книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством

симума; аналогично для каждого tj из блока a,j вычисля­

последовательности из уь устанавливает признак «еди­

Я21 — печатает результат из узКонец.

По описанному алгоритму составлена программа для ЭВМ «Минск-22». Расчеты по данной программе показа­ ли, что К — отношение количества реализаций, необхо­ димых для получения одинаковых результатов методом

п

ния [2.12] А, = 2,5 т . Если учесть, что для практических за-

более эффективным является метод перемещения крити­

чается в анализе ряда отсортированных случайных пере­ становок. В процессе анализа рассматриваются после­ довательно все блоки с обрамляющими их критическими столбцами; при этом внутри блока находится такой эле­

процесс обрывается в том случае, если на каком-то этапе достигнут лучший результат либо если просмотрены все

и определяется целесообразность ее дальнейшего анали­ за. После некоторого наперед заданного числа таких ша-

Ш

гов вычисления обрываются и фиксируется последова­ тельность, на которой был достигнут наилучший резуль­ тат. Для матриц, у которых т < й < 3 т , вероятно, имеет смысл проводить анализ каждой последовательности ме­ тодом транспозиций и методом перемещения критиче­ ских столбцов одновременно. Такого рода вычислитель­ ная процедура увеличивает «глубину» анализа критиче­ ского пути, но объем вычислений при этом значительно возрастает. Вопросы целесообразности совместного ис­ пользования описанных алгоритмов и характер такого сочетания требуют дополнительного исследования. В опи­ санных выше алгоритмах каждая новая случайная пере­ становка из <п элементов формируется так, что ее вероят­ ность равна — . Естественно, что любой из эффективных

методов целенаправленного случайного выбора может повысить эффективность предлагаемых методов. Целесо­ образно, например, чтобы оператор Ф 2 реализовал цеп­ ной метод Монте-Карло либо использовал опробованные метрические подходы, изложенные в § 2.5 настоящей главы.

§ 2. 7. Вероятностные методы решения одномаршрутных задач очередности с матрицей, близкой к квадратной

В данном параграфе будет рассмотрен вероятностный подход к решению одномаршрутных задач очередности. При оптимизации некоторого функционала, построенного на исходных параметрах задачи, наибольшего эффекта достигают те методы, которые максимально используют конкретную информацию о данном объекте.

Рассмотренные в предыдущем параграфе статистиче­ ские методы решения одномаршрутных задач достаточно

дач, описанные ниже, свободны от этого недостатка, од­ нако степень приближения к оптимуму для таких мето­ дов хуже, чем для методов, рассмотренных ранее. В связи

с этим возникает следующая схема применения вероят­ ностной модели решения одномаршрутных задач. Снача­ ла может быть получено некоторое хорошее решение ве­ роятностным методом, а затем данное решение уточня­ ется методом транспозиций либо методом перемещения критических столбцов [2. 14].

Класс вероятностных методов решения, к которому мы переходим, прямо и на первом шаге алгоритма ис­ пользует информацию, сосредоточенную в исходной мат­ рице, что отличает эти методы от рассмотренных выше алгоритмов статистического поиска, где исходная инфор­ мация использовалась косвенно и по частям, так что на каждом шаге рассматривалась информация о путях, число которых было равно выбранному количеству проб.

Сформулируем общий подход к решению задач оче­

можные подмножества некоторого фиксированного мно­ жества, в частности перестановки из п элементов либо другие комбинаторные объекты. Пусть между числовы­

(S. д. и. Голенко

можен и другой подход, при котором используется метод случайного поиска, осуществляемого в окрестности Un, где величина а определяется в зависимости от /, необхо­ димой точности и других факторов. Чтобы воспользовать­ ся описанным подходом к решению задач очередности, необходимо прежде всего найти функцию, обладающую свойствами, аналогичными Y(u).

Для выяснения этого вопроса рассмотрим прежде всего метод решения задачи о перестановке, минимизи­ рующей математическое ожидание длины критического пути.

Пусть задана технологическая матрица Л и предполо­ жим, что каждый конкретный путь / на матрице выби­ рается случайно, причем вероятность выбора каждого из возможных путей одинакова. Необходимо найти такую перестановку я*, чтобы

Обозначим сумму длин всех путей произвольной мат­ рицы Л через ф (Л). Так как все матрицы Ал при я є П имеют одинаковое возможное количество различных пу­ тей, которое подсчитывается как число сочетаний из т + + я—2 элементов по т — 1 элементу, то в силу равнове­ роятности выбора каждого отдельного пути решение сформулированной задачи эквивалентно определению перестановки я*, для которой

Чтобы определить ф(Л), можно вместо суммирования длин всех путей использовать сумму произведений каж­ дого элемента a-ij на величину Ьц — количество различ­ ных путей матрицы А, включающих элемент а^, тогда

тп

и (2.7.7) дают возможность вычислить значение ср(Л). Обозначим через Л / матрицу, /-й столбец которой сов­

падает с і-м столбцом исходной матрицы А, а все осталь­

Минимизировать на множестве п\ возможных вариантоз сумму, составленную из элементов матрицы Т, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки. Таким образом, задача о перестановке, минимизирующей мате­ матическое ожидание длины пути, сводится к задаче о назначениях [2.15], для решения которой разработаны достаточно эффективные алгоритмы, а математическое ожидание длины пути в данной задаче является анало­ гом функции Y(и).

Рассмотрим алгоритмы приближенного решения одномаршрутных задач очередности, основанные на опи­ санных выше методах, эвристическое обоснование кото­ рых заключается в следующем. В задаче очередности необходимо отыскать такую перестановку столбцов, при которой длина максимального пути достигла бы миниму­ ма. Поскольку каждому пути (в том числе и критическо­ му) на матрице соответствует определенное число «со­ седних» путей (т. е. путей, включающих элементы рас­ смотренного пути), то увеличение длины любого пути приведет к увеличению длин некоторого количества «со­ седних» путей и в результате к увеличению математи­ ческого ожидания длины пути. Другими слова-ми, между критическим путем матрицы F (А) и суммой длин всех путей ц>(А) должна существовать положительная корре­ ляционная связь. Поэтому естественно предположить, чго перестановка я*, обеспечивающая минимум величины ф ( Л я ) , дает достаточно хорошее приближение решения задачи очередности и, наоборот, точное решение задачи очередности необходимо искать среди приближенных ре­ шений задачи минимизации математического ожидания.

Проверка гипотезы о наличии статистической связи между указанными задачами осуществлялась с помощью специальной программы [2. 14], в соответствии с которой для каждой случайной перестановки рассчитывались ве­ личины критического пути и математического ожидания длины пути, после чего осуществлялся переход к новой перестановке столбцов. После просчета определенного количества вариантов подсчитывались дисперсии ука­ занных величин и коэффициент корреляции. Расположе­ ние 200 точек, последовательно рассчитанных для тесто­ вой задачи 20X20, показывает наличие корреляционной связи между функциями. Почти аналогичная картина была получена для тестовой задачи 10X50.

Рассмотрим Два способа решения задачи очередности вероятностными методами.

Алгоритм 1 реализует детерминированную процедуру решения задачи очередности и может быть использован в тех случаях, когда результаты необходимо получить как можно быстрее, в то время как существенная близость полученного решения к оптимальному из-за неизбежных погрешностей в исходных данных и воздействия случай­

п определяются по исходной матрице А. Если окажется,

Этап 3 завершает вычисления, а перестановка я* прини­ мается в качестве приближенного решения задачи оче­ редности.

распределенную на (0,1) случайную величину а. Прове­

ются нули; 2) присваиваем ix значение 1 и переходим к

п) записываются нули; 2) присваиваем i\ значение k и переходим к этапу 6. Если условие выполнено, то перехо­ дим к шагу k + 1, и т. д. Так как а ^ ' 1 , то в худшем случае через п шагов этот процесс оборвется и мы перейдем к этапу 6.

i2 значение k и осуществляется переход к этапу 7. Если условие выполнено, то переходим к шагу k+l.

Последующие этапы имеют аналогичную последова­ тельность операций. На (п + 4) -м этапе формирование по­

памяти вместо ранее записанных Fj и щ, а затем осу­ ществляется переход к этапу 5. При невыполнении усло­ вия F(A„)<Fj переход к этапу 5 выполняется сразу.

Процесс вычислений можно закончить после просче­ та определенного числа вариантов, причем лучший из достигнутых результатов фиксируется в памяти ЭВМ и по окончании счета печатается.