книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством

к перестановке, принимаемой за исходную в третьей ите­ рации.

Описанная выше процедура повторяется до выполне­

вие означает зацикливание, т. е. получение такой пере­ становки, для которой последовательное применение п2 операторов рі (і, /==1, 2,..., п) не приводит к улучшению плана. Целесообразно применить описанный алгоритм к нескольким исходным перестановкам.

Достоинством эвристических методов является удоб­ ство реализации их на ЭВМ даже яри решении громозд­ ких задач, поскольку формирование расписания связано •с его моделированием во времени. Основным недостат­ ком этих методов, отнюдь не препятствующих их прак­ тическому применению, является сравнительно невысо­ кая точность, которая объясняется тем, что трудно скон­ струировать правило, одинаково хорошее для всех раз­ новидностей задач. Другой недостаток заключается в невозможности построения опенок близости полученных расписаний к оптимальным. Развитием чисто эвристиче­ ских методов (развивается и обобщается идея модели­

ЭВМ и располагаемым для решения задач временем, что

пользовать как располагаемое время, так и возможности ЭВМ. для получения более точных решений.

При решении задач больших «площадей», когда чис­ ло N ограничено несколькими десятками испытаний, до-

вольно эффективными являются комбинации метода ста­ тистических испытаний с различными эвристическими правилами предпочтения.

Ниже мы рассмотрим статистические методы и их «комбинации с эвристическими для исследования моделей календарного планирования.

Статистические методы. Статистические методы, или как их иногда называют, методы случайного поиска нача­ ли применяться совсем недавно (начало 60-х годов) для решения различных задач оптимизации. Особенно эффек­ тивно применение этих методов для решения сложных задач большой размерности с произвольным заданием целевой функции — критерия оптимальности и ограниче­ ний, т. е. в тех случаях, когда регулярные методы непри­ менимы. Именно к таким задачам относятся задачи ка­ лендарного планирования.

Под поиском понимается процесс отыскания хотя бы одного расписания А\ из множества допустимых рас­ писаний D, которое близко к оптимальному, т. е.

K(AR*)<mmK(A)+e, A<=D

где є > 0 наперед заданное число.

•расписания, которое является приближением к оптималь­ ному.

Различают ненаправленный случайный поиск; направ­ ленный случайный поиск без самообучения; направлен­ ный случайный поиск с самообучением.

Если поиск оптимального плана ведется среди дей­ ствительных планов, то область D конечна и существует

отличная от нуля вероятность р обнаружить оптималь­ ный план при каждом испытании. Вероятность найти оп­ тимальный план в одном из п независимых испытаний составит

дернизациям методов ненаправленного случайного по­ иска, к разработке специальных методов с предпочти­ тельными направлениями поиска, или точнее, с предпочтительным характером поиска. Здесь использу­ ются методы, сочетающие метод Монте-Карло и всевоз­ можные правила приоритетов,-—комбинации ненаправ­ ленного случайного поиска с эвристическими методами построения лучших расписаний.

Несколько другой характер носят методы направлен­ ного случайного поиска (без самообучения). Под этим названием подразумевают обычно группу методов, у ко-

торых улучшение сходимости достигается за счет более разумной организации поиска, при которой отдельные испытания становятся более зависимыми между собой, т. е. результаты уже проведенных испытаний использу­ ются для формирования последующих испытаний.

Примерами направленного случайного поиска без самообучения могут служить алгоритмы поиска с возв­ ратом и поиска с пересчетом. В первом случае моделиру­

сравнение показателя качества производится с ранее рас­ считанным (лучшим) показателем. Более общие приемы локального поиска будут рассмотрены отдельно.

Направленный поиск с самообучением подразумева­ ет более полное использование информации о прошлом поиске. Если в предыдущих методах связь между после­ довательными шагами либо вовсе отсутствовала (метод Монте-Карло), либо была слишком сильной, то в мето­ дах с самообучением характер этой связи все время ме­ няется. При случайном поиске самообучение проявляется

вперестройке вероятностных характеристик поиска, т. е.

вопределенном целенаправленном воздействии на слу­

чайный выбор. Для целей календарного планирования случайный поиск с самообучением используется в соче­ тании с эвристическими методами, т. е. в целях разреше­ ния конфликтных ситуаций используется определенный набор приоритетов, каждый из которых выбирается с определенной частотой (вероятностью), которая является функцией всех предшествующих испытаний. Такой под­ ход позволяет выбирать из множества приоритетов наи­ лучший, так как процесс обучения как бы стремится «задетерминировать» систему.

Практически процесс самообучения можно осуществ­ лять по-разному. Например, самообучение методом ис­ ключения подразумевает исключение из набора приори­ тетов такого, который с большей вероятностью приводит к плохим планам, соответственно вероятности выбора других приоритетов увеличиваются.

§2. 4. Методы ненаправленного случайного поиска

Вметодах ненаправленного случайного поиска слу­ чайное расписание предполагается обычно равномерно распределенным в области действительных планов. Мно­ гократное моделирование обеспечивает равномерное «просматривание» последних и запоминание наилучше­ го. Метод Монте-Карло относится к числу универсаль­ ных методов, поскольку позволяет решать многоэкстре­ мальные задачи общего вида с отысканием глобального экстремума.

Пусть, например, при моделировании случайной пе­ рестановки я = ( ї ь і2, із, ц, is) получены следующие 5 ре­ ализаций |: 0,01214;А 0,31256^0,11255; 0,84257; 0,38142, тогда я = (53412). Методика моделирования случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0,1), представлена в ряде монографий, например в [2.11].

Чтобы построить вероятностные оценки сходимости расписаний, полученных по методу Монте-Карло, к опти­ мальному, необходимо построить плотность или функцию распределения значений критерия, рассматривая их как случайные величины. Можно показать, что при достаточ­ но большом числе деталей это распределение является приблизительно нормальным (результаты демонстриру­ ются на двух задачах — одна объемом 100x10, дру­ г а я — 20X10). Если, далее, известен вид этого распреде­ ления, то можно, в частности, ответить на вопрос о том (проблема решения с риском), сколько испытаний ме­ тодом Монте-Карло следует произвести, прежде чем сто­ имость очередного испытания будет больше средней

/Гистограмму частот для данной матрицы можно ап­ проксимировать следующим выражением для плотнос­ ти / ( 0 ;

где Mi и М 2 —моды распределения, a O ^ c ^ l .

iB общем случае различие между элементами строк' первого и второго типов в соответствующих частях матри­ цы выражено не столь резко.

Можно с достаточной уверенностью констатировать, что двумодальные распределения цикла имеют место лишь для матриц малого и среднего размеров. Для мат­ риц' большого размера (50 деталей и более) следует ожидать одномодальное распределение, близкое к нормальном_у^__

m.

при ЭТОМ

К. сожалению, далеко не любому вектору я соответст­ вует допустимое расписание А, что хорошо видно из сле­ дующего примера. Пусть технологическая матрица Т об­ работки деталей 1, 2, 3 имеет вид:

Напомним, что ряд чисел, стоящих в і-й строке, озна­ чает последовательность станков, на которых обрабаты­ вается і-я деталь в соответствии с технологией; соответст­

рошо видно из графа (рис. 2.4.1), где элементарные работы-операции обозначены кружками, цифры внутри означают соответственно номер детали и номер станка (например, 2—1—обработка второй детали на первом станке). Горизонтальные стрелки между кружками, оз­ начающие технологические связи (технологическую пос­ ледовательность обработки), проставлены в соответствии с Т, а вертикальные стрелки, указывающие порядок об­ работки деталей на каждом из станков, проставлены в соответствии с я = (яь Яг, я:з).

Из рисунка видно, что единственной работой, которую можно произвести (нет входящих стрелок) немедленно, является работа 3—2 (первая операция третьей детали); после нее можно произвести работу 3—1 (вторую опера­ цию третьей детали), все остальные семь работ произ­ вести невозможно.

Рис. 2. 4. 1. Пример графа деталеопераций

Таким образом, в множестве всех вектор-переста­ новок существуют векторы, которым не соответствуют действительные расписания (планы); в то же время лю­ бому вектору я соответствует не более чем одно дей­ ствительное расписание. В связи с этим говорят, что множество векторов л «мощнее» множества действитель­ ных расписаний, т. е. расписаний без неоправданных простоев.

Сформулируем алгоритм, который дает возможность определить, соответствует ли данной матрице П допусти­ мое расписание или нет.

Для этого по матрицам Т и П строим матрицы Т и 17/ следующим образом: если в матрице Т на пересечении 1-Й СТрОКИ И /-ГО СТОЛбца НаХОДИТСЯ ЭЛемеНТ (ttjj, t{j), то

в матрице Т на этом месте поставим элемент (і, п^), ес­ ли в матрице П на пересечении t'-й строки и /-го столб­ ца находится элемент п%ч, то в матрице ІГ на этом месте ставим элемент («,•' j, і').

Упорядоченную пару (і, п^) обозначим через Ojj, а

входит из каждой строки матрицы 7V_i первая слева незачеркнутая операция (элемент матрицы);

2. Формируем множество операций FK так, что в FK

иполученные матрицы обозначаем соответственно Тк

иП'к.

5.Переобозначим к—*-к+1 и переходим к первому пункту алгоритма.

Начальными данными для описанной циклически по­

вторяющейся последовательности операций являются

П'к содержат незачеркнутые элементы, то не существует расписаний, соответствующих матрице П и согласован­ ных с технологией Т. Доказательство этих утверждений вытекает из сформулированного алгоритма.

Если матрице П соответствует некоторое расписание А, то его можно построить, применяя алгоритм Форда к се­ ти, в которой элементарными работами являются деталеоперации, а связи однозначно определяются матри­ цами Г и П.

Продемонстрируем вышеизложенное на следующем примере. Три детали обрабатываются на трех станках и