А^Ох3 „ 3 |
( V " , A3 j |
5АгА* |
„ 3 |
а . = — ^ — Я |
W cos — »-4- 1 |
cff/= |
Я . |
После подстановки этих значений в (7-53) находим полную мощность, потребляемую массивной стальной по верхностью (рис. 7-12,6) в пределах одного периода на единицу длины вдоль оси X:
К = (1.4 - А 8 5 ) - ^ - с о П ^ Я ^ Х
В. Стальная |
поверхность |
распространяется |
беско |
нечно в направлении оси у, |
распределение поля |
по |
вторяется периодически, |
а |
поток, |
проникающий |
в |
сталь, расходится в |
обе |
стороны |
симметрично |
(рис. |
7-12,0). |
|
|
|
|
|
|
|
Постоянную |
Со в |
(7-51 а) можно |
определить, прирав |
нивая поток, проникающий в сталь на протяжении чет
верти |
периода т/2, потоку в стали |
в |
точке г/ = 0: |
# т 2 „ |
[ — ^cos - ^ z / p o / 2 = - ^ m Z o |
+ |
C0 , откуда С0 = 0. |
Поступая в дальнейшем так, же, как в случае А, за метим, что потребление полной мощности стальной по верхностью (рис. 7-12,в) на один пространственный пе риод 2т и единицу длины вдоль оси X выражается той же формулой для Psi, что и в случае А.
Таким образом оказывается, что при теоретических расчетах можно действительную систему (рис. 7-12,а)
|
|
|
|
|
заменить теоретической |
системой |
(рис. 7-12,в) подобно |
тому, как это было сделано |
Марквардтом [Л. 6-2]. |
Г. Система, аналогичная |
той, |
какая |
показана на |
рис. 7-12,в, с той лишь |
разницей, |
что волна |
нормальной |
составляющей напряженности магнитного поля на по верхности стали Я т 2 о бежит по направлению оси У с равномерной скоростью ©т/л.
380
Мгновенное |
значение напряженности |
магнитного поля |
в любой точке |
на |
оси |
Y в случае бегущего поля равно: |
H2ot |
(У, |
°) = |
Я т г о cos (ait — |
~У |
Мгновенное значение напряженности поля, неподвиж ного в пространстве, но осциллирующего во времени, равно:
Нго( (у, 0) = Hmzo cos ш/ sin ~ у.
Соотношение средних потерь активной мощности за один период времени Т = 2п/ы и один пространственный период 2т выражается формулой (6-64):
|
|
|
H / 2 |
c ,o s 2 |
(<bt — -~y) |
dtdy |
|
|
T |
1 2 x J |
mzo |
- |
|
|
mzO |
1 - - |
|
1 |
|
|
Л>РГ |
|
оГ |
о2x |
|
|
|
|
|
= |
2, |
|
l |
p |
1 с |
,2 |
2 |
|
2 |
л |
ydtdy |
|
|
т |
) |
2х) |
Hm7Sl |
cos Ы sin |
|
— |
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
где Рбег потери |
при бегущем |
поле |
и Росц—при |
осцил |
лирующем поле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулу— |
для случая А можно, следовательно, |
приме |
нять также для расчета линейных индукционных двига телей, приводящих в движение массивное стальное тело (например, шину), умножая мощность на 2. Такое же применение может иметь приведенная теория для расче та индукционных двигателей с массизным стальным ро тором.
3. |
Расчет потерь |
в |
стальной |
|
плите, |
расположенной |
в |
поле |
параллельных |
|
шин, с помощью |
|
ЭЦВМ |
|
Рассмотрим |
теперь |
|
несколько |
более |
сложный |
случай |
(рис. 7-13), в котором коэффициенты ai |
и а% для |
(7-53) |
приходится рассчитывать с помощью ЭЦВМ. |
|
|
Первая |
задача — нахождение |
распределения |
поля |
Hmzo(y) |
на |
поверхности |
стали — была |
решена в |
гл. 5 |
в виде уравнения (5-9а): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
HmZQ{y, |
0) = |
7j |
V-^x |
|
|
|
|
X |
c\+(y |
+ |
h/2Y |
|
4+(y |
+ |
h/2)* |
|
|
|
1П 4+(y~ |
|
h/2Y |
1 П |
\ \ |
+ (y - |
h/2y |
|
где |
т)= (l+Af(,)/2<; 1— коэффициент |
(5-26), |
учитываю |
щий |
неидеальное |
зеркальное |
изображение |
переменного |
тока в массивной стали (рис. 5-19) |
в |
результате конеч |
ной проницаемости стали |
и реакции вихревых токов. |
|
|
|
|
|
|
Вторую |
задачу — нахожде |
|
|
|
|
|
|
ние поля |
|
и |
потерь |
в |
стали — |
|
|
|
|
|
|
решаем исходя из формул, по |
|
|
|
|
|
|
лученных |
в § 7-4, п. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
бесконечной |
стальной |
|
|
|
|
|
|
плиты |
|
распределение |
поля |
|
|
|
|
|
|
(5-9а) напоминает сначала ис |
|
|
|
|
|
|
каженную |
|
синусоиду |
(рис. |
|
|
|
|
|
|
5-18). Однако оно не имеет вто |
|
|
|
|
|
|
рого узла на оси Y и только |
|
|
|
|
|
|
приближается |
к ней |
асимпто |
|
|
|
|
|
|
тически |
(кривая |
2, |
рис. |
5-18). |
|
|
|
|
|
|
Потери |
мощности |
в |
стальной |
|
|
|
|
|
|
плите |
следует, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
рассчитывать |
с |
|
|
помощью |
|
|
|
|
|
|
(7-53), но интегрируя не в пре |
|
|
|
|
|
|
делах |
±772, а от |
|
сю до +оо . |
|
|
|
|
|
|
После |
подстановки |
(5-9а) |
Рис. 7-13. Массивная |
сталь |
|
|
|
— |
|
|
в (7-51) |
|
и |
применяя |
правило |
ная |
стена |
в поле |
парал |
Лопиталя, |
|
заметим |
|
[Л. 2-19], |
лельных |
шин |
с |
током |
что |
при |
|
у—УОО |
|
первый |
член |
[Л. |
7-22]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правой части (7-51) |
|
стремится |
к нулю. Так как |
одновременно |
при |
у—*оо |
|
напряжен |
ность электрического поля Етх |
|
(7-49) |
должна |
стремить |
ся к нулю, то Fv—>-0 и, следовательно, Со=0. |
|
получим: |
|
После |
ряда |
преобразований |
[Л. |
1-28, |
2-19] |
|
|
|
|
|
Fv=n |
yTlFjtoth, |
|
|
|
|
|
|
} |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
F = cl\f(Z-h/ci)-/(С)]; |
|
|
|
|
|
|
|
[(7-54) |
Ш |
= |
1 П |
|
|
+2arctg С - |
2 ^ |
|
arctg -g-C ; |
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
C = J L t ^ l . |
|
|
|
|
(7-55) |
Учитывая замену переменных (7-55), получаем после преобразований [Л. 2-19] общие потери полной мощности
на единицу длины вдоль оси X в виде |
|
|
Р „ = |
(1,4 - / 0,85) |
hfl'X |
|
|
|
|
|
(7-56) |
где |
|
|
|
|
* « = < * b 1 K ' - i H ^ |
( 7 "5 6 а ) |
|
ft/2с, |
|
|
|
* - =w - 1 K ' - i ) - ^ ] ' * - |
( 7 -5 6 б ) |
|
ft/2d |
|
|
Коэффициенты |
&i и ^ 2 |
ввиду сложности их подынтег |
ральных функций |
были |
рассчитаны |
с помощью |
ЭЦВМ |
с применением квадратичной формулы Гаусса методом численного интегрирования.
На рис. 7-14 и 7-15 показаны рассчитанные таким путем графики k i и /г2 в зависимости от геометрических соот ношений исследуемых шин (рис. 7-13).
Рис. 7-14. Коэффициенты kx и k2 соотношений геометрических параллельных шин, расположенных вблизи стальной поверхности на рис, 7-13 [Д. 7-22].
V/
w |
|
V |
|
V |
ю |
/ i |
8 |
•/// |
Xv |
S |
3- |
\
z Рис. 7-15. Коэффициент соотношении геометрических размеров па раллельных шин, расположенных вблизи стальной поверхности па рис. 7-13 [Л. 7-21].
Подставляя |
в |
(7-56) |
числовые |
значения |
постоянных |
Л 1 = 1 4 ( А / м - Т р |
и |
Л 2 = 0 , 1 3 1/Т, и 0 = 0 , 4 я - 1 0 - 6 |
Г/м, а |
так |
же коэффициент |
«помутнения» |
зеркальных |
изображений |
т] = 0,8 (§ |
5-2), |
получаем |
окончательно (для |
сильных по |
лей) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потери |
активной мощности |
в |
массивной |
стальной |
стене |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1,12- |
\0-llhfy'filu{kl |
|
+ 5 , 3 - 10-8 А2 |
V T Y / ) ; |
(7-57) |
потребление |
реактивной мощности |
|
|
|
Q, = |
0,7-10 - "Af Vft |
{К + |
5,3 • 10-»^ VTt |
I)- |
(7-58) |
Все величины в этих формулах выражены в системе единиц СИ.
Формула (7-57) может быть использована для оценки потерь мощности оз баке трансформатора {Л. 1-28). В этом
случае |
вместо тока |
/ следует подставить н. с. обмот |
ки Iw. |
|
|
В |
то же время |
(7-58) можно использовать для рас |
чета добавочного индуктивного сопротивления шин, рас положенных вблизи стальных масс в виде плоской по верхности. Сопротивление это в омах на метр состав ляет:
Xri = Q/P = 0,7• Ю - » А / V T Y (А, + 5,3• 10"% Vfl П (7-59; и, как можно видеть, зависит от тока.
Опыт показывает (§ 7-3), что в действительности по ток растет несколько медленнее, чем это следует из (7-59). Это вызвано, по-видимому, тем, что коэффициент г] не постоянен, а уменьшается с увеличением тока / от 0,8 до 0,6. Несмотря на это (7-57), дает при не очень сильных полях вполне удовлетворительные результаты. Так, на рис. 7-16 и 7-17 показаны результаты экспери ментальной проверки (7-57) на модели (рис. 10-2).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
Pi |
|
Ц18А) |
|
П р и м е р. |
|
Модель |
|
бесконечно |
|
|
|
|
14 |
|
длинных |
шин, составленных |
«з |
144 |
|
го |
|
|
|
параллельных |
проводов |
(рис. 5-19 |
и |
|
|
|
// |
|
Ю-2), |
имеет |
данные: h — 9,9 см; с2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8,3; |
ci=l,8 см; |
y = 7-W |
См/м; f = |
|
|
|
|
|
|
=50 |
Гц; /ву = 49 • 144 = 7 050 А. Сле |
|
|
|
|
•3(10А) |
дует |
найти |
потери |
активной |
мощно |
|
|
|
|
сти в стальной плите, расположенной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
параллельно шинам |
(ряс. 7-13). |
|
|
|
о |
|
|
|
|
Решение. |
Для c2 |
/ci = 8,3/l,8 = 4,6 и |
|
50 |
|
100 |
Гц |
|
|
|
'i/ci = 9,9/l,8=5,5 |
из |
рис. |
7-15 имеем |
|
Рис. 7-17. Эксперименталь |
ki = 2,A |
и £2 |
= 4,4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Потери |
активной мощности |
на |
|
ная |
проверка |
(7-57) потерь |
|
единицу |
длины, |
|
расчитанные |
по |
|
в стальной плите в зависи |
|
|
мости от частоты [Л. 1-28]. |
(7-57), |
составляют |
Я, — 1,12-10~ " X |
|
О б о з н а ч е н ия |
те |
ж е , что |
на |
Х9,9 - 10 - 2 - 50 |
V 50-7-10» -7 050^ X |
|
рис. |
7-16. |
|
|
|
X?(2,4-f 5,3-10-9 -4,4 |
К50-7-10°Х |
|
|
|
|
|
|
Х7 050)=51,5 (2,4+3,09)= 282 Вт/м. |
|
|
Из экспериментов (рис. 7-16) были получены потери активной |
|
мощности для этих же данных: 270 Вт/м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стоит, наконец, обратить также внимание на тот факт, |
|
что показатель степени при токе |
(или поле Нт) |
и |
зависит |
|
от |
формы |
распределения |
поля |
на |
поверхности |
может |
|
в некоторых случаях быть больше |
2 [см. § 7-5 |
и |
(7-59)]. |
|
Эта зависимость имеет значение для перерасчета |
потерь, |
|
измеренных |
при меньшем |
токе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7-6. ПОТЕРИ МОЩНОСТИ В БАКЕ ТРАНСФОРМАТОРА
В современных мощных трансформаторах применяют иногда алюминиевые баки с целью уменьшения их мас сы и добавочных потерь в баке [Л. 7-3]. Чаще, однако, применяют стальные экранированные баки (см. § 4-5) либо при мощностях, меньших 70—80 MB - А, — стальные неэкранированные баки. Расчет потерь мощности в баке с учетом переменной проницаемости стали является труд ной задачей. Поэтому расчеты эти проводят либо при по стоянной проницаемости, либо применяют различные приближенные методы полуэмпнрического характера.
1. Расчет потерь в баке при |
постоянной |
проницаемости |
П о л е н а п о в е р х н о с т и |
б а к а . |
Несимметричные |
концентрические обмотки, обладающие зонами с раз
личной линейной нагрузкой Ль |
Аг, А3..., |
до нуля вклю |
чительно (рис. 7-18), можно в |
общем |
случае заменить |
фиктивными обмотками, |
наложенными |
друг |
на |
друга |
[Л. 1-6], из которых одна |
будет симметричной |
обмоткой |
с |
равномерным распределением |
н. с , |
равной |
|
средней |
и. |
с. А0 действительной |
обмотки |
(рис. 7-18,6). |
Сумма |
н. с. второй фиктивной группы обмоток равна нулю и после наложения на первую группу даег действительное распределение н. с. в каждой из выделенных зон об моток.
Рис. 7-18. Разложение несимметричной концентрической обмотки трансформатора (а) на фиктивную симметричную концентрическую обмотку (б) и фиктивную чередующуюся обмотку (в).
Согласно исследованиям Марквардта [Л. 6-2] при нормальных осевых асимметриях обмоток, не превышаю щих 5—10%', потери в баке определяются в основном симметричной составляющей и. с , т. е. первой фиктив ной составляющей (рис. 7-18,6).
По исследованиям автора этот допустимый предел следует ограничить до 3—5%.
Поток рассеяния фт симметричной группы н. с. одно фазного трансформатора наводит в баке вихревые токи, которые имеют периодическое распределение на поверх
ности бака |
(рис. 7-19). |
П о л е в |
с т е н к е б а к а [Л. 6-2]. Согласно вышеупо |
мянутому периодическому распределению плотности то ка на поверхности бака (рис. 7-19) составляющие век-
торного |
потенциала |
А, |
определенного |
|
уравнениями |
(2-63) — (2-66), для |
произвольных т-н и /2-й пространст |
венных |
гармоник поля |
можно |
выразить для / z |
= 0 в виде |
|
|
Атпх |
= |
<р cos mvy sin тцхе'ш*; |
1 |
|
|
|
|
АтпУ |
= |
ф sin mvy cos щхе'ы; |
) |
|
(7-60) |
где у — л/т; |
г| = я/а; |
<р и -ф — неизвестные |
пока |
функции |
координаты |
z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив |
составляющие |
векторного |
потенциала |
(7-60) ,в (2-66) |
|
|
|
|
|
|
|
|
^Amnx |
= |
^{dAmnxjdl; |
|
^Amny=^^dAmnyjdt, |
|
|
(7-61) |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
— (mV |
+ |
п\г |
-4- /шцу) 9 = |
0; |
|
|
Общие решения этих уравнений имеют вид:
где а2 |
= |
m V -f- # V + |
/°¥Т и |
|
|
|
|
|
| а | = / ( m V + /г2т)2)2 + со^у2 . |
|
Из |
условия |
сНуЛ = |
0 |
согласно |
(2-63): |
|
|
|
|
дАтпх/дх |
|
+ дАтпу/ду |
— 0 |
|
получим условия, справедливые для всех значений z: |
(М |
+ W.mv) е а х |
+ |
( M . / M J + JV2 mv) e~az |
= 0, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M] /n] + |
^,mv = 0; j |
|
|
|
|
TWjj/гт) + |
N2mv = 0. j |
|
Составляющие магнитной |
|
индукции в стали согласно |
(2-63) |
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
Втпх |
= - |
dAmnyldz=-a{NieaZ |
|
|
- М^Гг) |
X |
|
|
|
X sin mvy cos |
/щхе'ш*; |
(7-63) |
|
Bmny |
= |
дАтпх/дг |
= |
|
|
|
|
|
а ( М , е о г - |
М 2 е" а г ) |
X |
|
|
|
X cos mvy sin |
щхе'ш*. |
|
Bsmnx
Тангенциальная составляющая напряженности маг нитного поля на внешней поверхности бака практически равна нулю (§ 4-3). Подтверждают это также теорети ческие и экспериментальные исследования Марквардта [Л. 6-2]. Можно, следовательно, принять, что для z—d
|
|
;v,e |
|
-iv2e |
|
— и , |
i |
|
(7-64) |
|
|
Miead |
- |
M2e~ad |
|
= 0, |
/ |
|
|
где |
d — толщина стенки |
бака. |
|
|
|
|
|
|
Кроме того, если на внутренней поверхности бака бы |
ло образовано поле с тангенциальными |
составляющими |
|
|
Втпх = |
# s m n x |
sin mvy |
cos пце'"*; |
|
|
|
Amny = Bsmnyc os |
mvy sin |
пт\хе,ы, |
|
то |
при z = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bsmnx = —a(N1~ |
M2); |
} |
|
(7-65) |
|
|
Bsmny=~a(M1~M3). |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из сравнения (7-62) и (7-64) |
находим: |
|
|
|
|
2a |
sh ad |
|
|
2 |
|
2a |
sh ad |
(7-66) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M, |
= — ЩПУПУ |
& |
|
j |
AL |
|
= - |
2a |
sh ad |
|
|
|
|
2a |
sh ad |
|
|
2 |
|
|
|
Составляющие |
векторного |
|
потенциала будут равны |
л |
|
В , т п У |
ch a (d — г) |
|
|
|
. |
/ш г |
|
^ — — ' |
- c o s mvy |
sm пухе' |
ch a (d — 2) . |
/xijxe' |
s h a r f |
sin mvt/ cos |
В результате принятой линейности уравнений поля полные выражения векторного потенциала можно полу чить путем прямого суммирования векторных потенциа лов отдельных гармоник в виде двойного ряда:
|
00 |
00 |
BsmmM ch a (d — z) |
|
. |
!ш1 |
|
Е Е |
-^Г |
S had |
cos mvy |
sin |
пухе1*1; |
oo |
oo |
^ |
|
|
|
v e n . |
A,=0 |
EE- |
|
|
|
л = = у 1 |
у в |
|
s i n m v y c o s n |
(7-68)
