Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

2у^(Ь2-а2)

аг (bi-ai)

(5.3.36)

когда

bi +

<Pi>

и при

<P2-

(5.3.37)

bi +

bi+b2

UXi dx2

(Ьг—аг)

(bi—ai)

a 2 - 1-У «2

b,+b.

f(xux2)dxidx2

1-У

a .

at (і —#i)2—2ya2bi

(1 —y4) +

b\yf

(5.3.38)

2Уі(і—Уі)

(b2~a2)

(bi—ai)

при условии

(5.3.37).

Рассмотрим область I I I :

b2+a2

(5.3.39)

ї(Уі)

2р2

Й2

(5.3.40)

ЄСЛИ

. , .

< p l <

;

• И

, , ,

<P2<-

bi+b2

Ґ 1

аі + а2

Ьі + Ь2

ai + a 2

Интегральная

функция

распределения в этой обла

сти запишется следующим

образом:

1-У,

у,

о,

Уі

ж, 1

1-Уі

{

±3

a 2

У І.

6 i -

(&2 +

i - y i

(5.3.41)

6i—ai

Й 2 ) -

2(/i

при условии	(5.3.40).
В области IV:
			2уіЦЬ2-а2)			(Ьі-аі)
					2
					ai
		~2(\-уі)ЦЬ2-а2)				(fti-fl,)	'
если		аг				b2
		ai +	a2		r	ai + b2
		_ ^ 1 _		<	/ 7 а	< _ ^ _ .
		ai + a2^-Hi				ai + b2
		v,	1-
		a 1	"2
		l
	+	Si	S f(xl,x2)dxldx2				=

(5.3.42)

(5.3.43)
v	'

2«/i(l— tfi) [aia2+bib2—bia2]—b2	(1—г/і)2 —af	yt
2 » i ( l - y i ) ( 6 2 - f l 2 ) ( 6 i - a i )		(5.3.44)

при условии	(5.3.43).
И, наконец, область V:
		^(0і) = 1				(5.3.45)
и		/ ( # , ) = 0,		если
		&2		02
P i ^		r r	и Р 2 ^	:— •	(5.3.46)
Ґ		at + b2	Ґ ^	аі + а2	у	і
Нетрудно	видеть,		что интегральный		и дифференци

альный законы распределения вероятностей возможных

исходов для р2 будут иметь тот же самый	вид,	только
Pi следует заменить на (1—рі), а (1—р2 )	на р2	анало
гично для координаты у. Чтобы убедиться	в правильно

сти проведенных выкладок и геометрической интерпре

тации	исходных	данных	при образовании	областей
I—V, можно сделать проверку для простейшего				случая,
когда	bi = b2=\\	ai = a2=0.	Дл я этого случая	выраже-

16. Д . И . Голенко

241

ния	(5.3.35) — (5.3.46)		преобразуются		следующим	об
разом:
	I . р = 0,		f ( 0 , ) = / ( 0 i ) = O ;		1
I I . 0 < р ^ — ;		F ( J / I ) = — —

	2		2(1—an)
I I I .	42<P<1'	j F ^ 1 ) = 1		1~Уі	(5.3.47)
				2(/i
		/ ( У і ) = 1 — 2 ^ i ~ :
I V .	p = \,	F(yi)=l,	/ ( # 0 = 0 .
Получившаяся при			этом	функция	^(г/і) =F{y)	мо

жет быть изображена в виде прямой, проходящей через

точки	(0,0) и	(1,1). Приведенные		соотношения, как
видно	из рис.	5.3.3, справедливы	в	том	случае,	если
b 2 s O i	и a2^ah	Приходится считаться с			тем, что	ха
рактер	областей I — V несколько		меняется,		если b2~>bi
		7 11 .	/
		/ ш

а2

Рис. 5. 3. 4. Случай b2>bl.

и ахф0, а2ф0. В этом случае геометрическая интерпре тация выглядит так, как это показано на рис. 5.3.4. Соотношения для соответствующих областей I — V с уче том изменения ориентации области существования слу чайных величин ті и Т2 принимают следующий вид:

F(!ti)=f(!ti)=0,

если

(5.3.43)

			Pl=p'-				6l +		0 2		(5.3.49)
							6l +		0 2
и .	f(yi) -1-ї-				2</i2		J			(62 —a2 ) (6j—at )	(5.3.50)
и	F(yi)	аг ( l - £ / i ) 2 + 6?						у*-аф22у1(1-у1)			(5.3.51)
и	F(yi)		2уі(і—	У\) {Ьг—аг)				(61—о,)			(5.3.51)
			2уі(і—	У\) {Ьг—аг)				(61—о,)
при условии
			аг				02				(5.3.52)
			6і : « , < ' > < ai + a2								(5.3.52)
			6і : « , < ' > < ai + a2
I I I .			ї(Уі)	=			61 +		ai		(5.3.53)
I I I .			ї(Уі)	=	2 ( l - ( / , ) 2				( 6 2 - a 2 )		(5.3.53)
и	F(yi)	=	1								(5.3.54)
			62—a2		2 ( J ^ V (					fll)"fl2	(5.3.54)
									b l +
									b l +
при условии
			а2	<Р<							'(5.3.55)
			Oi + a 2	<Р<		61 + 62					'(5.3.55)
IV.						Оі2+0162—0262					(5.3.56)
IV.											(5.3.56)
					г/i ( 6 2 — а 2 )					(61—ai)
		(1— j/i) [а2 6 2 — a4 6 2 — oi					] + г/i [0162 + 6,62—a2 6i]				(5.3.57)
				2/1(62—о2) (61—а4 )							(5.3.57)
				2/1(62—о2) (61—а4 )
при	условии			62						6 2	(5.3.58)
				6і + ^2"		"			Оі + Ог		(5.3.58)


V.			F(yi)		= h				ї(Уі)=0,		(5.3.59)
V.			F(yi)		= h				ї(Уі)=0,
если				^		o, +		6 2			(5.3.60)
если				^		o, +		6 2
Таким образом, для случая, когда каждая											а-верши-
на дерева		исходов имеет				по две возможных альтернати

вы, для решения различного рода задач, в первую оче редь, связанных с определением наиболее предпочти тельных путей в стохастической сети, можно использо


вать в качестве	априорной		информации			полученные
соотношения. Следует		отметить,		что	случай,		когда
п = 2 (дихотомии), на практике			является		наиболее		часто
встречающимся.	Поэтому распределения				вероятностей,
полученные исходя из		принятого		критерия,		могут	рас-

16*

243

СМаірйваться как первая попытка решения задачи тео рии статистических решений в области анализа случай ных сетей. Последние, как показывает практика, нахо

дят	все большее	применение	при рассмотрении		слож
ных	процессов,	характеризующихся высокой степенью
неопределенности. Аналогично			можно	вывести	соотно
шения для случая п исходов и более				сложных распре
делений вероятностей.

Рассмотрим приложения полученных результатов к задаче анализа весьма широкого класса стохастических


сетей,	использующей и			объединяющей			оценки		по от
дельным		а-вершинам		для	характеристики			процесса в
целом. В		работе	[5.24]	определено		преобразование ис
ходной стохастической				сети	G(Y, U)	в	дерево		исходов
D(A,	V).	Показано,		что	преобразование			G(Y, U)->-
-+D(A,	V) влечет		за	собой определение соответствую

щих обобщенных характеристик	ветвей	дерева исходов,
в том числе для каждой ветви	могут быть известны:
а) длина ветви, обозначаемая большей частью через
%ц, і — начало ветви, / — конец	ветви. Для реальных мо
делируемых процессов это может быть		время перехода
из состояния і в состояние /;
б) распределение ВерОЯТНОСТеЙ f(Xij)		ДЛИНЫ веТВИ Vij,

заданное своими параметрами. В этом случае задаются

либо	величины a,j,	Ьц, либо at-j,	Ъц, ац, yij- Как прави
ло, для всех ветвей		принимается	ajj = a, уц = у ;
в)	стоимостные	потери в ветви, обозначаемые через

сц. Для реальных моделируемых процессов это может быть стоимость перехода системы из состояния і в со стояние j либо потери, связанные с аналогичным пере ходом;

г) распределение вероятностей f(Xij) стоимости вет ви. Варианты задания аналогичны пункту (б). Все ,что касается в вероятностном смысле величины Xij, автома тически переносится на величину сц;

д) вероятность возможного исхода pip полученная либо на основе экспертных оценок, либо на основе пред ложенного критерия;

е)	распределение	вероятностей		!(уц) возможного ис
хода	в смысле пересечения		данной ветви Vij.
В этом плане могут использоваться все полученные
выше	результаты,	в том	числе	формулы (5.3.35) —
(5.3.60). Следует отметить,			что	перечисленная извест-

Ная информация может находиться в различных сочета ниях. Рассмотрим некоторые, наиболее интересные, на

наш

взгляд, из возможных

сочетаний.

I. Задана длина каждой

ветви,

соответствующая

или

приписываемая ей вероятность

перехода

определе

на

соответствии

соотношениями

(5.3.35) — (5.3.60),

исходя из стоимости

перехода. Причем

длина

и стои

мость — величины

независимые.

Тогда

длина

разъеди

нительного

пути

[5.24]

на дереве

исходов

определяется

как

сумма

длин

ветвей, его составляющих,

xh=

Hj ,

(5.3.61)

где

— множество

ветвей,

составляющих

некоторый

k-я

путь на D(A, V),

а вероятность

реализации

этого

пути

равна

Ри=

F(yti)

•

(5.3.62)

I I .

Наряду

вероятностями переходов

{рц}

извест

ны

невероятностные

характеристики ветвей, как-то:

функции плотностей

вероятностей

f(Xij).

В этом

случае

нахождение

закона

распределения

длины

разъедини

тельного пути по известным законам

распределения не

зависимых

параметров

его ветвей

(т*,-, И Л И сц,

И Л И

Т О Г О

и другого)

сводится

К определению

интегралов,

кото

рые для случая двух

ветвей

имеют следующий вид:

fih{Xik)

—

fij{Xij)fjk(Xih

— Xij)dXij

+ о о

—оо

I fjk(Xjh)-fijiXjh-XihjdXih

(5.3.63)

где

—со

сумме

параметров

двух

ветвей

Xik соответствует

Vij

и Vjh. В связи

с тем, что, как правило,

количество

ветвей в пути больше двух, эффективно в вычислитель

ном	отношении		использовать		метод производящих
функций. Тогда формула (5.3.63)					обобщается	и преоб
разуется на		случай		п ветвей	следующим	образом
[5.25,	5.26]:
	fiy(xiv)	=	—	I e ~ i X i y t {	П E t i ( t ) ) d t ,	(5.3.64)
				—СЮ

где

				Ой
				с	ха				(5.3.65)
		Eij(t)=		\	е	fi^Xi^dXij	•
Здесь	і в показателе			е — комплексное			число, присущее
характеристической			функции			(5.3.65) для		каждой ветви.
В заключение рассмотрим простейший пример опре
деления вероятностей				переходов в соответствии					с форму-
					1		3
лами	(5.3.47).	Пусть			Уі = -^-; 1/2=-4-. Тогда				F(yx) =
= 2 ( Т ^ ) = ^ ;		f ( ^ ) = l			~ " ^	- = 4 - У ж е		на этом про
стейшем примере			видно, что			вероятности		возможных

исходов переоцениваются в связи со случайным харак тером параметра т и действием введенного критерия. Получается далеко не очевидная картина влияния не определенности исследуемого процесса на вероятности принятия решений в точках осуществления выбора. Поэтому использование полученных соотношений для определения вероятностных характеристик может су щественно повысить эффективность решений, прини маемых на основе анализа рассматриваемого процесса.

Количественная оценка сложности моделируемой стохастической сетью программы. Процесс управления комплексом операций связан с переработкой и исполь зованием информации. В процессе реализации комплек са операций постоянно осуществляется выбор из мно жества проектных решений одного или нескольких при емлемых вариантов. В противном случае процесс был бы полностью предопределен и предсказуем, чего никак нельзя сказать о процессе создания сложных систем.

По мере роста количества вариантов осуществления программы создания сложного комплекса, из которых должен производиться выбор, возрастает энтропия, ха рактеризующая этот процесс с точки зрения количест ва необходимой для этого управляющей информации. Энтропия, как известно, увеличивается с ростом свобо ды выбора и уменьшается, когда свобода выбора и не определенность ограничены. Увеличение же свободы выбора и неопределенности в путях развития процесса, естественно, усложняет процедуру принятия проектных решений, делая процесс тем сложнее, чем чаще на от резке времени создания системы встречаются альтер нативные события. Поэтому целесообразно в качестве

оценки степени сложности исследуемого процесса ис пользовать понятие энтропии, хорошо отражающей ко личественную сторону процедуры выбора. Таким обра зом, сложность программы предполагается рассматри вать в смысле ее предсказуемости или количества недостающей управляющей информации для осуществ ления однозначного выбора направления развития мно говариантного процесса. Такое определение представля ется разумным по следующим соображениям.


Во-первых, оно охватывает наиболее							сложную	сто
рону процесса	создания			сложного		комплекса — выбор
определенных	проектных			решений;		во-вторых — отра
жает наиболее	характерную				черту	исследуемых		про
грамм — ветвление		и,	в-третьих,			этому	определению
сложности может		быть	всегда		предпослана достаточно
ясная интерпретация с позиций теории							информации и
статистической	физики		в	части упорядоченности				про
цессов в замкнутых системах					[5.30,	5.32,	5.33]. Необхо

димость определения и количественной оценки степени сложности диктуется практическими соображениями, связанными с оценкой эффективности процессов управ

ления в сложных системах [5.33],	а также требования
ми математического описания и	классификации рас

сматриваемых систем в классе сетевых моделей. Пред полагаемая оценка степени сложности носит относи тельный и двойственный характер. Первое обстоятель ство имеет место потому, что оценка берется относи тельно некоторого считающегося простым процесса. Таким является процесс, описываемый сетевой моделью типа ПЕРТ. Второе обстоятельство заключается в том, что сравниваются не сами процессы, а их некоторые модельные характеристики в предположении адекват ности последних реальным процессам. В случае не адекватности моделей оценка сложности, естественно, будет несостоятельной.

Итак, введем следующую оценку степени сложности процесса создания сложного комплекса, описываемого стохастической сетью G(Y, U), вида

Н=-	, ,	И	' ,	- S	І	ри	log pth •	(5.3.66)
	\А\	+	\Х\	-A	k=i
Коэффициент	\|	Л \|	I)у\	отражает			сложность	процесса
ПО количеству встречающихся					в	нем моментов		возмож-


ного выбора. Для сетей с детерминированной							структу
рой	этот коэффициент		равен	нулю,	что означает пол
ную	предсказуемость процесса; при				\| - ^ \| = 0	каждая вер
шина в сети несет с собой непредсказуемость							или слу
чайность выбора. Характерно,				что	такое	положение
справедливо		для дерева	исходов,		в котором		\| Х \| = 0 ,
т. е. дерево		исходов является концентрированной харак

теристикой стохастической программы в смысле приня

тия	решений.	В простейшем	случае	при	\| Л \| = 1 ,		\| Х \| = 0 ,
1=2	энтропия	стохастической	сети	определяется соотно
шением Н= — (pilogpi+p2^ogp2)			битов		на	исход.
	Исследование смешанных детерминированно-стоха-
стических сетевых моделей. Рассмотрим					преобразования
смешанного дерева исходов,			основанные			на	принципе

выделения в последнем подграфов, моделирующих уп равляемые совокупные варианты. Из определения, сформулированного в § 5.2, следует, что совокупный вариант реализации программы отображается стохасти ческим деревом исходов, которое включает набор путей на смешанном дереве исходов D(A, V), ветвящихся в

стохастических вершинах типа а. Указанное стохастиче ское дерево исходов представляет отдельную компонен ту связности [5.2] некоторого графа, построенного путем

расчленения смешанного

дерева исходов D(A, V), и мо

жет быть изображено

графами двух

следующих

видов:

(г

а)

граф /)<Г'(Л(Г),

— индекс

совокупного вари

анта;

г— 1, 2 , R )

представляет собой

непосредственно

выделенный из

D(A,

V) подграф

и_

может

содержать

промежуточные а-вершины вида

а є Л \ ( { а о }

U А г ) ;

б)

граф D(r)(A(-r)J

VW)

строится

путем

преобразова-

ния подграфа

£ХГ)(Л(Г>, V^)

получения

чисто ветвя

щейся

стохастической

структуры,

для

которой

AWcz(A\] {«о} U Л'),

а ветви иц=в

(аи о,-)еУ( г )

построе

ны по следующим

правилам:

если

а. е Г а .

{ а . ,

а,

}<= (Ли

{cto}U{a'}),

то

о . . є=У

о. . e V «

' г€={1,2,...

Я};

если

а г - 2 + 1 є Г а і ? ,

q= 1,

Q —1

iatl)aill}c=:(AU{ao}U{af}),					a		{ai2,---,aiQ_l}c:A,
								#	•*	#
то	пути,		проходящему	в графах		D(A,	V) и D^(A(r\			VW)
по	дугам		( а { 1 , а,-2 ),...	( а * 0 _ ! , а,-Q		), в графе		£>М(Л«		V&)
соответствует одна				дуга	Vf1 ^ е = ^ г		) . Процедура выде
ления		в	неоднородной	(смешанной)			альтернативной мо
дели		совокупных вариантов			и построения				стохастиче-

ских деревьев {D^} и {DM} для дерева исходов, пока занного на рис. 5.3.5, иллюстрируется рис. 5.3.6.

Рис. 5.3.5. Дерево исходов для смешанной сети.

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3825 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ