книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений

Рассмотрим теперь элементарные волны, идущие от границы раз­ дела во вторую среду и образующие фронт преломленной волны (рис. 63). Различные среды отличаются плотностями (и упругими свойствами), а значит, и скоростями распространения волн. В более плотной среде скорость волны меньше. Проделаем такое же построе­ ние, что и для отражения, т. е. изобразим на рисунке фронт элемен­ тарных волн для того момента времени, когда падающая волна

Рис. 63.

достигла последней точки. Фронт повернулся из-за различия в скоро-., стях распространения. Если волна попадает в более плотную среду, то радиус наибольшей элементарной волны должен быть меньше пути, пройденного падающей волной от момента возбуждения первой точки до момента возбуждения последней точки границы. При этом отношение этих длин должно как раз равняться отношению скоро­ стей распространения волн. С другой стороны, как видно из рис. 63, отношение указанных расстояний равно отношению синусов углов падения и преломления. Таким образом мы и приходим к известному правилу преломления волн:

Направление распространения приближается к нормали к границе раздела, если волна переходит из менее плотной среды в более плот­ ную, и обратно — при переходе в менее плотную среду волна откло­ няется от нормали. Отношение cjc^—n носит название коэффици­ ента преломления.

§ 39. Коэффициент отражения

Объяснение геометрии отражения и преломления может пока­ заться малоинтересным приложением теории. Однако волновая теория позволяет сделать гораздо большее, а именно, выяснить вопрос о долях отраженных и преломленных волн в зависимости

Интересное явление поворота амплитудного вектора при отраже­ нии носит название потери полволны или скачка фазы на 180°. Дейст­ вительно, изменение знака в уравнении волны у = A cos со — -

где у — любая физическая величина, может быть получено внесе­ нием в аргумент косинуса сдвига фаз на 180°. С другой стороны,

максимально усиливают друг друга, либо максимально ослабляют. Запомним, что для волны скоростей колебания потеря полволны при отражении происходит при падении в среду с большим сопро­ тивлением (иногда неточно говорят: в среду с большей плотностью). Волна смещения неразрывно связана с волной скорости колебания и

терпит вместе с ней потерю полволны. • Прошедшая во вторую среду волна не терпит скачка фазы.

Из написанных уравнений найдем, совместно решая их, значение

P i c i + Ргс 2 '

Для воздуха и твердых тел волновые сопротивления разнятся очень сильно. Для воздуха, как мы указывали, р с = 4 1 , а для стали (р=7,9 г/см3 , с=5000 м/с) рс=40 - 10 5 , откуда г=0,99999. Это зна­ чит, что звук, падающий из воздуха на сталь, практически отража­ ется полностью и почти не проникает в среду. Легко подсчитать, что для границы воздух — вода /-=0,9997.

§ 40. Явление Доплера

До сих пор молчаливо предполагалось, что источник волны и приемник ее (т. е. наблюдатель) оба покоятся по отношению к среде, в которой распространяется волна. Своеобразные эффекты, на кото­ рые впервые указал Доплер (1842 г.), наблюдаются в том случае, когда источник или наблюдатель или, тем более, оба вместе дви­ жутся по отношению к среде. Они заключаются, прежде всего, в том, что при движении источника волн наблюдатель измерит ча­ стоту колебаний v', при движении наблюдателя он измерит частоту колебаний v". Эти частоты отличны друг от друга и от той частоты v, которая измеряется при неподвижных наблюдателе и источнике.

При рассмотрении эффекта Доплера надо, прежде всего, обра­ тить внимание на то обстоятельство, что волна, вышедшая от ис­ точника, распространяется совершенно независимо от движения

источника и наблюдателя. Поэтому при движении относительно среды источник или наблюдатель могут надвигаться или, напротив, убегать от движущейся волны.

Почему же подобные движения могут привести к измерениям частоты, отличным от ее «истинного» значения? Дело в том, что на­ блюдатель определяет частоту колебаний как число волн, которое приходит в его прибор за единицу времени, в то время как по фор­ муле v=c/K это число есть число длин волн, укладывающееся 'на пути, пройденном в единицу времени. Если наблюдатель движется к источнику со скоростью и, то за 1 с он зарегистрирует подход не v волн, а большего их числа, и притом во столько раз больше, во сколько относительная скорость волны и наблюдателя с + и боль­ ше и. Таким образом,

Если источник движется к приемнику, то наблюдатель опять-таки зафиксирует большее число волн, чем в случае, когда источник и приемник неподвижны. Однако причина увеличения здесь иная.

На первый взгляд это не очевидно. Но дело в том, что движение источника при неизменной частоте колебаний приводит к изменению расстояний между синфазными точками волны. Если первый случай можно грубо интерпретировать как движение наблюдателя на­ встречу колонне спортсменов, бегущих с одинаковой скоростью и постоянными интервалами к между собой, то ясно, что во втором случае схема рассуждения должна быть другой. Теперь можно го­ ворить о медленном смещении линии старта (бегуны через равные промежутки времейи прыгают с перемещающегося вдоль трассы автомобиля), что приведет к изменению расстояний между ними. Вместо К' они станут К". Если линия старта (источник) смещается по направлению к наблюдателю и за 1 с выпускается v спортсменов, то за 1 с они распределятся на участке с — и. Таким образом, ин­ тервал между спортсменами (длина волны) Х"=(с—u)lv. Частота, с которой спортсмены, движущиеся со скоростью с, пересекают линию финиша (частота колебаний, воспринимаемая наблюдателем),

Обе полученные формулы одинаково годятся и тогда, когда источник и наблюдатель удаляются друг от друга; в этих случаях надо заме­ нить знак скорости и на обратный.

Итак, показано, что при сближении источника и наблюдателя измеряемая частота колебаний, излучаемых источником, возрастает. При удалении частота падает.

Хорошо известный пример эффекта Доплера для звуковых волн дает наблюдение звука гудка приближающегося и удаляющегося поезда. При приближении поезда мы слышим звук с частотой выше

истинной. Высота тона меняется скачком, когда поезд проносится мимо наблюдателя. Поезд удаляется, теперь слышимый звук имеет

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

§41. Наложение двух волн, бегущих

впротивоположные стороны

Положим, что две плоские волны, вполне одинаковые по своим характеристикам, идут навстречу друг другу. Нас интересует воз­ никающее колебательное движение среды, в которой распростра­ няются волны.

Как упоминалось выше, различие в направлении распределения учитывается различием в знаках координаты в уравнении волны. Следовательно, результирующая картина смещения должна переда­

местах пространства. Своеобразное колебательное состояние среды, возникающее при движении в противоположные стороны двух оди­ наковых бегущих волн, носит название стоячей волны. Еще раз подчеркнем, что стоячая волна не есть волна. Бегущая волна пере­ носит энергию, в стоячей волне никакой передачи энергии от точки к точке нет; бегущая волна может двигаться вправо или влево, у стоячей волны нет направления распространения. Это название характеризует колебательное состояние среды.

В чем же особенности этого колебательного состояния? Прежде всего, мы видим, что колеблются не все точки среды. В местах про­ странства, удовлетворяющих у с л о в и ю х = , ^ - , ампли­ туда колебания равна нулю. Соответствующие места носят название узлов стоячей волны. Расстояние между двумя соседними узлами вдоль оси х, по которой были пущены бегущие волны, равно по­ ловине длины волны. Между двумя узлами лежат точки, которые колеблются с наибольшей амплитудой, равной 2Л. Эти точки назы­ ваются пучностями стоячей волны.

На рис. 64 представлено колебательное состояние, соответствую­ щее стоячей волне для нескольких последующих моментов времени. Мы видим, что название вполне оправдано. В каждое мгновение видна волна. При этом волна стоит на месте. Если делать мгновен­ ные фотографии одну за другой, то точки пересечения волной оси абсцисс — узлы — будут оставаться на одном и том же месте. Волна

вида стоячие волны возникают в телах ограниченных размеров, по которым распространяются упругие волны. Дело заключается в том, что упругие волны отражаются от границы тела со средой и отправ­ ляются в среду обратно. В ограниченном теле возникает сложное ко­ лебательное состояние, являющееся результатом наложения на

§ 42. Собственные колебания стержней

Ударом или иным способом в каждом твердом стержне можно возбудить продольную упругую волну, распространяющуюся вдоль его длины. От противоположного конца стержня эта волна отра­ зится, и, таким образом, весь стержень придет в колебательное состояние, изображаемое стоячей волной. Это колебательное состо­ яние будет свободным, так как оно возникнет благодаря кратковре­ менному импульсу и будет далее продолжаться без действия внешних сил. Ряд сведений о характере этих свободных колебаний мы полу­ чим, если положим известной длину стержня и укажем способ его закрепления. Длина стержня и способ его закрепления дают нам так называемые граничные условия. Они сводятся к следующему: в закрепленном месте стержня существует узел стоячей волны, на открытом конце стержня образуется пучность стоячей волны.

Рассмотрим несколько способов возбуждения продольных сво­ бодных колебаний в стержне с длиной L .

Стержень, закрепленный в обоих концах. В этом случае на концах стержня должны образоваться узлы волны смещений. Так как расстояние между узлами равно половине длины волны, то воз-

, к

можные длины волн связаны с длиной стержня условием L= П-£ ,

и вспоминая связь частоты с длиной волны, получим выражение для собственных частот свободных продольных колебаний стержня

Прежде всего необходимо подчеркнуть принципиально новый для нас результат. Сплошное тело имеет не одну, а множество соб­ ственных (характеристических) частот колебания. Соответственное этим разнообразны возможные свободные колебания стержня. Стержень может также совершать негармонические колебания с любым спектром *), составленным из частот v n .

Частота vx является основной частотой колебания стержня. Ей соответствует колебательное движение с условием L=k/2. Это зна­ чит, что при основном колебании центр стержня лежит в пучности стоячей волны, а узлов между концами стержня нет. Колебанию во втором обертоне (вторая гармоника) соответствует условие L=k. Теперь в центре стержня имеется узел. Если возбуждена третья гар­ моника, то между концами стержня будут лежать два узла, и т. д.

с набором частиц, обладающих разными скоростями, массами и т. д., набором волн, обладающих разными длинами (частотами), и т. п.

Стержень, открытый с обоих концов. Если стержень подвесить на нитях, а затем возбудить в нем колебания, то возникшая стоячая волна должна удовлетворять условию: на обоих концах стержня су­ ществует пучность. Так же как и в предыдущем случае, между дли­ ной стержня и длинами волн возникает связь: L= n - j . Следова­ тельно, формула собственных частот будет той же самой.

Отличие от предыдущего случая заключается в распределении узлов и пучностей. В основном колебании центр стержня покоится (узел). Если возбуждена вторая гармоника, то в центре стержня будет пучность, далее через четверть длины волны — узлы и на краях — пучности.

Стержень, закрепленный в одном конце. В этом случае на одном конце должен быть узел, а на другом — пучность. При колебании с основной частотой стержень имеет форму, соответствующую од­ ной четверти периода синусоиды. Так как расстояние между узлом и пучностью равно Х/4, то связь между длинами волн и длиной стерж­ ня дается условием

L = n-j , где п = 1, 3, 5, . . .

Собственные частоты колебаний такого стержня выразятся фор­ мулой

(п= 1, 3, 5, . . . ) .

Если в первых двух случаях частоты относились друг к другу, как целые числа, то теперь отношение частот дается отношением нечет­ ных чисел.

Стержень, закрепленный в середине, будет в этом месте иметь узел, а на концах — пучности. Задача ничем не отличается от рас­ смотренной.

Граничные условия, которые использовались при рассмотрении колебательного состояния стержней, являются предельным случаем граничных условий отражения волн, изложенных на стр. 111. Как было выяснено ранее, при отражении от границы, отделяющей среду от среды с большим сопротивлением, происходит отражение волны смещения с потерей полволны. Если стержень закреплен, то волна вовсе не проникает во вторую среду. В этом случае можно говорить о бесконечно большом сопротивлении второй среды. Коэффициент отражения становится равным единице и отражение происходит с потерей полволны. Нетрудно видеть, что это соответствует наличию узла на границе двух сред. Отражение волны от незакрепленного конца стержня соответствует отражению от среды с нулевым сопро­ тивлением. Равенство коэффициента отражения единице и отсут­ ствие потери полволны приводят к необходимости существования пучности на такой границе.

Продольные собственные колебания могут быть также возбуж­ дены в столбах жидкости и столбах газа.

Поперечные собственные колебания легко возбудить в зажатой и натянутой струне. Распределение узлов и пучностей будет, разу­ меется, таким же, как и для закрепленного с обоих концов стержня. Набор частот выразится формулой, аналогичной приведенной для стержня, с тем лишь различием, что в выражении скорости попереч­ ной волны в струне надо заменить Е на натяжение струны, т. е. на частное от деления силы, натягивающей струну, на поперечное се­ чение струны.

§43. Собственные колебания двумерных

итрехмерных систем

Встержнях, струнах, воздушных столбах поверхности равной фазы представляют собой параллельные плоскости. Колебательное состояние можно представить себе как результат наложения пло­ ских волн, распространяющихся вдоль одной линии. Однако возможны и более сложные случаи, а именно такие, когда колеба­ тельным движением захвачена двумерная область (пластинка, мем­ брана) или тело, все три размера которого имеют одинаковый по­ рядок величины.

Сдвумерными задачами мы сталкиваемся, рассматривая колеба­ ния упругих и жестких диафрагм. Колебания разного типа возник­ нут, если в одном случае закрепить пластинку по краям, а в дру­ гом — укрепить ее в одной точке или даже не закреплять вовсе. Кроме колебаний жестких пластинок наблюдают колебания натя­ нутых нежестких пленок — резиновых, мыльных и пр.

Общие закономерности свободных колебаний в этом случае в принципе не отличаются от рассмотренных. Ввиду двумерности за­ дачи узлы и пучности должны характеризоваться теперь кривыми линиями. Например, круглая закрепленная по краям пластинка совершает основное колебание, имея единственную пучность в центре круга. Центральная точка колеблется с максимальной амплитудой, а далее амплитуда спадает к закрепленным краям* (к узловой окружности) с сохранением круговой симметрии. Так выглядит простейшее колебание основной (самой низкой) частоты. Мембрана может быть'возбуждена и в более высоких гармониках, тогда поверхность ее разбивается на участки узловыми линиями. Оказывается, что узловые линии у круглых пластинок могут иметь форму либо окружностей, либо диаметров, проходящих через центр.

Эффектным и простым опытом является демонстрация узловых линий способом Хладни (по имени ученого, предложившего этот способ). Пластинку посыпают песком, а затем ударом или смыч­ ком приводят в колебательное состояние. Песок скатывается с пуч­ ностей и собирается на узловых линиях. На рис. 65 показано не­ сколько примеров фигур Хладни.

Естественно, наиболее сложным является колебательное состоя­ ние сплошного трехмерного тела. Отказываясь от рассмотрения яв­ ления в теле сложной формы, мы ограничим себя изучением собст-

венных колебаний прямоугольного параллелепипеда. Если бы в таком теле существовали только стоячие волны, возникшие благо­ даря сложению волн, бегущих параллельно ребру параллелепипеда, то собственные частоты колебаний ограничивались бы значениями

лелепипеда.

Однако в теле могут распространяться волны, идущие под про­ извольным углом к границам. Стоячие волны образуются в том случае, если после ряда отражений луч придет.в ту же точку, из которой он вышел. Волновое число такого луча должно вычисляться из ku k2, k3 по правилу сложения векторов. Таким образом,

мулы, если положить отличным от нуля лишь одно из трех целых чисел, входящих в формулу.

Спектр колебания трехмерного тела изображается в трехмерном пространстве (рис. 66), которое можно назвать пространством частот,

С С С

или обратным пространством. Если величины 27"' 2Г ' 2Т о т к л а д ы " вать соответственно по трем осям, то возникнет решетка (обратная решетка), каждый узел которой представляет одну из собственных частот колебания тела за номерами п ь п2, п3. Радиус-вектор обрат­ ного пространства, проведенный в узел решетки, равняется