Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Туровский Я. Техническая электродинамика

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4936 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

чивающий ток. По этой кривой можно оценивать и срав

нивать	различные	аппроксимирующие			формулы
(табл. 7-2).
Этими	формулами	можно	пользоваться		также при
аппроксимации характеристик			намагничивания			стали
б = / ( # ) ,	заменяя соответственно			J5 и / на В	и Н,	а так
же подбирая новые постоянные			а	и Ь.

Согласно ;[Л. 7-5] наиболее точное приближение кри вой намагничивания, а также ее производной дает фор

мула 9 из табл. 7-2:
	E=aarcigbi,			(7-3)
а наименьшее среднее		отклонение	\ZAE\jn	дают для
кривой намагничивания		формулы 7, 8, 12 и 6		(табл. 7-2),
и для	ее производной — формулы 11, 8 и 10.
В	табл. 7-2 функция,	определенная формулой 10:
		х
	erf (х) = Ф (х) = - L Г е~р		dt,	(7-4)
		У л J
		о

называемая интегралом вероятности, функцией Крампа, интегралом распределения ошибки Гаусса или интегра лом вероятности ошибок, несмотря на кажущуюся слож ность, является удобной для расчетов, так как имеются [Л. 2-3] таблицы как самой функции, так и ее производ

ных. Формулы		11 и	1Г	являются		функциями		Лапласа.
Кривые	по	формулам			1, 2, 3,	3', 4,	4', 5	и 5' дают
dE/df УОО	при	i—К)	и	не	могут	быть,	следовательно,

применимы при слабых насыщениях. Кривые по форму
лам—6, 7 и 12 хотя и не имеют точки перегиба									производ
ной	dE/dI		= f(I),	как кривые по формулам				8—11		и нор
мальная			кривая,	но dE/dI=^=oo при 1 = 0.				х
Петлю гистерезиса можно аппроксимировать форму
лами		[Л. 1-2]:
			B = Bserl		Я ± Я	'	; B = B.th Я ^ Я	°	,	(7-5)
где	Bs	— индукция			насыщения, Я с — коэрцитивная					сила,
знак		минус относится к					возрастающей, а	знак плюс —
к падающей ветви петли гистерезиса.
Иногда удобно пользоваться обратными функциями
[Л. 7-8,			7-16)
					tf	=	ashpB;			(7-6а)
					1 =	Е + еаЕ-ь,				(7-66)

350

Т а б л и ц а 7-2

Сравнение аппроксимационных формул характеристик намаг ничивания с „нормальной" характеристикой

Номер				Постоянные			i,
Номер	Уравнение						i,
форму	Уравнение			а	Ь	%	отн. един .
лы				а	Ь	%
1	Е =	а\/7		0,914	2,14	13,7	3,5
2	E =	aVT		0,884	—	16,0	3,5
3	Е = а			0,99	—	20,6	0,5
3'					—	21,4	0,5
4	E^aVT—		Ы	0,985	—	10,3	3,5
4	E^aVT—		Ы	—	0,068	10,3	3,5
4'	Е == VT— Ы				0,0787	9,7	1,5
5	Е = а VT+ b			0,82	0,088	12,1	3,5
5	Е = а VT+ b			—	0,088	12,1	3,5
5'	Е = а VT+ b			0,855	0,04	14,0	3,5
6	Е = /Да + Ы)			0,59	0,475	5,8	1,0 и 3,5
7	£ = а(1—<?')			1,58		3,4	1,0
8	E =	aVabl		1,47	0,8	5,5	2,0
					—	5,5
9	Е = a arctg Ы			1,12	1,2	2,6	1,0
9'	Е = а arctg Ы			1,1	1,1	4,0	1,0
		Ы
10	Е = -Дг Г е~п dt			1,44	0,7	7,4	2,0
	м	J
		0
		ы
11				2,96	0,9	6,6	0,5
		0
		/я
11'				2,893	1,0	7,1	2,0
		0
12	£ - i	+	V	1,21		10,7	0,5
4 ^ м а к 0	—наиболь-лее отклонение				от .нормальной"		характеристи
	—наиболь-лее отклонение			расчетной кривой —			характеристи
ки; / — ток в относительных			единицах при наибольшем отклонении.

351

где для	нормальной	характеристики	намагничивания
в (7-66)	постоянные	а=5,\2 и & = 6,73	[Л. 7-8].
Показательная функция

В = е Н П а + Ь Н ) — 1

дает в некоторых расчетах слишком сложные уравнения. Удобную параболическую аппроксимацию отрезков кривых намагничивания предложил Л. Р. Нейман

[Л. 1-26]:

			В = Ш^п,		В	(7-7)
где показатель корня для разных				значений		(превы
шающих приведенные ниже) составляет:
				п		В, Г
	Для сильных полей
чугун литой				4,0	0,60
чугун отожженный				4,5	0,60
твердая сталь				7,5	1,15
мягкая сталь				9.5	1,30
трансформаторная сталь				10,0	1,20
электролитическое железо				14,0	1,30
пермаллой				20,0	0,70
	Для слабых полей
чугун литой		железо		0>б0		0,35
электролитическое				0,45	0,55
трансформаторная сталь				0,55	0,90
мягкая сталь				0,55	0,60
пермаллой				0>32	0,35
Характеристики холостого хода электрических машин
обсуждаются	в [Л. 7-6,		7-7] и др.
А п п р о к с и м а ц и я			п е р е с ч и т а н н ы х			х а р а к
т е р и с т и к .	При	технических инженерных				расчетах

вместо использования аппроксимации типичной харак теристики намагничивания значительно выгоднее иногда аппроксимировать сразу какой-то другой ее вид, полу ченный путем пересчета к форме, отвечающей виду ко нечных упрощенных формул.

Так, в формулах для потерь мощности от тангенци ального поля (3-10), (4-50) и т. д. фигурирует величина

V \хНг. Для конструкционной	стали	в пределах	напря-
женностей поля 0—180 -102 А/м ее		можно аппроксими
ровать функцией
V^rH^cfl	+ cJi*,		(7-8)
облегчающей интегрирование	потерь.

352

			Л
100	OU щ <^p' 4. 6UUUU	Щ	I
100	zoo	300	500

Рис. 7-2. Аппроксимация пересчитанной кривой намаг ничивания конструкционной стали [Л. 1-28].

7 — кривая,	соответствующая проницаемости, определенной				дл я Н =
= ^ м а к с ; 2 —кривая, соответствующая проницаемости,				определенной
для # = # д е й о г в ;		3 —аппроксимирующая	кривая; l/]/"jT	=	А, +
+	А2У^ГН;	A = 1 4 ^ - A _ y / 2	; л - о л з , 1/Т.

23—346	353

Составляя согласно ;[Л. 7-5] на основании соответст венно пересчитанной действительной кривой намагничи вания (рис. 7-1) систему двух уравнений типа

	Г ^ Я ^ ^ Ш + ^ Ш 2 ,
в работе	[Л. 7-18]	были	найденные постоянные		CI =
= 310102	А/м и с 2 =7,9 .
Аппроксимация		функцией типа
		Н =	с(УъН)п,
где с = 2,4-10~4 , \| A i / A и			п—1,5,	показана на	рис.

10-5.

В формулах для потерь мощности от нормального поля (§ 7-4) фигурирует зависимость 1/]/^, которую как величину трудную для оценки выгоднее всего исключить

с помощью функции 1/l/fA = f (УрН). Как можно видеть из графика, показанного на рис. 7-2, действительная кривая намагничивания, пересчитанная к этому виду, позволяет аппроксимировать ее прямой линией


	1 / у 7 = А + 4 1 ^ .		(7-9)
причем	для конструкционной стали Л 1 = 14 (А/м • Т ) 1 Л 4 2 =
= 0,13	1/Т. На рис. 7-2 показаны расчетные графики, со
ответствующие кривым		рис. 7-3, причем	кривая 2 являет
ся характеристикой		проницаемости,	соответствующей

действующему значению напряженности магнитного по ля Н, а кривая / соответствует максимальному значению

/О'Ам3 W 30 %

го г

10	/
	3=3

Рис. 7-3. Кривая проницаемости конструкционной ста ли (/) и найденная на ее основании кривая (2) для действующих значений напряженности магнитного поля [Л. 1-28].

354

модуля	Нт. Это	значит, что	абсциссы	каждой		точки
кривой	будучи	умноженными	на ] / 2 ,	дают	кривую 2
(рис. 7-3). Кривые на рис. 7-2			были определены			для
проницаемостей		замещения	ц3ам=м-«,	2us	и	2,1 j . i s
(§ 7-2).
			7-2. МЕТОДЫ УЧЕТА
		ПЕРЕМЕННОЙ МАГНИТНОЙ		ПРОНИЦАЕМОСТИ

На распределение электромагнитного поля и на потери активной и реактивной мощностей в ферромагнитных телах значительное влияние оказывает непостоянство магнитной проницаемости внутри металла. Литературу

по

этому

вопросу

можно

считать

одной из

наиболее

.рн^тЦ

старых

наиболее

богатых,

в,т

iff

но, несмотря на это, этот

вопрос

все

еще

продол

2,0

жает

оставаться

открытым.

Полное

решение

приводит

1,В

сложным дифференциаль

B<H)

ным

уравнениям,

решение

1,2

которых

стало

возможным

помощью

применения

0,8

ЭЦВМ

[Л. 7-21].

Однако ввиду

сложности

OA,1

расчетов

большое

практиче

ское значение все еще имеют

OH,'/rpum

самые

простые

приближен

ные

методы,

рассматриваю

Рис. 7-4. Магнитные харак

щие

нелинейность

как

вид

поправки

линейной

тео

теристики

стального образ

на

(0Д8С;

0,52Mn;

0,22Si;

рии.

Обсуждение

сравне

0.027Р;

0.032S;

Y2o°C =5,44х

ние

наиболее

известных

из

X10S 1/Ом-м).

этих

методов: Е. Розенберга

— характеристика

нелинейной

(1923

г.),

Л.

Неймана

проницаемости; 2 — основная ха

рактеристика (по амплитудам ) на

(1949

г.)

метода

прямо

магничивания

В(П)

[Л.

7-23).

угольных волн можно найти в [Л. 7-11, 7-12]. Ниже будут рассмотрены наиболее важные из известных мето дов применительно к одномерному полю (плоская поля ризованная волна).

1. Цифровой машинный метод

Из основных уравнений Максвелла

rotH = v E и rotE = — дЪ/dt

23*

355

и кривой намагничивания	B = f(H), определенной	экспе
риментально для данного	материала (рис. 7-4),	второе

уравнение Максвелла можно записать для нелинейной

проницаемости	(1-24)
	rotE =—\in dH/dt,
где
	дВ	,и\ \	(Н)	и
Для плоской поляризованной электромагнитной вол
ны на основании (2-1)		и (1-24)	можно	получить:
&Н(г, t)/dzz=iinydH{z,			t)/dt,		(7-10)
где нелинейная	проницаемость		\iAH(z,	t)]	выражается
(1-25), z — расстояние		от поверхности массивного сталь
ного полупространства		в направлении		распространения
волны (рис. 2-7).
Уравнение (7-10) Закжевский [Л. 7-23]					решил с по

мощью ЭЦВМ, пользуясь цифровым методом сеток. Экспериментальная кривая намагничивания B = f(H) была введена в виде таблицы прямо на ленту машины,

причем ЭЦВМ автоматически рассчитывала				необходи
мое значение	нелинейной	проницаемости для		каждого
мгновенного	значения напряженности		магнитного поля
на глубине z.
Благодаря	этому было	определено	пространственно-

временное распределение напряженности магнитного по ля внутри металла при любой заданной форме кривой напряженности магнитного поля возбуждения на по верхности тела.

На основе этого распределения были рассчитаны остальные параметры электромагнитного поля, а имен

но: B(z,	t),	E(z,	t), Ф(г,	i), а также	единичные потери
мощности,		выраженные с		помощью	вектора	Пойнтинга
Sp на поверхности тела.				высокой точностью		описания
Этот	метод		отличается

физического процесса проникновения волны в сталь, хо тя в математическом отношении численное решение уравнения является приближенным. Проведенный ана лиз позволяет заключить, что учет непостоянства про

ницаемости	стали вызывает:	а)	более быстрое затухание
напряженности магнитного		поля, чем		в случае	(i, = u,s =
= const, при	сильных полях	и	более	медленное	затуха-

356

ние	при	слабых	полях; б) глубина проникновения вол
ны	б	меньше	классической глубины	проникновения
при	сильных		полях и больше при	слабых полях;

в) уменьшение проницаемости по мере проникновения

волны в глубь металла при					очень	слабых		полях		(ниже
Якрит		см. рис.	7-4),	а так			нmS=40оол/ы,
же	в—	начале	увеличение,		Иг		нmS=40оол/ы,		B	=/,etr
а после		этого — уменьшение			Р"		т1		mj
а после		этого — уменьшение			Р"		E =0,785B/»,		_f/rs=3Z6
проницаемости			при	сильных	s
полях (рис. 7-5); г)				искаже
ние	формы кривых			величин	5	1,0
							Вт(г)
						0,8
						0,6	\ \
						0,4
						0,2
						у	1	г		з мм
								б)

Рис. 7-5. Значение амплитуд электромагнитного поля и проницае

мости

внутри

массивной стали

функции

расстояния

от

поверх

ности.

а — при

крутой

кривой намагничивания;

б — рассчитанные

на

Э Ц В М

д л я

кон

струкционной стали по данным рис.

7-4

(в

относительных

е д и н и ц а х

по

отно

шению

к значениям

на поверхности

Е т в ,

Hms,

B m s , й г

8 ) ;

р н

( г ) — нелиней

ная проницаемость;

р Л г ) — н о р м а л ь н а я

проницаемость [Л. 7-23].

электромагнитного поля в

глубине

металла

результа

те нелинейности среды; д)

при круто возрастающей

кри

вой намагничивания индукция мало изменяется по глу

бине	при сильных полях и затем резко		уменьшается
в зоне слабых полей, начиная с		некоторой	глубины а
(рис.	7-5,а); е) потери мощности	от вихревых токов,

рассчитанные на ЭЦВМ с учетом нелинейной проницае

мости, при синусоидальной		напряженности			поля	Hs на
поверхности,	начиная с # m s = 30		- l0 2	А/м,	получаются
примерно на	40% больше	(рис. 7	-6,а),	чем	при	расчете
по (3-10а), т.	е.

357

где	[is — нормальная проницаемость,			соответствующая
максимальному		значению поля	на	поверхности	Hms;
ж)	для заданной	напряженности	магнитного поля		на

поверхности значение магнитного потока в стали, рас считанное с учетом нелинейной проницаемости, полу чается при сильных полях примерно на 40% больше

Рис. 7-6.		Потери мощности AP=f(H0m),					максимальный поток Фот —
=f(Hom)		и напряженность магнитного поля H0m=f							(Ф0т)	н а поверх
ности массивного стального полупространства при синусоидальном
поле	Н0	на поверхности [Л. 7-23].
•	*- результаты		расчетов	на	Э Ц В М	д л я	50 Гц	и	данных	на рис. 7-4;
•		результаты	расчетов	но	(З-Юа),	д л я	Яр = 1 и	постоянной		проницаемо

сти Ц ( Я 0 т ) ; — • — • — • потери, измеренные в о б р а з ц е .

(рис. 7-6,6), чем рассчитанное при постоянной проницае мости по (3-106):

Ф т , = Яр ] / > / Н ) # m s (Op ^ 1,4).

Описанный метод позволяет учесть также явление магнитного гистерезиса, но при сильных полях гистере зис играет второстепенную роль в массивных стальных телах.

358

2. Метод Неймана

Метод Неймана [Л. 1-26], несмотря на ограниченную точность, в особенности в области полей, соответствую щих максимальной проницаемости, имеет большие пре имущества перед другими приближенными методами благодаря своей наглядности, последовательности физи ческого толкования и достаточной для инженерных рас

четов точности в области				сильных полей на поверхности
исследуемых		тел.
В методе пренебрегается нелинейностью зависимости
B=f(H)	для	мгновенных		значений,	вызывающей			иска
жение	формы кривых		B(t)	и H(t)	(рис. 7-6).		Однако
учитывается		нелинейная		зависимость		амплитуд		Вт~
— f(Hm),	выраженная		основной кривой			намагничивания.
Так как искажение формы кривых B(t)						и Н(t)	во мно
гих случаях		является	второстепенным			фактором,		нели
нейная	связь	между	мгновенными		значениями			устра

няется приближенно в уравнениях введением комплекс

ной	магнитной	проницаемости	(1-26) и	(1-28):
	ц = В/Я = [хе-/ ф и sint = } x P I			J ( ^ f ) .
Связь между		амплитудами	учитывается аппроксима
цией	(7-7):
		Вт = КН"п,		(7-11)

дающей удовлетворительное приближение только при сильных полях.

Функциональную зависимость |л = <р(г) можно пре дугадать и так подобрать ее характер, чтобы после вве дения ее в систему уравнений плоской волны

—dHm\dz	=	^Em	и dEm[dz=		— }<щНт
полученное решение		в виде		Hm — Hm{z)		вместе	с [i =
— f(z) давало требуемую			нелинейную		зависимость		(7-11).
Искомая функция ц(г), удовлетворяющая этим'тре-
бованиям, имеет	вид:
	* > ) =		1 Г	^ г '			(7-12)

359

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 4936 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ