книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством

той строке и второму столбцу технологической матрицы должна быть запись: 3/1; 8/0,7. Матрица Т является стан­ дартной моделью для решения задачи календарного пла­ нирования, формулируемой следующим образом.

Требуется найти наилучший, по некоторому критерию К, план-график (расписание) выполнения всех операций по обработке каждой детали во времени на соответству­ ющем оборудовании.

Решение задачи может быть 'представлено в виде мат­ рицы запуска деталей

Л = 11 (пц,Тц)\\,

где (rtij, Тц) — упорядоченная пара чисел, которая нахо­ дится на пересечении t'-й строки и /-го столбца и обозна­ чает, что /-я по порядку обработки операция £-й детали запускается в производство в момент времени Тц на стан­ ке с номером tiij^Nij.

Расписание в смысле данного выше определения так­ же должно удовлетворять ряду требований и ограниче­ ний, наиболее часто встречающихся в производстве. Прежде всего имеется в виду, что tij является суммой подготовительно-заключительного и операционного вре­ мени, затраченного на деталь либо партию деталей, в за­ висимости от того, что понимается под di. В качестве ог­ раничений выступают следующие положения:

1)любая операция выполняется на конкретном стан­ ке от начала до конца без перерывов;

2)в любой момент времени любой станок может вы­ полнять не более одной операции;

3)любая операция детали di может быть начата пос­ ле окончания предыдущих операций в технологическом маршруте МІ.

Расписание, удовлетворяющее ограничениям 1,2 и 3, называется допустимым. Если множество допустимых расписаний обозначить через D, то задача календарного планирования заключается в нахождении такого распи­ сания А* из множества D, которое минимизировало бы принятый критерий

К(А*) = min К (А).

Сформулированная задача является достаточно уни­ версальной, и ряд конкретных производственно-организа­ ционных условий календарного планирования укладыва­ ется в описанную модель. То обстоятельство, что иногда

строят модели, учитывающие отдельно величину подго­ товительно-заключительного времени и необходимость совместной обработки некоторых деталей на одном стан­ ке, не имеет принципиального значения, так как послед­ нее может быть учтено несложной трансформацией ис­ ходных данных в поставленной задаче.

Более простой и менее общей является модель, кото­ рая упоминается в литературе [2.5] как задача очереднос­ ти. В отличие от предыдущей задачи множество допусти­ мых расписаний в задаче очередности помимо ограниче­ ний 1, 2 и 3 должно удовлетворять еще следующим допол­ нительным ограничениям:

4)каждая операция любой детали может быть вы­ полнена только на одном станке;

5)все детали имеют одинаковые технологические маршруты, причем фиктивные операции (операции с ну­ левым временем) отсутствуют;

6)технологический маршрут предусматривает выпол­ нение всех операций на различных станках;

определяет расписание А, поэтому решение задачи оче­ редности сводится к отысканию наилучшей в смысле не­ которого критерия перестановки я, определяющей поря­ док обработки деталей. Планы без неоправданных про­

—

станках порядок прохождения деталей может быть раз­ личным.

Рассмотренные типы задач календарного планирова­

—

календарного планирования необходимо указать тип за­ дачи и критерий оптимальности.

При выборе критерия оптимальности учитываются следующие общие цели, стоящие перед предприятием:

— оптимальное использование ресурсов при заданной производственной программе;

— построение производственной программы, опти­ мально использующей ресурсы предприятия.

В детальной формулировке эти цели можно рассмат­ ривать как прямую и обратную задачи календарного планирования. Будем понимать под критерием оптималь­ ности некоторый функционал К ( А ) , определенный на календарных планах А (его нередко называют целевой функцией). Наилучшему плану должно соответствовать экстремальное значение этой функции. Выбор критериев оптимальности для каждого конкретного случая дикту­ ется конкретными организационно-производственными условиями. В ряде работ предлагаются следующие кри­ терии:

Аі

где Tim.=^Ti,n,+t)m.—время окончания обработки по­

следней операции /-и детали; критерий минимизации суммарного пролеживапия де­

талей в заданный период времени

/ < 2 ( Л ) = т і п 2 2 (Тіі+І-Тп),

Аі і

где Tij = Tij + tij — время окончания обработки на і-й де­

Аі >

критерий минимизации отклонения от плановых сро­ ков окончания обработки каждой детали (партии дета­ лей)

где ТІ — заданный срок окончания обработки і-й детали или партии деталей.

Могут быть предложены критерии, минимизирующие стоимость обработки деталей, стоимость незавершенного производства и ряд других.

Наиболее часто при математическом моделировании применяется критерий К \ . Его применение многими авто­ рами объясняется тем, что он косвенно снижает издерж­ ки производства. Однако это мнение не всегда достаточ­ но обосновано, поскольку не учитывает реальные условия производства.

Действительно, уменьшение общего срока обработки должно снижать простои оборудования, но, с другой сто­ роны, в реальном производстве есть переходящие заделы, которые дают возможность увеличить загрузку оборудо­ вания там, где она низка. Выход из этого положения сле­ дует, вероятно, искать в отказе от универсального кри­ терия и в поисках критериев «индивидуальных», обеспе­ чивающих достаточную эффективность производства для конкретных организационно-производственных условий.

Переходя к описанию методов решения поставленных выше задач, следует заметить, что детерминистические методы исследования моделей календарного планирова­ ния исторически предшествовали статистическим мето­ дам и внесли в последние ряд полезных эвристических приемов. В то же время практическое использование ме­ тодологии оптимального календарного планирования, по мнению большинства исследователей, связано с разработ­ кой статистических методов. Работы по созданию при­ ближенных вычислительных методов с помощью рандо­ мизированных правил предпочтения, процедуры МонтеКарло, «обучающихся» схем и их сочетаний являются в настоящее время весьма перспективными.

§ 2. 3. Детерминистические и статистические методы исследования моделей календарного планирования

Модели календарного планирования представляют собой особый класс моделей со сложными алгебраичес­ кими структурами и дискретным характером оптимизи­ руемых функций. В последнее время под давлением на­ сущных вопросов практики методы исследования моде­ лей календарного планирования интенсивно разрабаты-

ваются в рамках развивающейся в последнее время тео­ рии расписаний.

Несколько условно детерминистические методы мож­ но разделить на две большие группы:

—точные методы, которые приводят к нахождению оптимального расписания за конечное число шагов;

—приближенные методы, приводящие за конечное число шагов к такому расписанию, которое в смысле при­ нятого критерия незначительно отличается от оптималь­ ного.

К точным методам относятся: полный перебор вариан­ тов, методы математического программирования (линей­ ного, нелинейного и динамического), последовательный анализ вариантов, метод «ветвей и границ», комбинации метода «ветвей и границ» с последовательным анализом вариантов.

Остановимся на некоторых из перечисленных мето­ дов. Полный перебор означает, что мы последовательно просматриваем все возможные варианты (планы), под­ считываем для каждого из них значение целевой функции и выбираем тот, для которого эта функция имеет наи­ меньшее значение.

Неэффективность такого подхода следует из того, что в задаче очередности (упрощенной задаче календарного планирования) количество действительных планов для п деталей составляет га! и даже для сравнительно неболь­ ших га эта величина превосходит возможности ЭВМ.

Использование методов математического программи­ рования для решения задач календарного планирования широко обсуждалось в литературе [2.1, 2.5]. Трудности, возникающие на этом пути, связаны с необходимостью решения задачи целочисленного программирования и на­ личием большого количества ограничений и переменных. Те простые примеры иллюстративного характера, кото­ рые удавалось решить методами линейного целочислен­ ного программирования, могли быть решены методом пе­ ребора с меньшим объемом вычислительных работ. Не­ которые исследователи считают, что такое положение не случайно, так как «насильственное» включение ярко вы­ раженных комбинаторных задач в схемы линейного про­ граммирования может привести только к усложнению решения задачи.

Методы динамического программирования в приме-

'правила отбора вариантов, лежащие в основе этих алго­ ритмов, с «идеальными» правилами отбора, вытекаю- ш.ими из точной .постановки задачи. Для задач календар­ ного планирования правила отбора вариантов реализу­ ются посредством правил предпочтения (приоритетов), отражающих логику и соображения, накопленные в ре­ зультате личного опыта. Правила предпочтения исполь­ зуются в процессе моделирования расписания при разре­ шении конфликтных ситуаций. Разрешить конфликтную ситуацию — значит поставить на обработку одну из де­ талей на данный станок. Реализация каждого из правил предпочтения состоит из двух этапов:

— вычисления функции предпочтения, которая каж­ дой операции из множества М операций, готовых к об­ работке на некотором освободившемся станке, ставит в соответствие определенное число;

•—выбора из множества М операции, для которой это число наименьшее (наибольшее).

Наиболее представительными и общими правилами являются:

правило SIO (Shortest imminent operation) [2, 2.], со­ гласно которому отдается предпочтение той детали из множества готовых к обработке на освободившемся стан­ ке, у которой операционное время обработки на этом станке наименьшее;

правило LRT (Longest remaining time) [2.3, 2.4], тре­ бующее выбора детали, у которой сумма времени выпол­ нения оставшихся операций наибольшая.

Приведем несколько эвристических методов, разрабо­ танных для решения задачи очередности, критерием ка­ чества которой является минимальное время завершения всех работ. В этих методиках приоритеты выступают как

В случае конфликтной ситуации каждое из конкурирую­ щих изделий располагается на первом месте, после чего определяется суммарное время простаивания станков для каждого из вариантов (время простоя оценивается до полного завершения всех работ).

В качестве изделия, подлежащего обработке, в пер­ вую очередь выбирается то, которому отвечает наимень-

тетав (восьмерки) и т. д., пока получится результирую­ щая очередность для всего ряда изделий.

При каждом сравнении, как нетрудно проследить, имеются две последовательности комбинаций, которые идентичны, за исключением последней пары, находя­ щейся в двух возможных вариантах. Поэтому для выб­ ранного критерия (например, полного времени заверше­ ния обработки) при каждом сравнении требуется не­ большое количество дополнительных вычислений, если мы в состоянии хранить всю промежуточную информацию в памяти ЭВМ; при этом, когда число изделий удваи­ вается, время вычислений на ЭВМ увеличивается приб­ лизительно в три раза. Если промежуточная информа­ ция на ЭВМ не сохраняется, то необходимое для вычис­ лений время при удваивании количества деталей воз­ растает приблизительно в 4 раза. Естественно, что при решении задачи данным методом рассматриваются не все возможные очередности, а только такое подмноже­ ство их, в котором усматривается «хороший» порядок; чем больше это подмножество, тем вероятнее получить хорошую конечную 'Очередность. Однако при этом сле­ дует учитывать, что время вычислений на ЭВМ соот­ ветственно увеличивается.

Метод сдваивания. Этот метод, являющийся вариан­ том предыдущего метода, использует перебор меньшего числа комбинаций. Это связано с тем, что пара, квартет и т. д. рассматриваются как фиксированные. Если, на­ пример, фиксируются пары (а, Ь) и (с, d), то при обра­ зовании квартетов можно сравнивать только очередности (а, Ъ, с, d) и (с, d, а, Ъ) и из них выбирается та, которая соответствует лучшему значению оптимизируемой функции. Конечно, в этом случае мы получим худшее приближение к оптимуму, чем в методе сращивания. Однако этот недостаток, вызванный перебором меньше­ го числа комбинаций, компенсируется уменьшением объема вычислений. При применении метода сдваивания время вычислений увеличивается примерно в два раза, когда число изделий удваивается. Иногда метод сдваи­ вания может давать даже лучшие результаты, нежели метод сращивания, так как комбинации, которые испы­ тывает первый метод, могут не совпадать с теми, кото­ рые испытывает другой метод. Например, метод сращи­ вания из двух пар (а, Ъ) и (с, d) отбирает (а, с), (а, с,

d) и (а, с, d, b) и не образует квартета (а, Ь, с, d), кото­ рый может быть выбран методом сдваивания. В среднем метод сращивания дает лучшие результаты, чем метод сдваивания, но требует большого объема вычислений.

Метод обмена I. Построенную очередность располо­ жения изделий (каким-либо из описанных выше мето­ дов) можно улучшить обменом смежных деталей. Пос­ ледний имеет место лишь в том случае, когда значение критериальной функции улучшается. Обмен продолжа­ ется до тех пор, пока не будет установлена очередность, у которой обмен может только ухудшить чКритериальную функцию.

Метод обмена II [2. 5]. Как и предыдущие, этот ме­ тод основан на сортировке числовой информации. Бу­ дучи опробован на задачах больших «площадей» он дал хорошие результаты и поэтому представляет интерес.

мененный к какой-либо перестановке Р, осуществляет транспозицию элементов pi и pj. Транспозиция элементов плана, произведенная оператором pif и последующее вы­ числение критериальной функции называется шагом по­

к перестановке с наименьшим значением целевой функ­ ции на множестве перестановок {Р1 *}.

Перестановка Р\1=Р2\ принимается за исходную для второй итерадии; в случае получения нескольких перес­