книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством
.pdfИдея реализации второй оптимальной задачи (опти мизация по ресурсам) состоит в следующем. Производит ся случайный поиск в пространстве L r , минимизирующий
значение / = 2рД-г. Для каждого шага поиска проверяет-
ся возможность функционирования комплекса за время Го, полученное в процессе решения предыдущей опти мальной задачи. Если время превышает Т0 или если зна чение функционала / не уменьшилось, шаг поиска счита ется неудачным.
В результате решения двух оптимальных задач стро ится календарный план-график начала и окончания каж дой из разработок, минимизирующий общее время ком плекса разработок и высвобождающий (по отношению к этому минимальному времени) условно максимальный объем ресурсов. Заметим, что такого рода двухуровневая оптимизация позволяет построить оптимальный планграфик также для каждой работы сетевой модели по каждой из разработок, ввиду того, что время выполнения •разработок на втором уровне не меняется, а календар ный план-график для каждой из работ сетевой модели был построен нами на первом уровне оптимизации (от дельных сетевых моделей). Разница состоит лишь в том, что времена функционирования работ сдвигаются на оди наковый отрезок времени, соответствующий началу вы полнения разработок относительно нулевой точки от счета.
Процесс двухуровневой оптимизации завершается, та ким образом, построением календарного плана-графика работы всех элементов системы, причем каждый элемент имеет в своем распоряжении необходимое количество ресурсов. Под термином «элемент системы» мы подразу меваем исполнителя или коллектив исполнителей, вы полняющих отдельную работу, входящую в сетевой про ект. Разработка календарного плана-графика завершает стадию годового планирования, после чего начинают свою работу подсистемы сбора и обработки информации и оперативного управления. В процессе своего функцио нирования последняя также основана на применении двухуровневой оптимизации и проходит ряд этапов, ана логичных описанным в § 1.4 для случая управления се рийным производством.
Действительно, если рассогласование между плано-
вым и фактическим состоянием системы может быть при знано существенным, а первичные управляющие воздей ствия (без перераспределения ресурсов) недостаточны, начинает работать комплекс оптимальных задач. При этом вместо реализации трех оптимальных задач (по объему, времени и ресурсам) целесообразно применять двухуровневую (или многоуровневую) оптимизацию. Тогда все алгоритмы оптимизации, используемые на ста дии годового планирования, могут применяться и на ста дии оперативного управления.
В заключение параграфа отметим, что, формально говоря, управление системой будет тем лучше, чем чаще система будет опрашиваться. (В идеальном случае не прерывное управление соответствует непрерывному оп росу). Однако стоимость одного опроса может быть до статочно велика, и в этом случае стоимость слишком частых опросов становится соизмеримой с убытками, воз никающими от плохого управления системой, что недо пустимо. В этом случае целесообразно использовать ма тематический аппарат работ [1.8—1.9], который допуска ет сравнительно простую модификацию для случая огра ниченности ресурсов [4.4].
§ 4. 3. Применение имитационного моделирования
для управления разработкой со случайными временными оценками
выполнения операций
Рассмотрим задачу управления разработкой со слу чайными оценками продолжительности составляющих ее операций для случая, когда имеющиеся в распоряжении объекта управления ресурсы характеризуются единым стоимостным эквивалентом. Примем, что объект управ ления отображается детерминированной сетевой мо
делью G(Y, |
U), где У= (уи .., yN) |
— множество |
событий |
или вершин |
сети, t / = ( « і , . . . , uN) |
— множество |
элемен |
тарных операций или дуг сети. Допустим также, что про должительность выполнения операции t(i, j) подчиняется принятому закону распределения (например, бета-рас пределению [5.24]), параметры которого1 связаны функ-
1 Обычно в качестве такого параметра выступает математичес кое ожидание.
Цйональной зависимостью с выделяемым на проведение этой операции объемом ресурсов s(i, j) так, как это пока зано на рис. 4.3.1. Здесь t[ и t£, соответственно, оптими стическая и пессимистическая оценки операции (i, j) при фиксированном объеме выделенных ресурсов, соответст вующем минимальному фронту производительной работы
Smin(M) [5,24]; |
t[ и t% —аналогичные |
оценки |
при |
|
s(i,j) |
= s m a x ( i , / ) ; |
графическая зависимость |
tcv{i,j) |
от |
s(i, |
j) носит либо ступенчатый характер, либо может быть |
|||
аппроксимирована непрерывной кривой. Варьируя объем
ом выделяемых ресурсов в пределах |
smm(i,j)^s(i,j)^ |
||
^smax(i,j), |
получим различные интервалы |
случайного |
|
разброса значений [t'(i,j), |
t"(i,j)]. |
|
|
«З
—| tcp.
І
Объем ресурсов
Рис. 4. 3. 1. Зависимость продолжительности выполнения от объема ресурсов.
Информация о требованиях, налагаемых на процесс управления разработкой, будет неполной, если не будут учтены соответствующие ограничения и установлены кри терии оптимизации. В рассматриваемой нами постанов-
ке ограничена общая продолжительность выполнения раз работки, определяемая директивным сроком Гдар, а кри терием оптимизации является суммарный объем ресур сов, выделяемых на ее проведение.
Учитывая вероятностный характер выполнения разра ботки, задачу управления последней можно сформулиро вать следующим образом: необходимо определить мини мальный объем ресурсов 5, обеспечивающий завершение разработки за планируемое время Гпл^^дир с вероятно стью, не ниже заданной р а л - В дальнейшем необходимо распределить ресурсы между операциями и построить календарный план-график выполнения последних. Таким образом, задача оптимального управления разработкой может быть сведена к решению следующих задач:
оптимального прогнозирования ресурсов на основе за дания доверительных оценок выполнения разработки в плановый срок;
перераспределения ресурсов между входящими в раз работку операциями;
построения детализированного календарного планаграфика хода разработки с учетом вероятностного про текания процесса последней.
Заметим, что составление оптимального календарного плана выполнения входящих в вероятностную модель операций (т. е. установление плановых сроков начала и окончания этих операций) является исключительно сложной задачей, не получившей до сих пор эффективно го разрешения. Вследствие этого представляется целе сообразным осуществлять комбинированное управление разработкой [4.6]. Согласно этому принципу календарное
планирование и соответствующее оперативное управле ние осуществляются на основе усредненных оценок (ра зумеется, это решение нельзя считать оптимальным), а оптимальное прогнозирование — на основе доверитель ных оценок с использованием аппарата статистического моделирования. Точность решения последней задачи за висит от количества «розыгрышей» методом Монте-Кар ло. Как будет показано ниже, можно построить алго ритм, сочетающий оптимальное (или близкое к опти мальному) прогнозирование ресурсов с распределением последних между операциями разработки на основе ме тода статистической оптимизации.
13. Д. И. Голенко |
193 |
Д ля случая детерминированных оценок t(i, j) можно использовать (см. § 4.1) ряд достаточно хорошо изучен ных алгоритмов распределения ресурсов типа «время — стоимость» и построения календарных планов-графиков [4.1, 4.3]. Подобные алгоритмы могут эффективно исполь зоваться и для решения задачи распределения ресурсов на этапе построения достаточно грубого приближенного плана ^соответствующего графика хода выполнения опе раций. *В дальнейшем управление разработкой реализу
ется согласно |
построенному календарному |
плану-графи |
|
ку, причем в качестве детерминированных |
оценок |
,t(i,j) |
|
принимаются |
значения tcp. Для случая же |
дефицита |
ре |
сурсов (имеется в виду невозможность завершения раз
работки |
в плановый |
срок Г м ^ Т д и р 3 3 с ч е т |
перераспре |
деления |
оставшихся |
внутренних ресурсов) |
формируется |
корректирующая команда управления. Последняя связа на с привлечением дополнительных ресурсов на основе решения задачи оптимального прогнозирования и, тем самым, уменьшения времени выполнения оставшихся операций. Оптимальность прогнозирования заключается в привлечении минимального количества дополнительных
ресурсов 5 |
Д 0 П , обеспечивающих |
завершение комплекса |
оставшихся |
операций к моменту |
Твл с вероятностью р а л , |
уже с учетом вероятностного характера протекания про цесса разработки. В дальнейшем (на основе описываемо го ниже алгоритма либо алгоритма типа «время — стои мость») вновь происходит построение календарного пла на-графика выполнения операций, после чего процесс раз работки продолжается до следующего дефицита в ресур сах.
Эффективность такого рода стратегии управления может быть исследована (и в случае необходимости срав нима с другими стратегиями) с помощью имитационной модели процесса функционирования разработки. В каче стве показателя эффективности может быть принято, в частности, среднее значение объема ресурсов, затра ченных на достижение намеченной цели при принятой стратегии управления, либо математическое ожидание количества ситуаций, связанных с дефицитом ресурсов
впроцессе оперативного управления, и т. д.
Вописываемой ниже имитационной модели [4.5] фак тический ход процесса разыгрывается с помощью розыг рыша длительности каждой операции (работы) сети. Это
позволяет более точно моделировать случайный процесс хода разработки, а также дает возможность варьировать управляющие воздействия и планы отдельно для каждой работы сети.
Записанный в операторной форме моделирующий ал горитм имеет следующий вид:
/ ч Л 2 Л 3 Л 4 4 . 2 ^ 5 5 ' 1 8 Ф 6 Л 7
7 . « Л 8 Л 9 Л 1 0 Р ! ? рЦ
Аи |
Pit |
|
^Fi5Aie |
Лі7 Лі6 8 |
"Лш/Сао |
||
|
Р21 |
Л22 |
Ягз • |
Перечислим операторы, входящие в модель: |
|||
Fi—формирование |
исходных |
данных для сетевой мо |
|
дели; |
|
|
|
Л2 — правильная перенумерация сети;
Л3 — решение задач оптимального прогнозирования ка
|
лендарного планирования и распределения ресур |
|||||
|
сов; |
|
|
|
|
|
Л 4 — расчет |
временных |
параметров |
сети и построение |
|||
F 5 — |
таблиц функций |
V(t); |
|
|
||
формирование исходных данных и начальных усло |
||||||
|
вий для k-я |
реализации; |
|
|
||
ф 6 — реализация |
случайных |
продолжительностей работ |
||||
|
сети; |
|
|
|
|
|
Л 7 — расчет фактических сроков работ; |
||||||
Л8 — вычисление значения V<j>(^* ); |
|
|||||
Ад— |
вычисление AV0(t? |
) ; |
|
|
||
Л 1 0 — выдача результатов к моменту t; |
||||||
Рп—проверка |
условия |
\Уф(і* |
) — V m I > A V ; |
|||
Р\2— |
проверка условия hV0{t |
\ ) > 6 у , ( б у ^ О ) ; |
||||
Л, 3 — вычисление |
tkl+l; |
|
|
|
||
Ри— |
проверка условия А?*+ 1 |
<б<; |
|
|||
F\b— |
формирование усеченной сетевой модели; |
|||||
Л і 6 — решение |
задач оптимального |
прогнозирования и |
||||
|
оперативного управления; |
|
||||
Л 1 |
7 — расчет временных параметров усеченной сети и по |
|
|
строение таблиц |
V(t)\ |
Ліз—вычисление tk, j |
по усеченной сети; |
|
13* |
|
195 |
Лід— выдача |
результатов по k-и |
реализации; |
|
||||||
КІО— |
счетчик числа |
реализаций; |
|
|
|
|
|
||
Р2\—проверка |
условия |
k^k3; |
|
|
|
|
|
||
А22— |
статистическая |
обработка |
результатов |
моделиро |
|||||
|
вания; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ягз— выдача |
результатов |
и конец |
вычислений. |
|
|||||
Перейдем |
теперь |
к детальному |
описанию |
операторов |
|||||
модели. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор Fi формирует исходные данные для работы |
|||||||||
всей модели. Исходными данными являются: |
|
|
|||||||
1. |
Сетевая |
модель, которая |
задается |
в |
виде |
списка |
|||
работ |
(і, / ) , где і—начальная |
вершина |
работы, |
/ — ко |
|||||
нечная вершина. |
|
|
(і, /) задаются: а) гра |
||||||
2. |
Для каждой работы |
сети |
|||||||
ничные значения объема ресурсов, необходимые для вы полнения данной рабОТЫ S m i n (l , /'), sm ax(i,/), где
Smin(i, /) — минимальный |
объем ресурсов, необходимый |
|
для выполнения работы |
sm&x(i, j)—объем |
ресур |
сов, при котором их общая производительность по выпол нению работы (і, /) максимальна; б) зависимость мате
матического |
|
ожидания |
продолжительности |
выполнения |
||||
работы tcp(i,l) |
от объема |
ресурсов s(i,j); |
в) |
предельные |
||||
длительности |
(оптимистическая |
и пессимистическая) |
||||||
выполнения работы (i, |
j) |
при заданном |
количестве ресур |
|||||
сов |
s(i,j): |
а . (*,/)=*і(і,/) |
и bs(i,j)='t2(i,j), |
a , ( f , / ) < |
||||
^bs(i, |
/ ) ; г) |
объем работы v(i,j), |
который может быть |
|||||
задан в процентах от общего объема работ, стоимостных единицах и т. д.
|
3. Данные, определяющие |
условия |
и точность моде |
||||
лирования: |
|
|
|
|
|
|
|
УП л — суммарный плановый |
объем всех работ |
сети; |
|
||||
Тдир— директивный |
срок выполнения |
всего |
комплекса |
||||
рпл |
работ; |
|
|
|
|
|
|
— вероятность |
выполнения комплекса работ |
за |
вре |
||||
|
мя Гцл; |
|
|
|
|
|
|
S — общее количество ресурсов, выделенных |
для |
вы |
|||||
k3 |
полнения всего комплекса операций; |
|
|
|
|||
— заданное количество реализаций |
процесса |
в |
мо |
||||
At |
дели; |
|
|
|
|
|
|
— допустимая погрешность по времени в |
модели; |
||||||
ДV — допустимая погрешность модели по объему; |
|
||||||
dv |
— изменяемая константа, с помощью которой |
можно |
|||||
|
изменять размеры критической области; |
|
|
|
|||
5i — минимальное время между |
двумя опросами мо |
||||
дели; |
|
|
|
|
|
Оператор |
А2 |
осуществляет |
правильную |
нумерацию |
|
сети [4.1]. Последнее, как известно, |
означает |
выполнение |
|||
неравенства |
i<j |
для всех работ |
(і, /) сетевой модели. |
||
Полезность оператора А2 объясняется тем, что алгоритмы временного расчета правильно занумерованной сети зна чительно проще и требуют меньше времени для своего выполнения, чем для той же сети с произвольной нумера цией. Это тем более важно, что при выполнении осталь ных операторов модели многократно производится вре менный расчет исходной сети^или ее части для различ ных значений продолжительности входящих в нее работ. Правильность же нумерации не нарушается при «усече нии» сети или корректировке значений t(i,j).
Оператор А3 осуществляет реализацию задачи опти мального прогнозирования с последующим перераспре делением ресурсов на основе усредненных оценок продол жительностей работ сети. Результатом работы алгоритма
являются |
плановые |
сроки начала и окончания £™ (i, j) |
||
и t™(i,j), |
а также |
плановый |
объем выделенных |
ресур |
сов Smt{i,j), |
соответствующие |
оптимистической и песси |
||
мистической оценкам as(i,j) |
и bs(i, / ) — д л я всех |
работ |
||
(t, j) |
сетевой модели. Методология решения оптимальных |
|||||
задач оператора Л 3 будет описана ниже. |
|
|
||||
Оператор Л 4 производит |
расчет временных |
парамет |
||||
ров сети с детерминированными |
оценками длительностей |
|||||
работ |
t(і, j) =as (t, / ) , |
на основе |
данных |
расчета табули |
||
рует |
функцию V0(t) |
с шагом At и определяет |
величину |
|||
длины критического пути Т0. |
Функция |
V0(t) |
описывает |
|||
изменение объема выполненных |
работ |
к моменту t при |
||||
оптимистическом ходе процесса выполнения комплекса работ, т. е. при выполнении их с максимально возмож ной скоростью [1.4]. Легко видеть, что V0(t) является не убывающей функцией и V0(T0) = УПл- Однако трудность
ее построения заключается в том, что эта функция может быть неоднозначной во всех точках, кроме точек V0 (0) =
= 0 и У 0 ( Г 0 ) = У П Л .
Заметим, что граничными кривыми области значений V0(t) являются кривые, построенные по ранним и позд ним срокам начала всех работ в пределах их резервов по
времени pV0(t) |
и nV0(t), |
соответственно, |
причем кривая |
pVQ(t) лежит |
выше кривой ПУО(І), быть |
может совпадая |
|
с ней в некоторых точках. Следовательно, для построения однозначной кривой V0(t) должны быть выбраны точки начала всех работ. В настоящем алгоритме за сроки на чала всех работ приняты ранние сроки свершения их на
чальных событий |
t*(i, |
J) =Ta(i, |
j). |
Последнее |
формирует |
||
V0(t) =vVo(t), |
что приводит |
к увеличению |
критической |
||||
области. |
|
|
|
|
|
|
|
Опишем |
далее |
общий алгоритм |
построения |
кривых |
|||
V(t)—зависимостей |
|
объема выполненных работ от вре |
|||||
мени. Этот |
алгоритм |
реализуется |
в операторах |
Л4 , А17, |
|||
As. |
|
|
|
|
|
|
|
Из сказанного выше ясно, что исходным для этого ал
горитма являются список работ с |
указанием объемов |
v(i,j), сроков начала и конца ta{i, /), |
t0K(i, j), а также по |
следовательности значений времени tm, для которых опре
деляются значения функции |
V(t). |
|
|
|
|
|||||
Алгоритм построения |
V(t). |
|
|
|
|
|
||||
Этап 1. Образуем множество М0 |
для |
момента време |
||||||||
ни t0 |
из всех работ сети и устанавливаем |
начальные |
зна |
|||||||
чения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этап 2. |
V(to) = VOK((0) |
= VM4, |
|
m=\. |
|
|
|
|||
Подсчитываем У 0 к ( ^ т ) , просматривая все ра |
||||||||||
боты из множества M m _ i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
V0K(tm)= |
2 V(i,j) |
+foi,(/m -l) , |
|
|
|||||
где сумма |
берется |
по всем |
работам |
(i, |
j) из Mm-\, |
для |
||||
которых выполняется неравенство |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
^ о к ( І , /) |
|
^tm, |
|
|
|
|
|
|
|
M m _ i 3 D m = |
{ ( / , / ) :/ок( Ц ) |
,<*m}- |
|
|
||||
Этап 3. |
Образуем множество Мт, |
исключая из |
мно |
|||||||
жества Мт-\ |
все работы множества |
Dm; |
|
|
|
|||||
Этап 4. |
Проверяем |
наличие |
работ |
во |
множестве |
|||||
Мт. |
Если Мтф0, |
то переходим |
к этапу 5. В |
противном |
||||||
случае — конец вычислений. |
|
|
|
|
|
|
||||
Этап 5. |
Просматриваем |
все |
работы |
множества |
Мт |
|||||
и подсчитываем |
V(tm): |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V(tm) |
= 2 |
K(4)[tm-t3(4)]+VoAtm), |
|
(4-3.1) |
|||||
№
где |
Mm^Bm={(i,j):tB(i,j)<tm}; |
KV'1>- |
t0K(iJ)-t*(i,i) |
Этап 6. Индекс |
m увеличивается на единицу, после |
чего переходим к этапу 2. |
|
Для упрощения |
алгоритма и сокращения времени |
его работы полезно упорядочить работы в М0 по возра
станию t0K(i,j)p, |
|
(p=l,2,...,N). |
|
|
|
|
t0K(i,j)P^t0K(i,j)P+i. |
||||||||
Упорядочение |
означает, |
что |
|
и |
все |
||||||||||
В этом случае |
упорядочены |
будут |
множества |
||||||||||||
Mm-i |
и исключается перебор всех работ |
этих множеств, |
|||||||||||||
а выбираются подряд и исключаются |
из |
дальнейшего |
|||||||||||||
рассмотрения все работы |
до номера |
I, для которого по |
|||||||||||||
следний раз выполняется t0K(i,j)i^tm- |
|
|
Таким |
образом, |
|||||||||||
одновременно из Mm-i |
исключается |
/ работ, |
составляю |
||||||||||||
щих множество |
Dm, |
и этап |
3 выполняется |
|
одновремен |
||||||||||
но с этапом 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В операторе |
Л 4 |
этот |
алгоритм |
реализуется |
с началь |
||||||||||
ными |
значениями |
/о = 0, |
|
VHa4=0 |
и |
tm+i = tm+At. |
|
Еще |
|||||||
одной |
функцией |
оператора |
Л 4 |
является |
подготовка |
на |
|||||||||
чальных условий для первой реализации |
фактического |
||||||||||||||
хода |
процесса выполнения |
комплекса |
работ |
сети |
(на |
||||||||||
пример, установка нуля в счетчик |
реализаций, |
вычис |
|||||||||||||
ление До и ?i). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оператор F 5 |
формирует |
массивы |
исходных |
данных |
|||||||||||
и начальные условия для к-й реализации. |
|
В число ис |
|||||||||||||
ходных данных входят: таблица функции V0(t), |
|
сеть с |
|||||||||||||
данными для каждой |
работы |
(i, j) |
: {t™ , |
v, |
а,Ь, |
s n n ) . |
|||||||||
Начальными значениями |
для k-й |
реализации |
являются |
||||||||||||
Т0, А0 |
и время первого опроса |
t\. |
Все эти значения мо |
||||||||||||
гут изменяться в процессе одной реализации и поэтому требуют восстановления перед каждой новой реализа цией.
Оператор Фб осуществляет случайный розыгрыш длительностей всех работ исходной сети либо усеченной
сети, сформированной оператором FK. |
Длительность |
||||
каждой |
работы |
(i, j) |
разыгрывается |
в |
пределах |
[a(i, j), b(i, j)], задаваемых |
оператором Л 3 |
для |
исходной |
||
сети, либо оператором Л 1 6 |
для усеченной сети с перерас |
||||
пределенными ресурсами. |
|
|
|
||
В качестве закона распределения длительности вы |
|||||
полнения |
работы |
принято |
бета-распределение |
с плотно- |
|