книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством

ным событием, характеризуется временем tx или функ­ цией распределения f(tx). Среднее время испытаний до первого успеха, при котором свершение а-события озна­ чает окончание повторных циклов и переход к следую­ щим операциям, в случае, если tx и t2 детерминирован­ ные величины, определяется по следующей схеме:

Чтобы осуществлять анализ и расчет стохастических сетей, содержащих контуры и петли типа приведенных на рис. 5.3.1,а в качестве своих элементов, достаточно воспользоваться полученными формулами. Для исследо­ вания расширенной стохастической модели указанного типа перспективным является также использование ме­ тода производящих функций моментов, позволяющего охарактеризовать информационные аспекты модели и получить обнадеживающие результаты в смысле трак­ товки стохастических сетей как сложных систем с об­ ратной связью.

Производящую функцию моментов определим сле­ дующим образом:

цию, равную произведению cpaCsbqKs), так как налицо контур, состоящий всего из двух дуг. Поэтому получаем:

Формула (5.3.24) отражает общий результат, смысл которого заключается во введении некоторой обобщен­ ной характеристики стохастической сетевой модели рас­ сматриваемого класса, представляющей аналог переда­ точной функции в системах автоматического регулиро­ вания.

Рис. 5.3.2. Использование <p (s)-функций.

Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим пример для сети, изображенной на рис. 5.3.2. Сеть пред­ ставлена четырьмя контурами первого порядка, для ко­

тельное выражение в виде

ф!фзф5ф7

фе(«)

1—фіф2—фзф4 —ф5фв + фіфгф5фв

Равносильный эффект дает применение формулы Месона [5.21]:

фэ (0) = 1, из (5.3.24) получаем:

Вкачестве производящих функций моментов удобно использовать экспоненциальные функции (например, характеристические) и соответствующие им семиинвари­ анты, на основе которых могут быть получены необхо­ димые числовые характеристики распределения вероят­ ностей для отдельных фрагментов и стохастической се­ ти в целом. Семиинварианты находятся по известной формуле

за<я

&э = - j — I n £ a ( s ) при s = 0.

С точки зрения практического использования пред­ ложенной математической схемы возникает вопрос о получении в качестве исходных данных для расчета и анализа только что рассмотренной модели вероятностей возможных исходов. В качестве оценок последних на этапах проведения испытаний и ввода в строй сложных комплексов могут быть приняты коэффициенты готов­ ности, выведенные в работе [5.46].

Определение вероятностей переходов в стохастиче­ ских сетевых моделях. Допустим, что при построении Стохастической сетевой модели программы создания

формации. Очевидно, такого рода предпосылки не дол­ жны расходиться с общей тенденцией теории статисти­ ческих решений и должны подчиняться алгебре теории вероятностей. В теории вероятностей, теории игр и ста­ тистических решений и их приложениях [5.25—5.27] су­ ществует множество прикладных задач, которые укла­ дываются в рассматриваемую математическую схему альтернативных сетей, характеризующих процедуры последовательного выбора из множества альтернатив в ходе развития различных процессов действительности. Характерно, что для всех рассматриваемого типа про­ цессов стохастические сети служат моделями проблема­ тичных ситуаций, в которых обязательным повторяю­ щимся элементом в длинной цепи событий является выбор из множества исходов или альтернатив. В свою очередь, неотъемлемыми элементами процесса выбора и связанного с ним принятия решений являются поня­ тия состояния природы и неопределенности, которые с позиций теории решений трактуются следующим обра­ зом [5.27, 5.28].

Существует так называемая статистическая неопре­ деленность, которая происходит от элемента случайно­ сти в действительном мире. Этот тип неопределенности наиболее простой, так как определяется статистически­ ми закономерностями случайных событий, проявляющи­ мися в рассматриваемом частном случае. Разумные предположения относительно неизвестных закономерно­ стей и их использование могут существенно снизить степень статистической неопределенности. Именно тако­ го рода неопределенность сопутствует многим ситуаци­ ям принятия решений, описываемым с помощью стоха­ стических сетевых моделей.

Второй этап неопределенности возникает в том слу­ чае, когда имеется конечное число объективных уело-

вий, но невозможно получить вероятности каждого из них, другими словами, неизвестно, какой из законов слу­ чайных событий действует в данном конкретном случае. И тот и другой тип неопределенности часто классифи­ цируют с точки зрения анализа систем [5.29]. Тогда раз­ личают неопределенность факторов, связанных с плани­ рованием и управлением сложными вероятностными объектами. Неопределенностям такого вида, как прави­ ло, сопутствуют ожидаемые потери, средняя ошибка и

в отношении вопросов стратегии. Как следует из пере­ числений, понятие неопределенности, трактуемое с пози­ ции системотехники и анализа систем [5.28, 5.29], соот­ ветствует математическому понятию неопределенности

втеории решений.

Впредлагаемых в настоящем параграфе математи­ ческих схемах понятие неопределенности нами интер­ претируется как неопределенность в области техники, которая доминирует в проблемах, связанных с созда­ нием новых объектов и решением сложных задач тех­ нической кибернетики.

перехода системы из одного состояния в другое. Пред­

имеющим очень большое сходство с вероятностью пере­ хода и исчисляемым в соответствии с алгеброй теории вероятностей [5.30,5.31].

Пусть принимающий решение начинает свое иссле­ дование с того, что определяет возможное число со­ стояний п, в которые может перейти система, и пытает­ ся получить информацию относительно времени перехо­ да в каждое из этих состояний или потерь, связанных с

аналогичным переходом (т. ё. относительно некоторой величины т) . При этом возможны следующие ситуации: 1) известны время и стоимость перехода (потери, свя­ занные с переходом); 2) не известно ни то, ни другое; 3) известны вероятностные характеристики времени перехода, или стоимости перехода, или того и другого.

Во всех трех случаях, независимо от имеющейся ин­ формации, возникает задача формулирования правил перехода, исходя из сложившейся на этот момент ситу­

Формулируем критерий перехода системы из одного состояния в другое следующим образом: коэффициенты правдоподобия возможных исходов обратно пропорцио­

вей дерева исходов, отождествляющие либо время пере­

Имеем п уравнений вида (5.3.26), в которых коэф­ фициент рц должен удовлетворять алгебре вероятно­ стей, т. е.

h=i

если исходы несовместны и составляют полную группу событий. •

Решая совместно уравнения (5.3.26) и (5.3.27), по­ лучаем общую формулу [5.30]:

l=i

Нетрудно видеть, что сформулированный критерий хорошо согласуется с общими идеями оптимизации про­ цесса выбора наиболее предпочтительных переходов системы из состояния в состояние. Действительно, в ре­ альных системах более вероятен переход с меньшими потерями. Однако следует отметить, что получившиеся при этом коэффициенты правдоподобия носят ясно вы­ раженный априорный характер.

Следующим важным шагом развития математиче­ ской схемы принятия решений в местах разветвлений, очевидно, должен быть шаг, связанный с учетом слу­ чайного характера величин, от которых зависят введен­ ные коэффициенты правдоподобия. Другими словами, наибольший интерес представляют случаи, когда время или стоимость перехода либо неизвестны, либо пред­ ставляют собой случайные величины, подчиняющиеся заданным законам распределения вероятностей. Рас­ смотрим эти случаи с целью получения распределения вероятностей переходов.

Продолжая рассматривать стохастическую сеть как модель некоторой системы, описываемой с помощью особых состояний, отождествляемых а-вершинами, по­ ставим задачу определения законов распределения ве­ роятностей возможных исходов, если известны законы распределения случайной величины т. Эта случайная величина в соответствии с принятым соглашением влия­ ет на вероятность выбора очередного состояния, в кото­ рое может перейти система. С другой стороны, согласно введенному критерию (5.3.28), известна функциональ­ ная зависимость некоторой величины рц, названной коэффициентом правдоподобия, от тг > Таким образом, возникает задача определения законов распределения вероятностей возможных исходов для любой произволь­ но выбранной а-вершины дерева исходов, если известен закон распределения некоторых величин, от которых зависят вероятности названных исходов.

Предполагай, что коэффициенты правдоподобия яв­ ляются случайными переменными, определим распреде­ ления вероятностей возможных исходов для каждой д-вершины дерева исходов. При этом рассмотрим сле­ дующие варианты:

f(x)=0 в остальных случаях.

Здесь а, а, у, b — параметры бета-распределения.

Параметры распределений в этих случаях считают­ ся известными. Для удобства рассмотрения и простоты

чае. Однако, как будет показано ниже, полученные ре­ зультаты при необходимости могут быть распростране­