|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f — X 9 _ l n |
4c- |
+ |
1-5,35c2 |
+Q.55 + |
3 x |
j ; |
|
3,1•lO4 |
10,91n(|/3/fe's |
+ |
| / |
|
l +3k's2) |
+ |
|
|
|
|
|
|
3,1-10* |
л |
(i |
з 2 ) 2 |
+з^;, |
+ |
|
|
|
+ |
6,28 |
|
20&з5 |
/ |
1 |
|
2 |
|
|
|
i |
24,1 |
|
|
|
|
J |
A/M. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент &'3 определяют по формуле |
|
|
Ija |
= |
2,22 • 103k'3 (1 + |
k't2)lV 1 + |
3^ 2 . |
А/м. |
|
При современной электронной вычислительной тех |
нике коэффициенты ft, |
f2 и fIt входящие |
в (7-39), можно |
рассчитать |
быстро |
и |
практически |
с |
любой |
точностью. |
Однако нет необходимости в высокой точности расчетов
этих коэффициентов, |
так как на |
практике конструктор |
и так не располагает |
точными |
физическими данными |
конструкционной стали. Удельная проводимость у этой стали может колебаться в пределах (4,8—8) • 106 См/м, что сразу предопределяет ограниченную точность резуль татов расчетов.
Поскольку у находится под корнем, часто можно при нимать в расчетах некоторую среднюю величину для ста ли «у=7'10 6 См/м. Вводя, кроме того, поправку на тол щину листа в формулы fi и f2, можно в результате пря молинейной аппроксимации полученной аналитической функции (7-29) получить [Л. 4-11] точную упрощенную формулу для потерь мощности в однородных стальных крышках трансформаторов (на один комплект вводов):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р = т-5,5.Ю-31а(\ |
+ |
2 i ^ - i _ J , |
|
|
|
(7-40) |
где т—\ |
для |
однофазного |
трансформатора |
(рис. |
5-16); |
т—УЗ |
для |
трехфазного |
трансформатора |
(рис. |
5-14); |
/ — ток |
ввода, А; а — расстояние |
между осями вводов, |
см; с—Д/а; R — радиус отверстия |
под ввод, |
см. |
|
|
Формула (7-40) справедлива |
для |
/ / а > 1 5 |
А/см |
для |
однофазного |
трансформатора и |
для |
7/а>28 |
А/см |
для |
трехфазного трансформатора, а также для |
0,l<c=R/a< |
<0,3. В эти пределы укладываются все |
практические |
случаи, когда потери мощности могут иметь существен ное значение. С несколько меньшей точностью (7-40) можно применять также и вне этих пределов, на что ука зывают графики, показанные на рис. 7-9.
69
Рис. 7-9. Сравнение |
точной формулы (7-39) |
|
сплошные линии |
с упрощенной |
(7-40) |
— |
пунктирные |
линии для |
однофазного (а) |
и трехфазного |
(б) трансформаторов |
[Л. 4-11]. |
— |
|
В табл. 7-3 приведены примерные значения потерь в крышке для трансформаторов [Л. 4-11]. Они могут слу жить также для оценки потерь мощности в других сталь
ных конструкционных элементах, пересекаемых |
током. |
Т а б л и ц а 7-3 |
Потери в стальных крышках трансформаторов без |
прорезей |
[Л. 4-11] |
|
|
Мощность и |
НН |
|
|
Размеры, мм |
|
>да |
|
|
|
низкое |
напря |
|
|
|
|
|
|
жение |
транс |
СО |
о |
24 |
d |
c=Rja |
А/смПа, |
|
кВ - А/кВ |
^< |
|
форматора, |
CQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500/0,231 |
1 250 |
14 |
7 |
0,8 |
0,25 |
89,3 |
|
7 |
|
6300,231 |
1 580 |
14 |
0,8 |
0,25 |
113 |
|
1 600-0,4 |
2'310 |
14 |
7 |
1,0 |
0,25 |
165 |
|
16 000/3,0 |
ЗЮ70 |
24 |
9 |
1,6 |
0,19 |
128 |
|
24* |
|
|
|
|
|
|
|
|
Потери в крышке |
|
при 95 °С, |
рассчитан |
|
ные по |
формулам |
Р |
(7-40) |
|
(7-39) |
нагр' |
Вт |
|
Вт |
% |
кВт |
|
8,3 |
390 |
|
398 |
5,0 |
9,45 |
558 |
|
582 |
6,2 |
19,5 |
1 030 |
1 |
080 |
5,5 |
123 |
«2 180 |
2 260 |
1,9 |
|
|
|
|
371 |
В л и я н и е |
п р о з р а ч н о с т и с т а л ь н о г о |
л и |
с т а . Явление |
это имеет место в тонких листах или |
при |
сильных насыщениях, когда часть энергии электромаг нитного поля достигает противоположной стороны листа
и |
выходит наружу, в результате чего |
потери |
мощности |
в |
листе уменьшаются. Приближенный |
расчет |
можно про |
вести путем следующих рассуждений. Из рис. 4-10 сле дует, что потери в стальном листе практически не зави
сят от его толщины, если |
kd^\,7. |
Принимая |
/ = 50 Гц, |
Y = 7 • 106 См/м, получаем: |
|
|
|
|
|
|
^ = ] / а ^ Х / 2 = = 3 7 , 5 | ^ | 1 ; К 1 9 2 / ( 1 |
7 2 + |
0" |
1/м. |
Таким образом, при толщине листа, меньшей крити |
ческого значения: |
|
|
|
|
|
|
dK P =l,7//fe = (45/vHC)(172 + |
0/192 |
мм, |
(7-41) |
мощность, |
рассчитанную |
по (7-39) |
и |
(7-40), |
следует |
умножить |
на коэффициент |
£ р е < 1 (рис. 4-10), |
учитываю |
щий уменьшение потерь в результате «прозрачности» ли
|
|
|
ста. На основании (7-41) |
|
|
|
и |
характеристики |
намаг |
|
|
|
ничивания |
стали |
(рис. |
|
|
|
1-19) |
можно |
получить |
|
|
|
график |
критической тол |
|
|
|
щины листа й?Кр, выше ко |
|
|
|
торой |
потери |
мощности |
|
|
|
в |
крышке |
не |
зависят от |
|
|
|
ее |
толщины |
(рис. |
7-10). |
|
|
|
Необходимую для |
опреде |
|
|
|
ления |
dKV |
напряженность |
|
|
|
магнитного |
поля |
можно |
Рис. |
7-10. Критическая |
толщина |
оценить |
по |
формуле |
[Л. 4-11] |
|
|
|
листа |
конструкционной |
стали |
|
|
/ / т « 0 , 9 / / а . |
|
|
|
|
|
|
|
Из этих рассуждений вытекает возможность уменьше ния потерь в крышках трансформаторов путем умень шения их толщины.
7-5. РАСЧЕТ ПОТЕРЬ ОТ ПОЛЕЙ РАССЕЯНИЯ
ВМАССИВНЫХ СТАЛЬНЫХ ПЛИТАХ
СПОМОЩЬЮ ЭЦВМ
1. Обобщенный метод
Расчет потерь мощности и местного нагрева в неактив ных стальных конструктивных элементах, расположен ных в стальных электромагнитных полях, состоит из двух
основных задач: 1) нахождение распределения магнит ного поля на поверхности тела; 2) расчет электромаг нитного поля и потерь активной и реактивной мощности в металле.
Первую задачу можно часто решить, используя метод зеркальных изображений, метод Рота, Роговского и т. п.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
путем |
находим |
распреде |
|
|
|
|
ление нормальной |
составляющей |
fn,Yo |
|
|
|
напряженности |
магнитного |
поля |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
на |
поверхности |
тела |
со |
стороны |
|
|
|
|
воздуха #zo (х, |
у)—рис. |
7-11, при |
|
|
|
|
упрощающем |
|
положении, |
что |
|
|
|
|
проницаемость |
стали |
бесконечно |
|
|
|
|
велика по сравнению с проницае |
|
|
|
|
мостью |
воздуха, или |
по |
крайней |
|
|
|
|
мере |
относительная |
«квазипрони |
|
|
|
|
цаемость» (лд г в несколько раз |
|
|
|
|
больше |
единицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Не |
менее |
трудным |
вопросом, |
|
|
|
|
чем |
определение граничных |
усло |
|
|
|
|
вий, |
является |
решение уравнений |
|
|
|
|
электромагнитного |
поля (2-1) — |
|
|
|
|
(2-6) |
внутри стали |
с учетом |
пере |
|
|
|
|
менной |
проницаемости. |
|
|
|
|
|
|
|
Т р е х м е р н о е |
п о л е . |
По |
|
|
|
|
лагаем, что все составляющие по |
Рис. |
7-11. |
Поле на |
по |
ля |
являются |
|
монохроматически |
|
верхности |
стального |
по |
ми |
функциями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лупространства. |
|
E=Eme'mt и H=:Hmeiwt.
Ввиду непрерывности магнитного потока, проникаю щего в конструктивные детали (divB = 0), функции рас пределения поля на поверхности имеют обычно периоди ческий характер (рис. 7-11). Примем вначале постоян ную проницаемость стали [x=const. Благодаря этому из уравнений поля для проводящей среды
rotH=yE, rotE = — дЪ/dt; divB = 0; divE = 0. получим уравнение проводимости
V 2 H m = a a H m , которое для составляющей Hmz имеет вид:
d2Hmzfdx2 + d2Hmzfdy2 + dH2Jdzs = а2 Я, (7-42) где а = (!-{-/)&, & = |Ло^у/2.
Применяя |
к (7-42) |
метод |
Фурье с подстановкой |
(2-50) |
|
|
|
|
|
Нтг(х, |
у, |
z) = |
X{x)Y(y)Z{z), |
получаем общее решение в виде |
(2-54), в котором мож |
но положить |
С&п = 0, так как в противном случае по мере |
продвижения |
вдоль |
оси z напряженность магнитного |
поля увеличивалась бы до бесконечности, что физически невозможно.
Остальные |
|
постоянные |
определяем |
из |
граничных |
условий на поверхности металла. |
Если |
распределение |
напряженности |
магнитного поля на поверхности |
|
Hz0(x,y) |
является четной функцией по отношению к оси z |
(коси |
нусоиды), то |
исчезают |
также |
постоянные |
C 2 n |
и |
С5п, |
а если |
нечетной (синусоиды), |
то |
С 1 п = С 4 п . = 0. Пусть |
на |
чало координат |
расположено в узловой точке |
(рис. 7-11). |
В этом |
случае |
на основании (2-50) и (2-54) |
получаем: |
Cin=Cin |
= Csn = 0, а также |
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( L ) = C 2 n |
sin p„L = 0 |
и |
У(7У2) = (С8 „ sin т|„) 7/2 = 0. |
|
Это |
значит, |
что существует |
теоретически |
бесконечное |
число значений |
f}„ и г)п : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$п = тл/Ь |
и |
цп = п2л/Т |
(m=l, |
2, 3 ..., |
п= |
1, |
2, |
3 . . . ) . |
Получаем |
в |
результате |
бесконечное |
число |
частных |
решений (7-42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hmzmn — Cmns'mm~xsinn^-ye |
|
a , n n Z , |
|
(7-43) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
amn |
|
= ] / a 2 |
+ |
(rmjLf |
4- (п2ъ/Т)2 . |
|
|
(7-44) |
Уравнению |
|
(7-42) |
удовлетворять будет также |
линей |
ная комбинация всех частных решений (7-43), которая является общим решением этого уравнения
|
00 |
оо |
|
|
|
Hmz(x, |
у, 2)=JJ |
c»msmtn~xsmn-^-ye |
а , п п . |
(7-45) |
|
m = |
l n=l |
|
|
|
Решение (7-45) представляет в действительности |
не |
что |
иное, как |
разложение функции |
Hmz = f(x, |
у, |
z) |
в двойной ряд Фурье. Отдельные члены (7-43) этой сум мы представляют собой пространственные гармоники распределения поля в плоскости Оху, а также их зату хание и изменение фазы по мере проникновения в глубь
металла вдоль оси z. Как видно, гармоники высшего по рядка затухают быстрее гармоник низшего порядка. Это значит, что по мере проникновения в металл форма кри вой поля все больше приближается к первой гармонике пространственного распределения поля. На поверхности со стороны металла при 2 = 0 имеем:
|
|
СО ОО |
|
|
Нтг (х, у, 0) = |
^ |
Стп |
sin т ~ х sin 11 ~ у, |
(7-46) |
причем |
т = 1 п = \ |
|
|
|
|
|
|
Hmz |
(х, |
у,0)=-%- |
Нтго(х*у). |
(7-47) |
Следовательно, (7-46) представляет в соответствую щем масштабе разложение в двойной ряд Фурье задан
ной функции распределения поля HmzQ(x, |
у) на |
поверх |
ности металла со стороны воздуха. |
|
|
Сравнение (7-45) и (7-47) указывает |
путь |
точного |
математического решения. Однако интегрирование функ ции Hmz0(x, у) с целью нахождения постоянных Стп разложения (7-46) и (7-45) может часто представлять значительную трудность. Поэтому на практике можно воспользоваться следующими упрощениями.
В инженерных расчетах обычно достаточно учитывать только несколько первых гармоник пространственного
распределения |
поля — с 1 до mi и |
с 1 до п\. |
В |
таком |
случае, |
например, |
для |
средних |
значений |
7'/2 = L = 20 см |
« m! = |
rti=3 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
v=(m 1 n/L) 2 +(rti2n/7 , ) 2 =0,4 - 10 4 |
1/м2. |
|
|
Для |
стали |
с |
физическими |
параметрами |
(хг =500-н |
1 000 и у = 7 • 106 См/м при частоте 50 Гц |
получим: |
|
|
о>ц.у= (140н-280) • 104 |
1/м2. |
|
|
|
Следовательно, |
нет |
сомнения |
в |
том, что при |
учете |
гармоник не слишком высокого порядка (mt<c:5 и |
п^Ъ) |
и при размерах объекта, больших нескольких |
сантимет |
ров, можно принять: |
|
|
|
|
|
|
атп |
= K v + W Y = |
(1 /2) [V |
» { * T ) 2 + |
v2 + |
v |
+ |
+ J VVM2 |
+ |
v 2 — v j « |
(1 + |
/) К<^Т72 = |
«. |
Благодаря этому допущению экспоненциальный мно житель е " m n можно вынести за знаки суммы и полу-
чить па основании |
(7-45) — (7-47) |
формулу |
напряженно |
сти магнитного поля в металле |
|
|
|
|
|
|
Hmz |
(x,y,z)~^ |
Hmzo |
(х, |
у) е"аг. |
|
(7-48) |
Д в у х м е р н о е |
п о л е . |
Многие |
инженерные |
задачи |
можно |
решить на |
основе |
теории |
|
двухмерного поля |
(рис. 7-11,а). |
Из |
уравнений Максвелла |
для // ж = 0 и |
ЕУ=Е2—0, |
учитывая |
(7-48), имеем |
|
|
|
|
|
Ётх = |
/ш[х j |
Hmz (у, z)dy + C (z) = |
- |
j^0e-a%; |
(7-49) |
|
Н |
_J |
дЕтг |
(j.„ |
|
a Z |
p |
|
|
|
П т у — ~ 1 ^ ~ д г ~ — |
j T a e |
|
Г У — |
|
|
= - (i + / > о V 4 r |
руе~™ |
|
<7"50) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fv=-^Hm!Ca(y,0)dy |
|
+ C9. |
|
(7-51) |
Постоянную С0 следует определить из граничных условий для заданного распределения поля на поверх ности.
В (7-50) множитель \jYv- исключаем, вводя аппрок симацию пересчитанной кривой намагничивания (7-9):
[ |
Д = 1 4 ^ у / 2 ; |
|
А = 0,13м7В.с], |
благодаря |
чему |
можно |
написать |
для (7-50): |
|
|
Нту |
= 2f- |
(Д + Л2 |
Vv^Hmy) = |
|
|
|
|
FT |
|
|
|
|
= |
|
У |
^ MA |
+A#tV^Fve-K). |
t(7-50a) |
Потери |
активной и реактивной мощности, отнесенные |
к единице |
поверхности |
тела, |
равны вектору |
Пойнтинга |
(3-7) на поверхности |
(z=Q): |
|
|
|
|
S - ± Е * Н |
- П - / ) ^ ^ Х |
Потери активной и реактивной мощностей в зоне од ного пространственного периода Т (рис. 7-1 \,а) на еди ницу длины исследуемого элемента вдоль оси х состав ляют:
Г / 2
К = |
— ГJ/ 2 |
|
z=0 |
|
|
p |
|
|
4 |
|
l |
i |
|
(7-53) |
где |
S |
|
dy |
= (a |
- |
|
ja |
)mY^(a |
+a |
Y^i), |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 К 2 |
|
J ^ У ; |
(7-53a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
-Т/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.3 |
|
Т12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а, |
= |
|
I |
|
Г f 3 ^ . |
(7-536) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 K 2 |
|
—f/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
а р ~ 1 , 4 |
и |
а 9 ~ 0 , 8 5 введены |
с целью |
учета |
нелинейной |
проницаемости |
и гистерезиса |
согласно |
§ 7-2 для массивной стальной среды. В случае неферро
магнитного металла av = |
aq=\. |
|
Коэффициенты |
« 1 и аг |
можно легко рассчитать анали |
тически в случае |
простого |
распределения поля |
Hmz0(y,0) |
ка поверхности. |
|
|
|
При более сложном распределении поля интегриро |
вание аналитическими методами получается |
слишком |
трудным для того, |
чтобы (7-53) могли иметь практиче |
ское значение; графическое |
интегрирование, проведенное |
в [Л. 2-19 и 1-28], |
является |
слишком трудоемким и не |
очень точным^ Применение электронных вычислительных машин позволяет, однако, быстро и с большой точностью рассчитать коэффициенты ai и а%.
2. Общие формулы |
при синусоидальном |
распределении |
поля на поверхности |
стали (Л. 7-21] |
|
Положим, что распределение нормальной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности метал лического полупространства (рис. 7-12) выражается формулой
Hmz0(y> 0) = # m Z o s i n - ^ - y . Согласно уравнению
F y = ~~ j H m z a ^' ° ^ d y ~ ^ С ° = ~~H m z a j S ' n d y ~г"
+С0 = ^HmZo |
cos-J- у + |
c0. |
|
(7-51a) |
Значение постоянной |
составляющей |
C0 |
зависит |
от гра |
ничных условий. Здесь |
можно различить |
четыре |
(А—Г) |
характерных случая (рис. 7-12).
А. Исследуемый элемент имеет конечные размеры в направлении оси У (стальная шина), равные принято му периоду пространственного распределения поля 2т (рис. 7-12,а), а весь магнитный поток Ф, проникающий
Рис. 7-12. Типичные случаи распределения нормальной со ставляющей поля HmzQ на поверхности стального полупро странства [Л. 7-21].
в сталь, замыкается |
в пределах этого |
периода. |
|
Тогда |
для у^х |
и г/^Г т |
можно принять, что составляющие |
поля равны нулю: Hmz0(y, |
0) =Нту |
= 0. |
Из |
(7-50а) |
выте |
кает, |
следовательно,— |
что для этой |
области |
Fv |
= 0, |
а |
из |
(7-51) |
С0 = 0*. |
|
|
|
и (7-536), после |
не |
Подставляя (7-51а) в (7-53а) |
сложного интегрирования |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
A f V 2 |
„2 |
Г |
. п , |
А ^ 3 |
„а |
|
; |
|
|
а. — — |
• |
Я |
\ cos" — цац — — • = — Я |
|
|
|
|
2 |
К 2 я2 |
|
J |
z |
2 V2 тс2 |
m z o |
|
|
|
* При таком предположении часть (здесь половина) магнитного потока должна замкнуться иным путем, чем через левую поверх ность плиты.
д2 = |
, г — — Я |
\ |
cos — 1 |
rfy== |
— # |
Подставляя в |
свою |
очередь |
полученные |
результаты |
в (7-53), находим выражение полной мощности, потреб
ляемой массивным |
элементом |
(рис. |
7-12,а) |
на |
единицу |
его длины вдоль оси: |
|
|
|
|
PSl = (op - |
/о,) |
с» ^ |
Н2тго |
( Л 1 |
+ |
Б. Пусть стальная поверхность распространяется бес конечно в направлении оси Y, определение поля повто
ряется |
периодически, |
а магнитный |
поток |
замыкается |
в пределах периода 2т (рис. 7-12,6). |
|
|
|
Постоянную С0 |
в (7-51 а) |
можно определить, прирав |
нивая |
поток, входящий |
в сталь |
в пределах |
полупериода |
т, потоку в стали при у = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
•с |
|
|
|
|
|
|
|
|
(г = 0) = |
;х0 j |
HmZ0 |
(у, |
|
0) dy = |
|
Я т , 0 ; |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
ФУ (У = |
0) = |
|i j* Я т |
у |
(г/ = |
0) tfz |
= |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ъ*Ру (У = 0)\ e~azdz |
= |
ц. ( - f |
Hmzo |
+ С0 |
Приравнивая друго другу последние выражения, имеем:
^-Hmz0= -—Hmzo + Cv |
О т к у д а С 0 = - ^ - Я 1 И г о . |
Следовательно, |
|
Fy=^Hmz0 |
(cos^f-# + l j . |
Подставляя это последнее выражение в (7-53а) и (7-536), имеем:
а. = |
—-7=— Я |
cos — г/4-1 |
rfw= — 7 = Н _ |
1 |
2 J^2 я 2 m z o J \ |
х |
У |
2 / 2 я2 mZO |
