти за пределы заданного участка, пока полная энергия меньше высоты бортов ямы.

Г Л А В А 3

ИМПУЛЬС

§ 14. Сохранение импульса

Импульсом тела или материальной точки называют произведение массы точки на вектор скорости, p=mv (другой термин для этой величины — количество движения). Импульс р является, таким образом, векторной величиной. Если речь идет о системе тел или системе точек, то импульс такой системы равен геометрической сумме импульсов точек, составляющих систему:

Я = Р і + Р , + . . .

Основная особенность, делающая эту векторную величину инте­ ресной для физика, заключается в том, что в замкнутой систе­ ме вектор Р не изменяется, какие бы движения ни происходили вну­ три системы. Это положение носит название закона сохранения им­ пульса.

Закон сохранения импульса следует непосредственно из законов Ньютона. Для каждого из тел, входящих в замкнутую систему, справедливо уравнение

Подумаем, что будет, если сложить такие уравнения,

записанные

для всех тел. В правой части равенств стоят силы,

действующие

на данное тело со стороны остальных. Скажем, сила,

действующая

на первое тело, равна сумме сил, действующих на него со стороны

второго, третьего и т. д. тел. Пользуясь двойными индексами, это можно записать так: FliJrF13JrFxiJr-.. Совершенно аналогично можно записать выражение силы, действующей на второе тело:

F*I+FM+F23+. . . , на третье: Fzl+F32+F33+..., и т. д. Не­ трудно сообразить, что при сложении правые части равенств дают

нуль. Каждому слагаемому одной строки всегда найдется в другой строке ему равное и противоположное по знаку в соответствии с

правилом действия

и противодействия. Так,

сила F12 даст нуль

в сложении с F2i,

сила Fl3— в сложении

с Fau

и т. д. Поэтому в

замкнутой системе имеет место равенство

 

 

 

dpi,dp2dp3

_ п .

 

й - ( а + а + / » э + " - ) = о,

или

 

Рі+Р»+Рз+

• • • = Const.

Это и есть закон сохранения импульса. Величины и направления импульсов отдельных тел могут меняться, но их геометрическая сумма для замкнутой системы не меняется.

Значения некоторых импульсов: импульс электрона с энергией 5 эВ—12- Ю - 2 5 Г'См/с, винтовочной пули ~ 8-Ю8 г-см/с = 8кг-м/с, товарного поезда—107 кг-м/с.

§ 15. Центр инерции

Известны способы нахождения центра тяжести любого тела. Если тело закреплено в центре тяжести, то оно находится в поло­ жении безразличного равновесия. Если имеется система материаль­ ных точек или если сплошное тело условно разбить на элементар­ ные объемы, рассматривая каждый как материальную точку, то можно дать аналитическое выражение для положения центра тя­ жести.

Используя правило сложения параллельных сил (рис. 19), мы можем найти для случая, когда материальные точки расположены вдоль одной линии, скажем, вдоль оси х, следующее выражение для положения центра тяжести:

X _

+ т2х2

+ т&з + • • •

~

т1 + ті

+ т3 + ...

Здесь хи х2, х3, . . . — координаты материальных точек, а ш ь тг, т3, . . . — их массы. Массы появляются вместо весов, так как уско­ рение силы тяжести сокращается.

Рис. 19.

В теоретической мех нике показывается, что при произвольном расположении материальных точек выражение для положения центра тяжести имеет вид

 

mlrl + m*r., + m3r3

+ •. •

 

 

 

ml-rrn1-rт3

. . .

 

 

где R—радиус-вектор

центра,

a r l t

г2, г3,

...

радиусы-век­

торы точек.

 

 

 

 

 

То, что ускорение силы тяжести

сократилось в этих формулах,

позволяет нам считать,

что найденная

точка

имеет

объективный

смысл и в том случае, когда тело будет перенесено в другие грави­ тационные условия и даже если будет находиться в условиях не­ весомости в межпланетном пространстве. Поэтому целесообразно распространенное название «центр тяжести» заменить на название,

имеющее прямое отношение к существу

дела, а именно, говорить

не о центре тяжести, а о центре

инерции

тела.

Сейчас же мы увидим

глубокий смысл этого названия. Рассмо­

трим скорость движения

центра

инерции

Пользуясь формулой местонахождения центра инерции, получим

mlvl-\- т.2у.г + m3v3 -f-..mx m-2 + тз + • • •

В числителе стоит суммарный импульс, который сохраняется в замк­ нутой системе; значит, в правой части равенства находится постоян­ ная величина. Отсюда вывод: вектор скорости центра инерции не меняется ни по величине, ни по направлению. Или, иначе говоря, центр инерции замкнутой системы материальных точек совершает инерционное движение.

Как мы знаем, все инерциальные системы координат равноправ­ ны. Можно поэтому всегда перейти к системе координат, связанной с центром инерции изучаемой системы, и считать эту интересную точку покоящейся. В атомной физике часто рассматриваются со­ ударения частиц между собой. Для этой цели используются две системы координат: лабораторная (естественная координатная сис­ тема наблюдателя) и система, связанная с центром инерции соуда­ ряющихся частиц. Удобство последней системы отсчета очевидно: суммарный импульс частиц равен нулю.

§ 16. Соударения

Слово «соударение» надо понимать в несколько более широком смысле, чем это принято в житейской практике. Для механических задач, которые нас сейчас интересуют, к соударениям относятся любые встречи двух или более тел, при которых взаимодействие длит­ ся короткий срок. Таким образом, кроме явлений, которые можно

отнести к соударениям во всех смыслах

 

этого слова, — удара

биллиардных

ша­

 

ров, столкновений атомов или атомных

 

ядер,— сюда можно отнести

и такие со­

 

бытия, как прыжок человека с трамвая

 

или на трамвай или попадание

пули в

 

стенку. При таких коротких

взаимодей­

 

ствиях

возникают

столь большие

силы,

 

что роль всех постоянно действующих

 

сил можно считать ничтожной. Это дает

 

нам право

рассматривать

соударяющие­

 

ся тела

как замкнутую

систему

и при­

 

менять

к

ним закон

сохранения

им­

 

пульса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Во многих соударениях длительность

Рис. 20.

взаимодействия

измеряется

тысячными

 

долями

секунды.

За

это время

сила доходит

до своего макси­

мального значения, затем падает до нуля. Типичная кривая силы при ударе показана на рис. 20. В каждое мгновение удара соот­ ношение между силой, действующей на любое из тел, и импуль­ сом этого тела дается вторым законом Ньютона:

Переписывая его в виде FAt=A(mv),

мы можем сказать, что про­

изведение среднего значения силы

на время ее действия должно

равняться изменению импульса. Более точное утверждение мы полу­ чим, проинтегрировав написанное уравнение от начального вре­ мени удара до окончания взаимодействия. Очевидно,

т

5 F dt = (mv)2—(mi>)i-.

о

Интеграл в левой части называют иногда импульсом силы. Гео­ метрический смысл этой величины на графике — площадь под кри­ вой удара (см. рис. 20).

В зависимости

от упругих свойств тел соударения могут проте­

кать весьма различно. Принято выделять два крайних

случая:

идеально упругий

и абсолютно неупругий удары.

 

Остановимся сначала на втором из них. Под неупругим

ударом

понимают такую

встречу двух тел, в результате которой

эти тела

объединяются. К неупругим ударам относятся столкновение глиня­ ных шаров, прыжок человека на движущуюся вагонетку, столкнове­ ние двух разноименных ионов с образованием молекулы, захват электрона положительным ионом и т. д.

Пусть до встречи тела двигались со скоростями t>i и v2; суммар­ ный импульс равнялся m ^ j + f f l j O z . После встречи тела имеют общую массу, равную т^т2, и движутся с какой-то скоростью V. Им­ пульс системы после встречи равен ( т х + т 2 ) V. Закон сохранения импульса требует равенства

(щ + m2)V = mlvl + m2v2,

откуда скорость тел после неупругого удара представится формулой

V=

m1ViJt-m2v2

 

т1 + тг

Вектор импульса после встречи тел должен равняться сумме векто­ ров импульса тел до удара.

Если встречное движение происходит вдоль одной прямой, то после удара тела будут двигаться в том направлении, куда ранее

шло тело с большим импульсом. Если

импульсы тел равняются по

величине, то тіУі——m2v2

и, значит,

V равно нулю — столкнув­

шиеся тела остановятся.

 

 

Неупругий удар сопровождается энергетическим превращением. Из только что приведенного примера видно, что кинетическая энер­ гия может даже обратиться в нуль. Нетрудно подсчитать величину, на которую возрастает внутренняя энергия встретившихся тел в том или ином случае; для этого лишь надо составить разность

Рассмотрим теперь идеально упругие столкновения, т. е. такие, при которых тела полностью восстанавливают свою форму. Это значит, что в состоянии этих тел не происходят какие-либо измене­ ния, их потенциальная и внутренняя энергия до и после удара неизменна и, следовательно, кинетическая энергия должна сохра­ няться. Дл я двух тел, соударяющихся таким образом, можно сос­ тавить два уравнения: закон сохранения импульса и закон сохра­ нения кинетической энергии. Обозначим массы тел через т и М. Всегда можно выбрать начало координат совпадающим с одним из тел. Это упрощает задачу, нисколько не уменьшая общности рас-

смотрения. Мы положим поэтому тело с массой М покоящимся до удара. Указанные два закона сохранения дадут тогда такие ра­ венства:

тиmv + M.V, у ти2 = -j mv2 + у MV2;

здесь и и v — скорости шара т до и после удара, V — скорость шара М после удара.

Рассмотрим несколько примеров применения этих уравнений. Прежде всего, изучим нецентральное *) соударение двух шаров равной массы (рис. 21). Тогда массы сокращаются в обоих урав­ нениях и мы получим

u = v+ V, u2 = v2 + V2.

Из векторного равенства ясно, что вектор и является замыкающей треугольника, построенного на векторах v и V. Из правого уравне­

ния

следует, что треугольник,

в ко-

 

тором и — гипотенуза,

должен

быть

7Ш~~

прямоугольным;

отсюда

следует, что

щ

скорости после столкновения двух ча­

 

стиц равной массы

должны

быть на­

 

правлены

под прямым

углом друг к

 

другу. Этот интересный

вывод

легко

 

проследить для

биллиардной

игры:

 

направления движений шара, который

 

подвергся удару, и «своего» шара

 

образуют

угол

в

90°.

В

остальном

 

характер

изменения

вектора

скоро­

 

сти

не определяется

нашими

урав-

Р и с 2 i .

нениями,

в которых не учитывается

 

отклонение линии удара от линии, проходящей через центры шаров. Полные сведения о движении шаров после удара мы получим, если ограничим себя случаем центрального удара. Движение столк­ нувшихся шаров будет тогда и после удара происходить вдоль той же прямой. Поэтому можно не пользоваться векторными символами, помня, однако, что изменение знака скорости будет означать изменение направления движения. В этом случае нам нет зато нуж­ ды рассматривать упрощенный случай равных масс. Уравнения

центрального

соударения имеют вид

 

 

 

mu = mv + MV,

ти2 = mv2 +

MV2.

 

Преобразовывая эти уравнения к виду

 

 

 

т(и v) = MV,

m(u2 — v2) =

MV2

 

и деля их друг на друга, найдем: uJ\-v=V

или и=—(v—V).

Мы

замечаем, что

относительная

скорость движения шара т

по

*) Удар называется центральным, если движение шаров до удара происхо­ дило по прямой, проходящей через их центры.

стенку тангенциальная (касательная) составляющая скорости ос­ тается неизменной, так как отсутствуют тангенциальные силы сцеп­ ления со стенкой. Как видно из рисунка, приращение импульса численно равно 2mv sin а и направлено вдоль нормали к стенке. Согласно основному закону механики, в момент удара сила, дей­ ствующая на шар со стороны стенки, дол­ жна быть направлена туда же, куда на­ правлен вектор изменения импульса. По­ этому-то и угол падения шара равен углу отражения.

Рассмотрим неупругий удар на примере балли­ стического маятника (прибор для измерения скоро­ сти пули). Ящик с песком массой М подвешен на тросе. Пуля влетает в ящик и застревает в песке. Импульс пули до удара ти, импульс системы после удара (M-\-m)v. Имеем

т

т + М

Приобретя кинетическую энергию Мї?/2, ящик из­ расходует ее, поднявшись на высоту h, удовлетво­ ряющую условию

Mg/j = — , т.

е. h

и2

f т

~'2в\М.

 

 

-VSLHdU

Рис. 24.

Пусть М = 10 кг, т—Юг, и=900 м/с; тогда h = 4 см.

а определили бы

Если бы мы не пользовались законом сохранения импульса,

h, основываясь на полном переходе кинетической энергии пули в

потенциальную

энергию маятника, то получили бы h =40 м (!). Это означает, что в нашем примере 3920 Дж механической энергии (99,9% общего запаса) «исчезло» (пошло на нагре­ вание системы). Так как абсолютно упругих тел не существует, то при каждом «упругом» ударе механическая энергия не сохраняется, часть ее переходит в энер­ гию теплового движения молекул и рассеивается. Мы еще вернемся к этому в гл. 11 (стр. 159).

Теперь на примере соударений мы проиллюстрируем достоинства системы координат, связанной с центром инерции.

Пусть на шарик с массой т, покоящийся в лабораторной сис­ теме координат, налетает другой такой же шарик со скоростью v. Если удар неупругий, то какая-то часть кинетической энергии сис­ темы rnv2/2 перейдет в тепло. В иных системах координат кинетиче­ ская энергия этой пары шариков выразится другими числами. Что же касается выделяемого тепла, то оно будет одним и тем же для данной пары шариков и будет определяться скоростью их относи­ тельного движения. Поэтому, вместо того чтобы с помощью закона сохранения импульса искать переходящую в тепло долю кинетиче­ ской энергии, вычисленной для лабораторной системы координат, достаточно рассчитать кинетическую энергию для системы, связан­ ной с центром инерции. Так как в этой системе координат суммар­ ный импульс тел равен нулю, то после неупругого соударения шары останавливаются: вся кинетическая энергия переходит в тепло. Кинетическая энергия для системы, связанной с центром инерции, будет иметь минимальное значение.

В системе координат, связанной с центром инерции, шары дви­ жутся навстречу друг другу со скоростями -^v. Кинетическая энер-

гия каждого шарика равна -^mv2, а полная энергия системы -j mv2.

Таково будет количество тепла, выделяемое при неупругом соуда­ рении. Какой бы ни был удар, выделение тепла (или другой формы энергии) за счет кинетической энергии тел может произойти в ко­ личестве, не превышающем кинетическую энергию, подсчитанную для системы, связанной с центром инерции. И наоборот, для выде­ ления заданного количества тепла нужно эквивалентное количество кинетической энергии, подсчитанное для системы центра инерции.

П р и м е р .

Ядерная реакция бомбардировки азота N 1 4 а-частицами проте­

кает согласно

уравнению

 

№* + Н е 4 — * 0 " + Н г

и идет с поглощением энергии 1,13 МэВ. Какой кинетической энергией в лабора­

торной системе координат

должна обладать а-частица, чтобы

реакция пошла?

На первый взгляд кажется,

что для этого достаточно энергии

1,13 МэВ. Номы

уже знаем, что это не так. В системе координат, связанной с центром инерции,

нужна энергия

1,13 МэВ, однако в лабораторной системе координат нужна боль­

шая энергия.

 

 

 

 

Действительно, скорость центра инерции

Vc =

'——— , где /Иії»!—им-

 

 

 

/Ttj

- | - Ttl2

пульс первой частицы, m2v2— второй. Скорость первой частицы в системе коорди­

нат центра инерции

 

 

 

гь=г>1

= ———(г>1Vo).

Для второй частицы можно написать

 

г>2 = р 2 vc=

1

(v2—vj.

 

 

till ~Г

m i

 

Отсюда кинетическая энергия системы (a, N1 4 ) в системе координат центра инер­

ции будет

 

/я,/и»

1 ,

где ц =

#t t .H = -p-Mtfi — v2f,

1

I

— так называемая приведенная масса обеих частиц. Будем считать ядра N 1 4 непо­ движными (о2 =0). Это предположение справедливо, так как всегда можно пре­ небречь медленным тепловым движением ядер-мишеней по сравнению с огромными скоростями налетающих частиц. Тогда кинетическая энергия в лабораторной

системе координат Кл = mv\ и, следовательно,

Л л — А ц . и — «

In•>

Реакция идет, если Кц, „—ЫЗ МэВ. Учитывая, что mj=4, т2= 14, получим

to

К =1,13 . ^=1,4 5 МэВ. 14

§ 17. Явления отдачи

Закон сохранения импульса помогает легко разобраться в ос­ новных чертах явления отдачи при выстреле, реактивном движении и при рассмотрении других аналогичных проблем.

Рассмотрим, прежде всего, явление отдачи, происходящее в си­ стеме отсчета, где в начальный момент тела покоились. В случае выстрела из орудия такое рассмотрение вполне естественно. Если в начальный момент система, состоящая из двух или более тел, покоится, то суммарный импульс ее равен нулю. Какие бы события далее ни произошли, равенство нулю суммарного импульса продол­ жает иметь место. Если поэтому в какое-то мгновение происходит взрыв, в результате которого система делится на части с массами

/Пі, m2 , m3 ,

. . . , которые разлетаются со скоростями Vi, о 2 , v3,

. . . ,

то сумма

импульсов mxv1+tn2V2Jrm3v3Jr...

разлетающихся

тел

должна по-прежнему равняться нулю.

 

 

Если речь идет о выстреле из орудия (система делится на две

части), то

условие равенства нулю импульса

этой системы из двух

тел имеет вид m t » + M V = 0 ; здесь малые буквы относятся к одному телу, скажем снаряду, а большие — к другому, к орудию. Разделе­ ние системы на две части может происходить при разлете частей только вдоль общей прямой линии. Поэтому векторные значки можно отбросить и записать условие в виде mv=MV. Скорости орудия и снаряда должны быть обратно пропорциональны их массам. Итак, явление отдачи будет ощущаться тем резче, чем больше масса сна­ ряда по отношению к массе орудия.

Чрезвычайно большой интерес представляют явления «непрерыв­ ной отдачи», имеющие место в реактивном движении. Подобные явления составляют своеобразную главу механики, которую можно назвать механикой переменной массы. Они осуществляются не только в реактивном самолете. Напротив, можно указать ряд обы­ денных явлений, в которых мы имеем дело с подобным движением. В качестве примера достаточно указать рулон разматывающейся бумаги или падение непрерывно конденсирующейся в атмосфере капли (см. пример в конце параграфа). Основания механики пере­ менной массы были заложены в конце X I X в. профессором И. В. Ме­ щерским. Не имея возможности останавливаться на его работе, мы рассмотрим лишь одну-единственную проблему этой области, каса­ ющуюся возможной скорости движения ракеты.

Ракета движется со скоростью и и в какое-то мгновение выбра­ сывает некоторую порцию горючего газа с массой dM. Масса ракеты естественно уменьшится на эту величину. Если скорость истечения газов обозначить через и (это скорость не по отношению к ракете, а по отношению к той же инерциальной системе отсчета, в которой опи­ сывается скорость движения ракеты), то импульс отделившегося от ракеты вещества будет равен и dM. Ракета уменьшит свою массу и увеличит свою скорость на величину dv. Импульс ракеты после выброса горючего будет равен (М—dM) (v+dv). В соответствии с

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ