Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

267

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>


15О	Ф УНКЦ И Я			И Е Е	п р о с т е й ш и е с в о й с т в а				[ГЛ. VI
Р е ш е н и е .		Область			определения		данной	функции
составляют	все	действительные				числа,	а график ее со
стоит из	0двух		полупрямых,			параллельных		оси	Ох
		1
(рис. 80; здесь стрелка на левой полупрямой означает,
что точка (	; —		) ей не принадлежит).					функция
П р и м е ч а н и е .				Как	известно из алгебры,

может быть задана тремя способами: аналитическим, табличным и графическим. Эти три способа задания функции мы имели в первых двух разобранных приме рах. Хотя каждый из этих способов имеет применение в математике, аналитическое задание функции играет

о^ кную роль.

Приращение функции. Если переменная вели чина X изменила свое значение от Хі до Хг, то разность между новым ее значением и первоначальным назы вается приращением переменной и обозначается симво лом Дх*) (читается: «дельта икс»).

Таким образом,

Дх = х2 — х и

отсюда

Х 2 = х \+ &х.

Величина хг иначе называется наращенным значе нием переменной.

Приращение переменной может быть как положи тельным, так и отрицательным числом. Если например, значение х изменяется от 5 до 5,2, то

Ах = 5,2 — 5 = 0,2, а если оно изменяется от 10 до 9,7, то

Ах = 9,7 — 10 = —0,3.

Пусть дана функция

у = х2.

Предположим, что аргумент ее имел первоначальное значение jq = 3, а потом изменил свое значение на Х2 = '3,5; тогда

Ах = 3,5 — 3 = 0,5.


*) Заметим,			что	Ах	нельзя рассматривать как произведение
двух множителей;			символ Д неотделим от				х,	как, например, в выра
жении sin	X	символ sin неотделим от				х.
жении sin		символ sin неотделим от

5 551		П Р И Р А Щ Е Н И Е			Ф УН К Ц И И	151
Найдя		значения функции сначала при лгі =				3, а потом
при	х2	= 3,5, получим:
при		= 3,5, получим:		2
		у2	=	2
			=
			= 3 = 9,
				3,52=	12,25.

Величина г/і называется первоначальным значением функции, у2— новым или наращенным ее значением, а разность у2— уі — приращением функции. Согласно при нятому символу для приращений можем написать:

	^ У ~ У і — Уі	—		12,25 — 9 =у	3,25.2
Найдем-		А	у			при любом
	х.приращение			функции	= х
изменении

Положим, что аргумент ее имеет любое первоначаль ное значение х; тогда первоначальное значение данной

функции будет:	У = х2.	(1)
		(1)

Допустим теперь, что х получает приращение Ах; тогда новое (наращенное) значение аргумента будет х + Дх. Чтобы найти новое (наращенное) значение функции, ну жно в данное выражение функции вместо х подставить X+ Ах; получим:

Вычтя из равенства

г/ +

Дг/ =

(х +

Ах)2.

(2)

равенство (1), найдем:

У +

Аг/ = (х2

+ Ах

) 2

у = х

________________ _

= (х-\-

Ах

) 2

— X2,

(

или после преобразования

Дг/=

X2 -f-

2х Ах -(- (Ах

) 2

— х

2х Ах +

(Ах)2.

(3)

Мы нашли приращение данной функции в общем виде.

Чтобы получить приращение этой функции для част ного случая, который мы имели в начале параграфа, можно в равенстве (3) х и Ах заменить соответственно числами 3 и 0,5, после чего найдем:

Ьу = 2 • 3 •0,5 4 - (0,5) 2 = 3 4- 0,25 = 3,25.

Последний результат совпадает с ранее найденным.

152	Ф УН КЦ И Я И ЕЕ П Р О С ТЕЙ Ш И Е С ВО Й СТВА	ІГЛ. VI

Таким образом, для нахождения приращения функ ции нужно:

1)в данном выражении функциональной зависимости заменить х на х + Ах, а у на у + Ау,

2)из полученного выражения вычесть почленно дан

ное.

Если функция задана в общем виде y = f(x), то со гласно высказанному правилу ее приращение можно на писать по формуле

		Ay = f{x + Ax) — f{x).					(4)
П р и м е р	1.	Н айти		приращение ф ункции			у =
= 2а:2 + 3.	у +		Ау — 2 (х +
Р е ш е н и е ,	у +		Ау — 2 (х +		Да:)2 + 3 =
			=	2х2 +	4х Ах 4- 2 (Да:)2 +	3;
	у -+- Ау =			2х2+- 4а: Да: -(- 2 (Д*)2 +		3
~	у		= 2 х 2 +		3___________ ■
			Ау =	4л: Да: -\|- 2 (Да:)2.
П р и м е р 2.		Н айти приращение ф ункции I/ =					-J .
Р е ш е н и е .			у 4 Ау = х ^ ^ ;

_ У + А ^ Т Т ^

У= т

___

1 ___

—

— Да: ___

Ах

Ах)

а + Да

а (а +

Ах)

а (а +

1. Дана

функция

Упражнения

ее

приращение, если

уНайти

изменяется:

от 4 до 4,3;

от 0 до

0,2; 3) от

2 до 1,5.

2. Найти приращение функции

—

2 2, если

изменяется:

1) от

1 до

1,3; 2)

от —0,2 до +0,2; 3)

от 0 до

а.

3. Найти

приращение

функции

хг

— 1,

если известно:

0,5; 2)

а ,

3, а,

—0,6.

функции

—

+ 1,

4. Найти приращение

2а 2

если

даны;

Ах

, —

—

Да

0,5;

2) Аі =

-^ -,

і =

Др =

0,4;

найти До.

б. Дано

о =

6. Дано

— sin а,

А) =

ту»

ДА =

-р-;

найти

Ау.

§ об]

ГЕО М ЕТР И Ч ЕС К О Е

И ЗО Б РА Ж ЕН И Е

П Р И РА Щ ЕН И Й

153

у7. Найти в

общем

виде

приращение функции: 1) //= Злг +

2х2

— 1,

у — Зх2

— 2х,

р =

— х2 — Зл:,

х3,

6) (/ =

2л:3 — 2л;2, 7) у = х ----

§ 5Q.

Геометрическое изображение приращений аргу

мента и функции. Пусть дана функция

у — !{х),

график

которой представлен на рис. 81.

Положим,

что отрезок

ОР\ =

изображает

первона

чальное

значение

аргумента;

тогда

значение

функции

при этом

значении

аргумента будет

f(x)

и геометрически

новое же значение функции будет /(*-}- Ах) и геометри чески представится ординатой Р2М2 точки М2\

Проведя из точки	МP2M2 = f(x +					Ax).				ОР2}	(2)
		( прямую, параллельную									до пе
ресечения с прямой		Р2М2		в точке		N,	имеем:
ЫМ2 =	Р2М2		-	P2N	=	Р2М2		-	Р хМ и

или согласно равенствам (1 ) и (2 )

NM2= / (х 4- Ах) — f(x).

Полученная в правой части разность равна Ау [см. фор мулу (4) § 55], а потому

NM2 = Ay.

Следовательно, геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции — приращением ординаты этой точки.

154

Ф УН КЦ И Я И Е Е П Р О С ТЕЙ Ш И Е С ВО Й СТВА

[ГЛ. VI

§ 57. Непрерывность функции. Пусть дуга AB есть график функции y — f(x) (рис. 82). Возьмем на этой дуге произвольную точку М(х\ у) и дадим х приращение

тогда

уРР\ =

Ал:,

прира

получит

щение

QM, = Д у .

Дл:->0

Положим,

что

и пусть

при

этом

-* О,

т. е.

Дlim* - » - 0

Ду = 0.

Это значит,

что если Ал:—*

—*-0,

то РМордината

Р\М\

М\

неограниченно

приближа

к точке

М.

ется

кAB

а точка

y —и, следовательно,f(x) непрерывнана

придуге

данномнайдетсязначенииточка,х.

сколь угодно

близкая Функцияк В

этомy =

f{x)случаеназываетсяговорят, чтоне

прерывнойфункция

при данном значении х, если бесконечно ма

О п р е д е л е н и е .

лому приращению х соответствует бесконечно малое при ращение у, т. е. если

lim Ду = 0 .					(1)
д-о
При соблюдении этого условия для любого значения
аргумента в промежутке от	х — а	до	х =	Ь	функция на
аргумента в промежутке от		до			функция на

зывается непрерывной в указанном промежутке. Следо вательно, дугу AB графика непрерывной функции можно начертить непрерывным движением карандаша, не отры вая его от бумаги.

Однако не все функции и не при всяком значении х непрерывны. Возьмем, например, функцию у = — . Из

аналитической геометрии мы знаем, что графиком этой функции (рис. 83) является равносторонняя гипербола, состоящая из двух ветвей. Непрерывным движением ка рандаша. можно описать любую дугу на левой ветви и любую дугу на правой, но нельзя, не отрывая карандаша

§ 571			Н ЕП Р ЕР Ы В Н О С ТЬ Ф У Н К Ц И И						155
от бумаги, прийти по кривой от точки							А	на левой ветви
к точке	В	на правой. Это			иллюстрирует			нам	непрерыв
ность функции			У — ~	ПРИ	любом	X,	кроме		л: == 0, где

данная .функция, как говорят, имеет разрыв. Точки раз рыва функции отвечают точкам разрыва графика,

В рассмотренном при мере разрыв заключается в том, что при переходе аргумента через х = О (слева направо) значение функции меняется с —оо

на -fo o .

Подобные разрывы имеют вообще дробные функции при тех значе ниях X, при которых зна менатель обращается в нуль, а значения функции неограниченно возрас

тают	( г / о о )X.			Например,	функция			=	имеет
	( г / о о )X.				у	= —	у		Хі = 2 и
разрыв			при = 3; функция			= —	4~при		Хі = 2 и
х2 —	—	2	и т. п.
	—		и т. п.

Существуют и другого рода разрывы, когда функция при переходе аргумента через какое-либо значение ме

няет одно конечное		значение на			другое, тоже конечное.
Такие разрывы называют				разрывами первого рода.			По
добный пример, представляет функция
У		I	+ 1 ,	если	х ^ О .
	=				X	< О,
		і — 1,		если

график которой изображен на рис. 80, стр. 149. Здесь при

переходе аргумента через						х — 0		(слева направо) функ
переходе аргумента через						на +		(слева направо) функ
ция меняет значение с —					1	на +		1	.	у
=	П р и м е р .	Исследовать непрерывность функции								у	=
=	х\		х
у	Р е ш е н и е .	Дадим	х	приращение Дх; тогда функция
	получит приращение [формула							(3) § 55]
		у	2х Ах				+	(Дх)-.
		Д =					+	(Дх)-.

156 Ф УНКЦИЯ И ЕЕ п р о с т е й ш и е с в о й с т в а [БЛ. VI

Найдем	упредел Ау при А х->0:	2
lim А	= lim [2л: Ах + (Ах)2] =	2х •0 + О = 0.
Дл;-*0	Ал->0

Полученное равенство справедливо при любом конечном значении х; поэтому функция у = х2 непрерывна при лю бом значении х. Представление о непрерывности функ ции у = X 2 дает ее график (см. рис. 8 , стр. 21).

Рассмотрим

другое

определениеу непрерывности

функции,

тесно

связанное хс данным выше.

f{x)

Найдем

приращение

функции

при

изменении

аргу

мента

от

— с

до

= \

fД.ѵ;

согласно

формуле

(4) § 55

имеем:

I J

( с

& х ) — f

(с).

Если

данная

функция

непрерывна

при

= с, то, заменив в

равен

стве (1)

Ау

найденным его выражением, напишем:

lim

Ау =

lim

[/(с +

Д-ѵ) — / (с)] = 0.

Лх-»0

Дх-»0

По теореме о пределе разности (§ 45)(симеем:

(с) =

или

lim [/ (с +

Ах)

— / (с)] =

lim

+ Дх) —

lim

4x-*0

А х - > 0

f (с

Дх -И)

lim

f (с).

Дх -»0

lim

Ах) =

Лх->0

Но / (с) — постоянная величина, поэтому

lim f (с + /Ах) = f (с).

Д х -» 0

Если

с + Дх = Ху

то из условия Дх —> 0 следует: х —> с; равенство (2) примет вид

lim f ( x ) — f (с). х - > с

(2)

(3)

Таким образом, из равенства (1) вытекает1

равенство (3). Можно

показать, что, наоборот, из (3) следует ( ).

Отсюда

видно,

что

равенство (3) выражает условие непрерыв

ности

функции при

данном

х,

равносильное

рассмотренному в на

чале параграфа.

Функция y = f(x) называется непрерывной

О п р е д е л е н и е .

при

с,

если

предел этой

функции при

х-*-с равен значению

с.

(3)

выполняется для любого значения аргумента

функции при X

Если равенство

от

— а

до

Ь,

то

функция называется непрерывной в указан

ном промежутке.

§ 57]

Н ЕП Р ЕР Ы В Н О С ТЬ

Ф УН К Ц И И

графике

157

Поясним

сказанное геометрически.

Пусть

на

непрерыв

ной функции

1(х)

дана

точка

с абсциссой л: =

(рис. 84)

точка М

абсциссой

х — с

Ах,

тогда

их

ординаты соответ

ственно будут:

(с)

Р 2М2

(с + Дл:) =

f (X

а точ

РМ =

Так как функция непрерывна, то

при Дл:->-0 и Ді/->-0,

ка

М2

неограниченно приближается к

М.

Но

при этом,

как

видно,

ордината P2M2 =

с +

Ах =

х -> с

j(x)

стремится

ординате РМ = }{с).

Если

взять точку

М\

абсциссой

х =

— Д.ѵ,

то

этом

случае при Дле — 0

Д//-*-0,

точка

М\

неограниченно

прибли

жается к

М.

Но тогда, очевидно,х =

X -> с

и ордината

P tMi =

f(x)

с — А

ординате

PM =

f(c).

стремится

Мы видим, что если данная функция

у — {(х)

непрерывна

при

X = с,

то

равенство

(3)

выполняется

при

стремлении

как

х кк с

с правой стороны, так и с левой. Очевидно, верно и обратное утвер

ждение: если равенство

(3)

выполняется при стремлении

как

справа, так и слева, то функция

у =

f(x)

непрерывна

при

х — с.

то

Если

это

условие

нарушается,

функция

имеет

разрыв. Так,

на рисунке 80 мы имеем

при

х — 0

1разрыв

функции: здесь

предел

ее при стремлении аргумента к нулю справа

равен +

а слева он

имеет уже другое значение, равное — .

справедливость

ска

Заметим,

что равенство

(3)

подтверждает

занного в § 47 о том, что для нахождения предела функции доста

точно		подставить вместо				аргумента		его предельное значение.
						Упражнения
	у Исследовать непрерывность следующих функций:								4 . у = х 3.
Б.	I.	у = 2х.		2	у — X2		— 3.	. у — х — 2х2.
		sin	X.		. cos	X.		3
	=			6. у —

158

Ф УН КЦ И Я И Е Е П Р О С ТЕЙ Ш И Е С В О Й С ТВ А

[ГЛ. VI

Указать точки разрыва функций:

§ 58. Свойство непрерывной функции. Непрерывная функция может изменить знак только при переходе через нуль. Это свойство непрерывной функции легко выяс няется геометрически. В самом деле, пусть (рис. 85)

JC	0		х = а			(точка	А),
f/( ) > 0 при			X		b		В).
(x ) <		при		=		(точка

Если изменять непрерывно значение абсциссы от а до Ь,

то график функции	в силу его непрерывности должен
У
О
Рис. 85.	Рис. 8 6 .

пересечь ось Ох. В точке же пересечения кривой с осью абсцисс значение функции равно нулю.

Если непрерывная функция меняет знак подряд не сколько раз, то график ее пересекает ось Ох столько же раз (рис. 8 6 ). Ясно, что эта функция сохраняет один и тот же знак в промежутке между двумя соседними точ ками пересечения ее графика с осью Ох (между А и В значения функции отрицательны, между В п С — поло жительны), а также для всех точек слева от А (функция положительна) и справа от С (отрицательна).

§ 59. Виды функций. Функция называется явной, если уравнение, задающее ее, разрешено относительно этой функции, и неявной — в противном случае.

Например, у == 2х2— лг + З есть явная функция, а в уравнении х ^ - у = 12 функция у задана неявно. Однако

§ 59]

ВИ Д Ы

Ф У Н К Ц И Й

159

функцию, заданную последним уравнением, можно пред ставить и в явном виде; действительно, решив это урав нение относительно у, получим у = 12— х. Но в более сложных случаях часто бывает невозможно сделать та кое преобразование.

Функции делятся

на

два

класса:

алгебраические

трансцендентные

функции.

ментом которой

Алгебраической называется такая функция, над аргу

ческих

производится конечное

число алгебраи

операций

сложение, вычитание, умножение, де

ление и

возведение в рациональную степень).

у =

(

г—

у —

4х^

***

Например,

2х2 —

у х

-f 1,

алге

ц_- 3- суть

браические функции.

называется

всякая

неалгебраиче

Трансцендентной

ская функция.

у =

ах,

у = loga х,

= sin х, у =

arcsin х

Например,

суть трансцендентные функции.

функциями

являют

Простейшими трансцендентными

Показательная

функция

у — ах,

где

аргумент яв

ся:

Логарифмическая функция у =

ляется

показателем степени.

loga x

у =

X, у

Тригонометрические функции:

г/= sin я, i/ =

cosx,

Обратные

=у

c tg

тригонометрические

функции:

у —

arcsin

arccos

х,

у —

arctgx,

arcctgx.

дано

В з а и м н о

о б р а т н ы е

ф у н к ц и и .

Пусть

уравнение

У — х3,

(1)

где у — функция х. Выразим отсюда х через у:

Заменив в уравнении (

xх= t yу,.

на

х,

получим:

(2 )

)у =на а

(3)

Ѵ х .

Функция

у,

заданная уравнением(3), называется

обрат

ной

по отношению

функции

у,

заданной уравнением

(

); обе же функции

(

) и (3)

взаимно обратны.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 4216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20234.13 Mб236Зазирная, М. В. Технология сортового пива.pdf
#
19.10.20232.99 Mб7Заикин, И. В. Внутрихозяйственный расчет в условиях экономической реформы.pdf
#
29.10.202310.9 Mб46Зайдель Р.Р. Турбодетандеры кислородных установок.pdf
#
27.10.202340.1 Mб31Зайков Б.Д. Очерки гидрологических исследований в России.pdf
#
23.10.20238.49 Mб20Зайцев В.П. Автоматизация судовых холодильных установок.pdf
#
25.10.202316.43 Mб267Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов учебник.pdf
#
23.10.20235.89 Mб15Зайцев Н.Г. Информационное и математическое обеспечение АСУП.pdf
#
24.10.202311.18 Mб46Зайцев Ю.В. Переменные резисторы.pdf
#
19.10.20237.55 Mб10Зайцев, В. М. Расчет наивыгоднейшего режима резания при точении рекомендовано методсоветом ВУЗа.pdf
#
20.10.20238.23 Mб11Зайцев, Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.pdf
#
20.10.20237.68 Mб10Зайцев, И. М. Сущность хозяйственных споров.pdf