книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством

мерную

выборку

перестановок

из

^-окрестности

ЗТо,

можно

применить

следующий

поэтапный

алгоритм.

Этап

1.

Делим

отрезок

(0,1)

на

R

частей

в отно­

шении

H j - l

ПІ):

Я 4

- 2

2

1

2

(г,

2

(г, п і ) : - :

2

{г,п{)-

2

(г,пх),

Г=1

Г=1

Г=1

Г=г1

где

ПІ = П—

1

и

Ri = R.

Этап

2.

После

того

как

отрезок

(0,1)

разделен

на

R частей,

генерируем

go — случайную

величину,

равно­

мерно

распределенную

на

(0,1).

Если

| 0

попадает

на

1-й интервал отрезка

(0,1),

то

полагаем

aj = г—1.

Этап

3.

Полагая на

этапе

1 Rj+i

= Rj—ctj, п^\

= п^—-1

( 1 < / < п — 1 )

и повторив этапы

1 и

2,

получим ctj+i.

Этап

4.

Построив

полностью

индекс

(аь аг,...,

an-i),

находим

по

нему

соответствующую

перестановку.

Проведенные

на

ЭВМ

исследования

показали,

что

метрики

и, в частности, от возможностей ее для

более

глубокой

детализации структуры

исследуемого

про­

странства.

Так,

например,

при

организации

статистического

поиска с

помощью

цепной

и

лексикографической

мет­

рик для

задачи

календарного

планирования

mXnXl

(I — количество

операций

каждой

детали) количество

недействительных

планов

на

один

действительный

лексикографической

метрике, при одних

и

тех

же

^-окрестностях (расчеты проводились для

R = 3).

Это

указывает на

то, что эффективность поиска

с приме­

нением лексикографической метрики в 5—6

раз

боль­

ше, чем при

цепной

метрике. Перечисленные

ранее

ной

и

лексикографической

позволяют ожидать боль­

шую

эффективность последней.

Поиск

с пересчетом

вероятностных

характеристик.

Метод

направленного

случайного поиска,

связанный с

пересчетом

вероятностных

характеристик

случайного

дующей задачи

календарного планирования. Имеется

m одинаковых

станков, на которых нужно обработать

равно

tij

(/=1,2). Каждая деталь должна

пройти об­

работку

на одном станке и только один раз. Требует­

ся найти

оптимальное расписание. Эта

задача

матема­

тически

сводится к следующей.

В

п=

(п, + я2 )-мерном

пространстве

задано

множе­

ство

точек

с булевыми

переменными,

т.

е.

D = { X } ,

где Х={х\...хп),

ХІ = 0 или 1 означает,

что

на

освобо­

ляет

некоторое

расписание

запуска

деталей.

На множестве

D

задана

некоторая

функция

К(Х)—

значение цикла. Тогда алгоритм решения

задачи

мож­

но

представить

в

следующем

виде.

1.

Задаем

некоторое

чисто

^о-

2. Выбираем

за

v-e

расписание

Xv=

(xvu

xv2,...,

xvn)

такое, что

К(Х»)>і0.

где

3.

Вычислим

pv

= X

Я ( Г ) - ; „

д ^ о ,

К выбирается

из

условий

улучшения

сходимости.

—

4.

Моделируем

случайный вектор

| v

+ ! =(

),

для

которого

+1_

|

х{*

с

вероятностью

1 —pv

•

t

\

l—Xiv

с

-вероятностью

p v

Реализацию

£ v + 1

обозначим

через

Xv+1

5. Вычислим K(Xv+])

и сравним с до­

вели K(Xv+l)>f0,

то

переходим

к

п.

2.

.6. Запоминаем

Xv+X; уменьшаем

t0

так,

чтобы

io^K(lv+l)

и переходим

к

п. 4

Признаком

окончания

процедуры

является

v>N,

где

N задано,

и за оптимальное

принимаем

расписание

Xv+l.

Процесс

моделирования

Xv,v=l,...,N

можно

представить

как

случайное

блуждание

в

области

D,

отвечающее

некоторой

марковской

цепи.

Состояния

X,

для которых

K(X)^t0,

являются

поглощающими.

Известно, что

вероятность

попадания

из

любого

со­

дачи

со

следующими

исходными данными [2,9].

т = 7,

« 1

= 115,

я 2 = 20, % = 3.

исследовалось

На

ЭВМ

«БЭСМ-ЗМ» за минуту

около

60

расписаний.

Цикл,

соответствующий

наилуч­

шему

расписанию,

составил

/( = 720

час. Ранее

за ме­

сяц

(К —717

час.)

на

т = 7 выполнялось

число

деталей

П ! = 93

и

п2

= 20.

§ 2. 6. Вероятностные методы решения

одномаршрутных задач очередности

с прямоугольной матрицей

Выше, в

§ 2.2

настоящей

главы,

мы

уже отмечали,

ных деталей.

Деталь

di(i=

1,2,..., п) характеризуется

ВеКТОрОМ di—

(til, ti2,

. . . ,tim)

, ГДЄ t{j — ВреМЯ обработ-

шения

обработки последней

детали

достигает

миниму­

ма при условии, что последовательность

обработки де­

талей

на всех станках одна

и та же

и

каждая

опера­

имущество

некоторого

метода

оптимизации проявляет­

ся в том,

что либо этот

метод

за фиксированное время

Эффективность

статистических

методов

оптимизации,

как правило, сравнивают

с чисто случайным поиском

(метод Монте-Карло), который

в

этом

случае

стал

эталоном.

Можно распространить эту методику на все пред­

лагаемые методы

решения

задачи

очередности.

Если

эффективность метода Монте-Карло принять за

едини­

цу, то эффективность какого-нибудь

другого

метода

можно считать равной 9

единицам;

эквивалентные

нения

различных

методов

поиска и выбора одного

из

них для решения

каждой

конкретной

задачи

очеред­

ности

необходимо

строить

зависимость

в = /(7п,

п),

ко­

торая

является полной характеристикой эффективно­

сти метода.

В

предыдущих

параграфах данной

главы

описан

рода

«гибридизации»

детерминированных

и

статисти­

ческих методов.

Ниже строятся алгоритмы последовательного улуч­

шения

плана

(порядка

обработки

деталей),

сочетаю­

щие случайный выбор

последовательности

с

анализом

вариантов ее

«исправления».

Рассмотрим формальную постановку задачи очеред­

ности

на матричной математической модели. Для

этого

введем

определения:

Путем на произвольной

матрице

\\йм\\ (І=

1, 2, ... , m,

k = \,

2 , . . . , n)

называется

сумма (m + n

1)

слагаемых,

составленных таким образом, что первое

слагаемое

равно

ап, последнее

атп

и любые

два

—рядом

втоящих

зует сумма

элементов

матрицы,

расположенных

по

«лестнице»,

ведущей из

ап

в

атп.

Критическим

путем

F(\\aik\\)

на

матрице ||а,-ь|| назы­

вается путь, который

не

меньше

любого другого

пути

на

данной

матрице, а

слагаемые

этого

пути

называют­

ся

критическими

элементами.

Рассмотрим множество Q, состоящее из п! матриц,

образованных

из исходной

матрицы

||аг -й || путем

про­

извольной

перестановки

столбцов.

Каждый

элемент

этого множества Цая || может быть

однозначно охарак­

теризован

перестановкой

n—{iu-k,

•••,*«)>.

указываю-

щей порядок

следования

столбцов исходной матрицы,

т. е.

O l t j >

ali2

>•••> aUn

^ 2 І ! ,

# 2 t 2

>•••> а 2 і „

а"

=

щего

некоторой

последовательности

а-элементов на

||ая || запись fa{n).

Вместо ^(Ца1 1 !!)

для простоты будем

использовать символ F(jt) либо

(если

не

возникнет

двусмысленности)

просто F.

Чтобы продемонстрировать удобство введенных по­

нятий,

покажем

оптимальность алгоритма

Джонсона

для задач очередности с матрицей

2Хп.

Оптимальность

алгоритма Джонсона.

Не

уменьшая

общности, можно

считать столбцы матрицы

2 Х п пе­

ренумерованными

так, что последовательность

1,2, . . . , , п

ственно

из алгоритма

следует, что всегда

найдется та­

кое

k(l^k^.n—

последний

невычеркнутый столбец),

что

і аіа^а^;

а1а^а2а'<

« і р ^ й з р ,

если

a<fi<k

(2.6.1)

I а 2 а ^ а 2 р ; a2a^ala;

а 2 р ^ а Ц } ,

е с л и

a > P > f e -

Пусть

критическим

путем

последовательности

1, 2 , . . . ,

п является

F = S аи+

2

a2i

(2.6.2)

1=1

l=z

Чтобы доказать оптимальность исходной последо­

вательности,

достаточно

показать,

что

произвольная

последовательность столбцов i\, i2,...,

t n

содержит

путь

}~^F.

С этой

целью

рассмотрим

отдельно

случаи

z = k

z>k,

z<k.

При

z = k

определяем

для

последовательности

г'ь к,...,in

такую

величину

у,

что

iy = k, и,

используя

(2.6.1)

и

(2.6.2),

немедленно

получаем

fy=

V

п

ац

>F.

2 а«

+

2

(2.6.3)

При

j=l

j = Y

1,2,

выделяем

из

последовательности

множество

Q=(t,

t + l,

t+2,...,t

+ m),

где

,

( k,

если

a2k^aik

( « + 1 ,

если

a2ft>aift

iy

Далее

определяем

величину

у

так,

чтобы

явля­

лось последним

элементом

из

множества

Q в

ряду

h, Ї2,--.,іп.

Из (2.6.1) и (2.6.2) следует, что для опре­

деленной таким образом у неравенство (2.6.3)

всегда

выполняется.

При

z<k

множество

Q

определяем

так,

что

t = z

и t + m =

k,

если

aih<a2k

k—l,

если

aik>a2k,

а у является индексом

первого

в

ряду i\, i2,...,

i n

эле­

мента из Q. Нетрудно определить,

что и в этом

случае

(2.6.3)

также имеет

место.

Из

рассмотрения

этих

случаев

делаем

заключение,

что

алгоритм

Джонсона

определяет

оптимальную последовательность

столбцов

для матриц

2 Х « .

т,

п ~>2,

Для

задаче

матрицами

Ца^-Цтп, имеющими

в настоящее время неизвестен практически

реализуе­

мый метод

нахождения

оптимальной

последовательно­

произвольная

перестановка

я =

i2,...,

in) и

соответ­

ствующая

ей

матрица

||ал |].

Используя

алгоритм

Фор­

да

[2.26],

определим F(n)

и

выпишем

критическую

по­

следовательность элементов

(если

критических

после­

довательностей

несколько,

то выбираем

любую

из

них). В указанной последовательности

отметим номе­

ра

столбцов,

которые

встречаются

более

одного

раза

(т.

е. столбцы,

содержащие

более чем

один

элемент

из

критической

последовательности).

Я* — (t'l, І2,'">Ік-х-1, 'ft' ik-x+i,"',

ih-U ih-x, 6t+l>"' ' г 'п) •

Тогда

для любой

матрицы,

у которой п^ат,

име­

ет место

неравенство

P{F{n*)<F(n)}<

***

•

(2.6.6)

Например,

для

матрицы

10x100

транспозиция

двух

случайно

выбранных

рядом

стоящих столбцов

может улучшить исходный результат в

среднем

менее

чем один

раз на пять испытаний.

Из

описания

процедуры

разбиения

последователь­

ности

на

блоки

ясно,

что любому пути

на фиксирован­

Теорема

3.

Пусть критическому

пути

на

матрице

||ая || соответствует такая

последовательность

блоков,

что элементы iu

и iv принадлежат блокам, определяемым

аи

и av- Если перестановка

Яі получена

из я транспози­

цией элементов l ' u и iv, то

F(ni)<F(n)

= > a a t i U - a a

u i v

+ао

-аа

.

> 0

а,,г„

(2.6.7)

(А=>В

обозначает, что из

А

следует

В).

Из

(2.6.5) и

(2.6.7)

следует,

что

последовательность

Яі

может

оказаться лучше,

чем я, только

в том случае,

если элементы

\ и и і„ расположены

в разных блоках и

..

—а„ .

+ а

.

а

. > 0 .

а аиги

au\v

а « Ь

— «V»

наруживается лучший вариант, то далее второй

блок

сравнивается последовательно с каждым

из следующих

за ним блоков и т. д., пока не произойдет

сравнение

пред­

когда обнаружена лучшая перестановка,

которая затем

в таком же порядке анализируется, либо

после оконча­

Фигурирующие в описании специальные ячейки памя­

ти

имеют следующие условные обозначения:

М-—массив, содержащий элементы исходной матри­

цы

lloijll;

у0 — ячейка,

в которой хранится величина F— про­

межуточное значение критического пути;

у\ — рабочее

поле перестановки, с помощью которой

была получена величина F;

У2 — ячейка,

содержащая

значение

Fy —наимень­

шую из достигнутых величин критического пути;

уз —• поле, сохраняющее перестановку, на которой

по­

лучено значение Fy ^;

Y4 — ячейка,

отведенная для счета количества проана­

лизированных вариантов (случайных

перестановок);

Y5 — ячейка, в которую заносится

величина К — коли­

чество блоков в перестановке из у и

уе — ячейка,

сохраняющая

величину

і — номер

пер­

вого сравниваемого блока;

У7 — ячейка,

сохраняющая

величину

/ — номер

вто­

рого сравниваемого блока;

Y8 — ячейка,

сохраняющая

номера

переставляемых

столбцов.

Действия операторов заключаются в следующем:

Л[ — записывает

в М исходную матрицу \\а^\\,

в ячей­

ку

у2 заносит число,

которое

заведомо

больше

любого

Ф2 — формирует случайную перестановку п=

t2 ,

...,

i7l),

которая и засылается

с признаком

нуль в

уи

М

Л 3

— по перестановке

я

из

YI и

исходной

матрице

из

определяет

критический

путь F(n)

(прямой ход алго­

ритма Форда). Величина F посылается в YO;

РА — проверяет условие

F<.F^

(т. е. F

сравнивается

с содержимым

ячейки у2).

Если F<F-i2,

то

управление

передается оператору As,

при

F^F^—оператору

Ре;

А5

— величину F засылает

в ячейку

Y2, а

последова­

тельность я — в рабочее .поле уз;

Лз

сравнивает признак перестановки

из Yi с

едини­

цей. Если признак равен единице (это означает, что за­

писанная—

в yi перестановка получена транспозицией), то

передает

управление Ра, если же признак

равен нулю

(т. е. перестановка является случайной), то —

Pf,

Р 7 — проверяет условие F — Fy.2>6,

где

б — наперед

за; при

6 = 0 алгоритм практически мало

отличается

от

слепого

поиска; при F — Fy2^.6

управление передается

Рі2, в противном случае Ф2 ;

Р 8 — проверяет условие F<Fyo.

Если

F<Fy0

( F 7

q —

элементов, указанных

в ув",

ет

—

1) определяет

критическую последовательность

Аи

блоки; 2) в ячейку ys записывает величину

К — коли­

чество

блоков; 3)

в ячейку

Y6 и Y7 записывает

единицы;

Pi2

— проверяет условие j<K,

где величина / — содер­

жимое

ячейки у7,

а К — ячейки

у5. Е С Л И

j<.K,

то управ­

ление

передается

на А ] 4 ,

в

противном

случае — на Pi 3 ;

Л з

проверят

условие

i<cK

1, где

і — содержимое

ячейки—ув, а К — ячейки ys-

Если условие выполнено, то

—