|
|
|
|
|
|
разно, как в действительности, |
но |
непрерывно |
согласно |
средней показательной |
функции |
Мх/а |
(рис. 8-7). Все |
то |
ки, находящиеся выше |
рассматриваемого элемента |
по |
верхности проводников |
в точке |
у (рис. 8-6), |
образуют |
силы, направленные вверх, а все токи, расположенные
ниже, образуют силы, действующие вниз. |
оси у |
Благодаря |
симметрии |
системы |
относительно |
силы по направлению оси |
х |
не существуют. В |
общем |
случае сила |
взаимодействия |
двух |
проводников с |
током |
на единицу длины упрощенно выражается (8-5): |
|
fi^Hoiiiz/2nd.
Следовательно, мгновенная сила взаимодействия на единицу поверхности проводников в пазу в точке (О, у) на оси у составляет согласно рис. 8-6:
|
|
h |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fу = |
j dY • 2 j" |
Mxlafdx |
|
cos a |
+ |
|
|
|
|
о |
0 |
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
dY2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- f - M j j |
j ^ M * / a J U v c o s a , |
|
|
|
|
—h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
HO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C0Sald=(Y-y)/[x~ |
|
|
|
+ |
|
(Y-yy}, |
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ly — ~^r~ |
^(Y-y)dY^ |
|
|
|
Mx'ad» |
|
|
|
|
|
|
x* + |
(Y-y) |
|
|
|
|
|
L n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
Mxladx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8-18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—h |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в |
(8-18) |
|
p |
= = |
|
|
|
|
|
|
|
Mxla |
= |
e-p*, |
где |
|
- l n ^ ± { ; |
(8-19) |
Y—y=±z |
и dY=±dz |
(знак |
плюс |
относится |
к |
Y>y, |
|
4 |
|
|
|
|
|
а знак минус к Y<y), первый из интегралов можно |
вы |
разить |
с помощью |
интегрального |
синуса |
и косинуса и |
тригонометрических функций [Л. 6-6]: |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
Mxladx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
erf |
|
|
|
= rh (ci pz sin pz — si pz cos pz), (8-26) |
|
= |
rt z J" *2 |
|
|
где z>0 . |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное |
решение |
согласно |
(8-18) следует интегри |
ровать |
повторно |
по dY |
(а |
скорее |
по |
±dz). |
Получим |
в |
этом |
случае |
два |
|
характерных |
интеграла, |
которые |
ре |
шим подстановкой |
|
по частям (Л. 6-6, 8-9]: |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jL^f(t)dt=-i{z), |
|
|
cos2pz = |
(l |
+cos2pz)/2 |
|
|
И |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 |
рг = |
(1 — cos2pz)/2, |
|
|
|
|
|
|
DZ sin ozdz |
|
- |
|
c i ^ C 0 S ^ |
4 - l £ l £ i |
4 |
- 1 |
f COS2Pz |
a |
z dz |
|
pzbmpzaz— |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8' |
|
а |
также |
|
— |
|
|
|
|
' |
2p |
^2p |
\ |
z |
|
-21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jsi pz cos pzdz= |
s |
i |
^ s i " ^ |
- |
! E l £ l + g |
L j"q£L<fc. (8-22) |
|
После подстановки (8-20) —(8-22) |
в |
(8-18) получаем |
мгновенную |
силу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f y = = J |
^ ' |
{ [ - c i |
pz cos pz + |
In |z] + s i pz sin p z ] | ^ ' |
+ |
|
+ Mi[ ~ c i Pz c o |
s |
vz - si pz sin pz + |
In |
I z |J| 1 ^ , } . |
(8-23) |
|
Так |
как |
обычно |
насыщение |
ярма является |
относи |
тельно небольшим |
|
f(irS>l |
в (8-17)], |
можно принять |
Mj~ |
~ |
1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fv = |
— - ^ r - [ci pz cos pz + |
si pz sin pz - |
In | z |]| J+* |
|
откуда мгновенная сила на единицу поверхности провод
ника |
в пазу |
|
|
|
|
|
^7=~^ТР~ |
cip(h-y)cosp(h~ |
|
у) + |
|
- f |
si р (А — у) sin р (/г — у) — ci р (А + |
г/) cos р (А + |
г/) — |
- si р (А + t/) sin р (А + |
t/) + In £ ± | ] |
= |
- vj2hkv, |
(8-24) |
причем |
коэффициент kv является |
функцией места, про |
порций |
паза и насыщения зубцов, вытекающей из (8-24) |
и рис. 8-10. |
|
|
|
Единичная |
сила на дне паза при г/ = 0 согласно (8-24) |
равна |
нулю / у = о = 0 . В наивысшем |
слое |
же при у—*4i |
|
|
cosp(h — у)-* |
1; |
|
|
sinp(A —z/) —р(А —г/)—0; cip(h |
— y)-+ |
|
|
->[0,577 + 1пр(А - г/)]; |
|
si p (A _ y) |
[ — \ + p (A - y) ] - » - |
[Л. 2-3]; |
следовательно, единичная сила в верхнем крайнем слое паза равна:
где (рис. 8-9)
k — -—• (0,577 - j - In 2рА — ci 2рА cos 2рА — si 2рА sin 2рА).
(8-25а)
Так как обычное соотношение размеров паза А/а око ло 3,5—4, а также при очень большом насыщении (око ло 3 Т) цг может достигать значения 5; наибольшее возможное значение аргумента 2рА может быть равно:
( 2 p A ) M B 6 = 2 A l n j ^ * 3 , 2 4 .
При очень малом насыщении ( ц = оо), 2рА имеет очень малое значение, и тогда ci 2рА cos 2рА = 0,577 -f- In2рА
и si 2рА sin 2рА ~ —~Y 2ph -f- 4р2А2, откуда единичная сила
в верхнем слое при ненасыщенной стали равна:
Для (8-24) и (8-25) функции типа ci х cos х + six sinx
показаны на |
рис. 8-8, построенном на основании |
таблиц |
из [Л. 2-3]. С использованием |
этого графика |
на |
основа |
нии (8-25а) |
был рассчитан |
коэффициент k, |
учитываю |
щий в (8-25) влияние насыщения и пропорций паза на величину наибольшей единичной силы притяжения про водников в верхнем слое паза (при у —К) —рис. 8-9.
Подобным образом на основании (8-24) на рис. 8-10 был построен график (сплошная линия) распределения сил притяжения вдоль высоты паза при различной про ницаемости стали и различных геометрических пропор
циях |
паза. Как видно, |
распределение сил имеет |
практи |
чески |
прямолинейный харак- |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
тер. Только при больших на- |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сыщениях |
оно несколько от |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
клоняется |
от |
прямой. |
Если, |
°'8 |
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
X |
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<•» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ -г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к' |
5 |
~з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
г |
|
з |
|
ь |
ч |
•» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8-8. График вспомогатель |
Рис. |
8-9. |
График |
коэффициентов |
ной |
функции. |
|
|
|
|
насыщения |
и геометрических |
про |
|
|
|
|
|
|
|
|
порций |
паза. |
|
|
|
|
|
|
однако, на |
основании |
графика |
принять |
значение |
силы |
при y — h, то пренебрежение |
кривизной |
линии |
даст |
неко |
торый небольшой |
запас |
при |
расчете |
напряжений. |
Так |
как все силы притяжения направлены ко дну паза, |
лег |
ко |
можно |
рассчитать |
результирующую |
силу |
давления, |
действующую |
в данной |
точке паза |
на |
высоте |
у |
от дна |
на |
единицу |
длины |
паза. |
|
Она |
составляет |
согласно |
рис. 8-П: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fy=(±±bL(h-y)a, |
|
|
но |
f„ = |
fb - f - = |
_ , v / ^ , |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fv=~ |
|
|
|
|
k (h2 |
- |
у"), |
|
|
|
|
(8-26) |
где k — коэффициент из |
(8-25а), показанный |
на рис. 8-9. |
|
Из рис. 8-9 видно, |
как |
сильно |
механические |
напря |
жения зависят от |
насыщения и |
геометрических |
разме- |
ров |
паза. |
В (8-26) |
J=Jmsina)i |
|
— мгновенное |
значение |
плотности |
тока. Таким |
образом, |
результирующая |
сила |
Fy |
изменяется |
с частотой 100 |
Гц и амплитудой |
|
|
|
|
|
у макс |
|
f |
|
J-mak{h*-f). |
|
(8-26а) |
|
Это значит, |
что |
эта |
сила |
имеет постоянную |
состав |
ляющую, |
направленную |
вниз, и |
переменную |
составляю |
|
|
|
|
|
|
щую. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В случае, когда в па |
|
|
|
|
|
|
зу |
находятся |
только |
два |
|
|
|
|
|
|
проводника, на |
верхний |
|
|
|
|
|
|
проводник |
действует |
сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
-ak^-h2—= |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
/2макс |
k, |
(8-266) |
о,г ofi о,б о,8 i,o 1,г
'/////////////////////////////и
Рис. 8-10. Распределение сил при |
Рис. 8-11. График сил притя |
тяжения вдоль высоты паза при |
жения и сил давления вдоль |
различной проницаемости и про |
высоты |
паза |
при однослойной |
порциях паза (сплошные линии) |
обмотке |
[Л. |
8-9]. |
и |
вспомогательные |
графики |
|
|
|
|
|
(пунктирные линии) [Л. 8-9]. |
|
|
|
|
|
а на |
дно паза |
|
|
|
|
|
|
|
|
-[2;i0 /2 |
kla. |
|
(8-26в) |
В случае ненасыщенной стали (ц—>-оо, |
k—Ч) полу |
чаем |
приближенные |
формулы, |
приведенные |
Кальвертом |
в [Л. 8-5]. Формулы Кальверта представляют, таким об разом, специальный случай для вышеприведенных фор мул [Л. 8-9].
3. |
Обмотка с укороченным |
шагом |
|
|
В |
этом случае |
исследуем |
такую |
систему |
проводников |
в |
пазу, когда |
в верхнем и нижнем |
слоях |
расположены |
проводники двух соседних фаз (рис. 8-12). Сила, дейст вующая на единицу поверхности нижнего слоя провод ников, в результате воздействия верхнего слоя, распо-
Рис. 8-12. Распределение поля изображенных токов на зоны, в которых протекают токи со седних фаз [Л. 8-2].
ложенного в границах от /г/2 до h и от —h до —/г/2, со гласно (8-23) составляет:
fyd |
—1 ° 1 1 1 |
'{[cipzcospz |
- j - sipzs'npz |
— ln ]z\ |
|
\ h-y I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
! |
|
- f ci pz cos pz -f- si pz sin pz — ln | z |
I ] _ |
2 |
" |
|
27) |
|
h |
! |
|
|
(8+- |
Подставляя |
пределы |
интегрирования и У, = |
/m sincof, |
а также / n |
= |
./msin(a>/ — 120°), |
получаем: |
|
|
|
|
|
f'yd = |
• |
f |
1 |
... , |
, |
V3 |
sin 2шг^ X |
|
|
|
~ |
sin2 ш/ — |
|
|
X |
[ c i Р Ф - |
У) cosp(h |
— y)-}-sip(fi |
— y) sin p(h |
— |
y)-\- |
|
-h In (h |
У) |
- |
ci p |
h |
cos p |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
- sip -7Г-У |
|
|
sin/? |
|
h |
+ |
ln |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-fci/? |
|
- и |
|
|
h_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
C O S / 7 |
т — y |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 / |
sin p |
A |
+ У |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
•In |
+ |
У |
ci ph А-у |
cos p{h-\- |
y)+ |
|
|
|
|
|
s\p(h |
+ |
y) sin p (A + y) + |
In (h + |
t/)|. |
(8-28) |
'Выражение |
в |
прямоугольных |
скобках (8-28) состоит |
из той же функции у, что и в (8-24), и подобной |
функ |
ции |
противоположного |
знака, |
содержащей |
h/2, |
абсо |
лютное значение |
которой |
показано |
на рис. 8-10 пунктир |
ной линией. Эти функции согласно |
рис. 8-10 |
имеют прак |
тически прямолинейный вид в пределах 0^y^h/2. |
От |
сюда |
следует, |
что график |
(8-28) |
в |
функции |
yjh в |
ниж |
ней половине паза имеет вид, близкий к прямой линии. Поэтому здесь будет достаточно определить только одно
значение |
функции |
(8-28), например |
для y — h[2. |
Если |
введем обозначение |
ph |
|
|
|
ph |
+ |
|
|
2 |
/ |
. /ph |
|
|
|
sin |
к |
2 |
к2рп |
[ C |
i T |
C O S |
|
|
|
~2 |
- f - c i ^ --cos-4r- |
SI |
3ph • |
3ph |
ln3 |
|
2 |
|
sin |
2 |
|
o l |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
° ' " |
|
|
|
то в прямоугольных |
скобках |
(8-28) появится функция |
\~k'2y\h\ |
|
|
|
|
|
|
|
+s4 |
|
|
|
Формулу (8-28) для нижней половины паза можно |
окончательно |
записать |
в виде |
|
V?> sin2wfv |
(8-29) |
f'vd = |
Po*J':2y{ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
i — J ' |
|
где k'—- функция, приведенная |
на рис. 8-9; k" выражена |
(8-30а) и показана |
на том же |
рисунке. |
|
|
|
На эту силу накладывается сила воздействия ниж |
него слоя на самого себя. Проводя |
расчеты |
так же, как |
в первом |
случае, |
получаем |
(8-24), |
в которую, однако, |
вместо h следует подставить |
/г/2. Вводя, кроме |
того, мак |
симальное значение плотности тока, получаем: |
|
где |
|
f"yd=-^fj"ysins^, |
|
|
|
|
|
|
(8-30) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• In p'i). |
|
(ci ph cos ph - j - |
si ph sin ph — 0,577 |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8-30a) |
Суммируя (8-29) и (8-30), получаем силу, действую щую на единицу поверхности нижнего слоя:
|
fyd= — \>-0fmkdy sin2 Ы — |
V'J^k'y |
sin 2urf, |
(8-31) |
где |
коэффициент kd = k"+'k' |
показан на |
рис. 8-9; |
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
« г » Ybk'l(2kd) |
+ |
лте/2, |
( я = 1 , 3, 5...) |
|
|
А,* «,с = - |
V.0J2nkd(\ + |
1,5*' 7 / г ) у . |
(8-3la) |
Если в нижнем слое находится только один провод ник, то действующая на него максимальная сила, на правленная ко дну паза, равна:
г, ,2 h h , I , , , г k' 2 \ fJ-d ''макс ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8-32) |
В |
случае насыщенной |
стали |
(ц—*-со, k'—>0 |
и kd—>- |
— И ) |
формула |
(8-32) |
приобретает |
вид |
аналогичной |
формулы из [Л. 8-5]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
в нижнем |
слое |
паза |
действуют по |
стоянная |
составляющая |
силы, |
направленная |
в глубь |
паза, и переменная |
составляющая |
с частотой |
100 Гц. Из |
сравнения |
(8-26в) |
и (8-32) |
видно, что сила, |
действую |
щая |
на нижний |
проводник, |
будет |
в двухслойной |
обмот |
ке (в пазах, содержащих проводники соседних фаз) при
слабом |
насыщении в 4 раза и при сильном |
примерно |
в 2,5 раза меньше, чем при однослойной |
обмотке. |
Переходя к определению сил, действующих в верх |
нем слое под |
влиянием |
нижнего |
слоя |
(для |
\y\>h/2), |
следует |
(8-27) |
проинтегрировать в пределах от —/г/2 до |
+ Л/2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
f v 8 = |
I C 1 Р* C 0 S PZ |
+ |
|
|
+ |
si pz sin pz — In j z |
I |
|
(8-33) |
После подстановки пределов получим в квадратных скобках упомянутую уже функцию, которая показана пунктирной линией на рис. 8-10. В точке y = h/2 она по лучает значение nphk"/2. Для упрощения положим, что
в области h/2^y^h на рис. S-10 она проходит горизон тально. Получим тогда с некоторым запасом:
ГУМ « - |
\ ( - 4"s i n 2 m t ~ Ч-81П Ы ) • <8"34) |
На эту силу накладывается сила воздействия верх него слоя на самого себя. Здесь также используем фор мулу (8-23); подставляя, однако, пределы от —h до h/2 и от +hj2 до +h, получаем:
f'yg = — |
{ [ ci pz cos pz + si pz sin pz |
- f |
+ 1 п | 2 | ] [ _ Л _ ^ j 1 |
-f- cipzcos pz |
-4- si pz sin |
pz-\- |
+ |
l n | z | ] ] * - * 1 |
\. |
(8-34a) |
|
l T 4 I |
|
Выражение в фигурных скобках идентично с анало гичным выражением в (8-27), но на этот раз оно отно сится к области у>п/2. Вводя упрощение, принятое при выводе (8-34), получаем:
f'yg = - Р . / (ky |
- |
k" |
4) |
sin2 |
Ы. |
|
(8-35) |
После суммирования |
(8-34) и |
(8-35) |
получим |
силу, |
действующую |
на |
единицу |
поверхности |
верхнего |
слоя: |
fvg |
= |
V-Jl |
(4 |
k " h |
— k y ) s i n 2 |
** |
+ |
|
|
|
- j -—- ~? a J 2 |
m k"ysm2mt . |
|
|
(8-36) |
Интегрируя уравнение (8-36) на поверхности |
верхне |
го слоя, получаем силу, действующую на клин: |
|
|
^=4^ |
|
^~(k" |
|
~k)sm^t-\~ |
|
|
|
+^-V-a~~ |
|
|
к"ш2Ы. |
|
|
|
(8-37) |
Максимум |
этой |
силы |
|
получается |
при |
tg2<or = |
— - k"l[V3(k" |
- |
Щ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что k" было вначале принято с некоторым запасом, можно в первом приближении допустить, что
оно близко к значению |
k; в этом случае 2wt~—л/2 |
+ пп |
(п=\, |
3, 5 . . . ) , |
откуда |
наибольшая сила, действующая |
на клин, составит: |
|
|
|
Fg |
„ а к е « |
Ь |
(1,58k" |
(8-37а) |
Если предположить, что сталь не насыщена |
(ц—^оо), |
то k" = k= \ и (8-37) приобретает вид: |
|
|
|
|
|
/ r g = = J ^ ^ i . |
|
( 8 . 3 7 б ) |
Из |
анализа |
(8-36) вытекает, что в некоторых |
случа |
ях могут иметься небольшие силы, стремящиеся |
расще |
пить проводники |
верхнего слоя. |
|
|
По оценке |
Кальверта [Л. 8-5] насыщение в некоторых |
случаях уменьшает силы в пазу в 1,5—1,7 раза. |
|
Приведенные |
выше |
формулы и графики |
позволяют |
однозначно учесть влияние насыщения на силы в пазу
[Л. 8-9]. Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
силы |
в |
значительной ме |
|
|
|
|
|
ре зависят |
|
от соотноше |
|
|
|
|
|
ния размеров паза h/a, а |
|
|
|
|
|
также |
от |
степени |
насы |
|
|
|
|
|
щения зубцов (рис. 8-9). |
|
|
|
|
|
Силы, действующие на |
|
|
|
|
|
дно паза и на клин, в па |
|
|
|
|
|
зах, |
содержащих |
|
провод |
|
|
|
|
|
ники |
различных |
|
фаз |
(в |
|
|
|
|
|
укороченной |
двухслойной |
|
|
|
|
|
обмотке), |
могут |
|
быть |
в |
|
|
|
|
|
зависимости |
от |
насыще |
Рис. |
8-13. Графики поперечной |
ния в 4—2,5 раза |
|
меньше |
|
индукции в пазу при коротком за |
сил, |
действующих |
на дно |
мыкании. |
|
|
|
паза |
в |
однослойной об |
|
• бе з |
учета |
насыщения; |
мотке. |
С |
точки |
|
зрения |
|
с учетом |
насыщения . |
|
|
|
|
|
|
сил, действующих в пазовой |
части обмоток, |
целесообраз |
но иметь узкие и глубокие пазы. |
|
|
|
|
П р и м е р |
|
1. Следует |
определить |
влияние |
поперечного насы |
щения |
зубцов на силы при коротком |
замыкании в пазовой части |
двухслойной |
неукороченной обмотки статора генератора |
12 MB-А; |
6,3 кВ (звезда); coscp=0,7; f=50 |
Гц; «= 3 000 об/мин. Пазы полуза- |
27* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
419 |
