книги из ГПНТБ / Голенко Д.И. Статистические модели в управлении производством

исследования смежных научно-технических направлений в процессе ее осуществления. Часто уже на отрезке вре­ мени создания сложного комплекса параллельное на­ правление приобретает независимость самостоятельной программы. Такого рода ситуацию потенциально отра­ жает дерево исходов как математическая модель про­ граммы и основная характеристика ветвящегося стоха­ стического процесса. Однако при этом молчаливо под­ разумевается, что наряду с постулированным ранее [5.24]

"і

условием 2 р ^ = 1 ( я ; = | Г а г | ) , обозначающим, что в

каждом поколении имеется полная группа несовместных альтернатив, из которых реализуется лишь одна, следует рассмотреть также случаи: когда альтернативы не яв­ ляются несовместными; альтернативы не образуют пол- « ную группу исходов. В первом случае не исключена воз­ можность, что

для которых выполняется условие (5.3.1), используются

щая из целых неотрицательных чисел, образует цепь Маркова. Действительно, из предположений, используе­ мых при формулировке стохастической сетевой модели, вытекает, что количество реализующихся исходов в п-м

Д ля удобства рассмотрения процесса, представляе­

При фиксированном количестве возможных исходов рас­ пределение суммы случайных величин, отождествляю­ щей собой количество реализующихся исходов в данном поколении, есть /-кратная композиция распределений

ветствует схеме, когда случайная переменная, соответст­ вующая любому исходу, принимает значение 1 и 0 с ве­ роятностями ри и q%. Следовательно, производящая функция суммы реализующихся исходов в одном поко­

тических формул ветвящегося процесса при достаточно

Пусть Pi+p2 + ...+Pi=K тогда log/(s) = 2 l o g { l — p f t ( l —

—s)}. Воспользовавшись разложением логарифмической

достаточно больших п появляется распределение Пуас­ сона, в котором параметр Я определяется как сумма ве­ роятностей возможных исходов Я=2/?А. Важность по-

k

лученного результата состоит в том, что независимо от вида распределения f(s) и характера условий, налагае­ мых на сумму ри, предельное распределение zn при до­ статочно больших п всегда показательное. Кроме того, приведенное рассуждение носит конструктивный харак­ тер, так как позволяет осуществить непосредственное определение оценки сверху вероятности ри при извест­ ном количестве а-вершин в п-м поколении, равном /, т.е.

Полагая p » = P j = — при достаточно большом количестве

а-вершин в п-м поколении, имеем:

Из полученного результата следует, что вероятность вырождения процесса 1—P{zn>0} =q слабо зависит от/

и с возрастанием числа поколений вероятность его окон­ чания обратно пропорциональна п. Распределение веро­ ятностей {zn} для любого значения п, вообще говоря,

однозначно определяется по распределениям вероятно­ стей возможных исходов для каждой а-вершины, если таковые имеются (ниже мы рассмотрим метод получе­ ния таких распределений вероятностей). Однако полу­ чение указанного распределения для {zn} приводит к

очень громоздким результатам, трудно поддающимся обработке, поэтому в теории ветвящихся процессов чаще пользуюся предельными асимптотическими формулами, имея в виду, что основные выводы могут быть сделаны на основании этих формул, минуя распределение веро­ ятностей {zn}. Определение предельных асимптотиче­

ских распределений (5.3.11) и (5.3.13) для случая m z = l дает возможность надеяться на получение стационарно­ го распределения вероятностей в общем случае, т. е. ког­

г = 1

где pij определено согласно (5.3.4). В соответствии с (5.3.4) распределение {щ} есть любое неотрицательное решение уравнения (5.3.14); более того, существует про­ изводящая функция

аналогичная введенной вначале производящей функции (5.3.5.) При некоторых условиях щ удовлетворяет функ­

Таким образом, когда f(s) выражается, как это было дано выше, неоднозначность очевидна, ибо для f(s) су­ ществует выражение, определяемое через sin(2n£s), откуда непосредственно следует факт существования не­ однозначности. Интерпретация этого результата может быть следующей.

формулировке стохастической сетевой модели. Разуме­ ется, реальное существование неустойчивых процессов, когда т 2 > 1,2„->-оо, в данном случае трудно проверить на практике. Однако можно себе представить ситуацию, когда в ущерб основному направлению разработки не­ оправданно развиваются побочные направления. Это со­ ответствует рассмотренному случаю m z > l . В реальных условиях ограниченных ресурсов указанное обстоятель­ ство может привести к невыполнению поставленных це­ лей. Сведения относительно таких процессов могут быть получены при более глубоком исследовании последова­ тельности {zn} при других предпосылках, в частности учитывающих ограниченность ресурсов.

Исследование стохастических сетей с контурами. Рас­ смотрим возможность распространения приведенных ма­ тематических схем на более широкий класс отображае­ мых процессов проектирования и создания сложных комплексов, моделируемых альтернативными сетями ти­ пов I I и IV (§ 5.2). В процессе создания сложных си­ стем большое место занимают операции, приводящие в случае их отрицательного исхода к повторным циклам. Подобного рода ситуации возникают при сборке и испы­ тании отдельных блоков и узлов, проведении функцио­ нального контроля системы, профилактических работ, функциональной стыковке подсистем и т. п. По своей вероятностной природе эти операции имеют большое сходство с испытаниями по схеме Бернулли, которая с помощью стохастической сети изображена на рис. 5.3.1,а. Как следует из рис. 5.3.1, введение в сетевую стохасти­ ческую модель подобных элементов, наглядно отобра­ жающих существо повторяющихся операций, приводит

кобразованию контуров и петель, затрудняющих анализ

ирасчет такой модели. Для определения вероятностей возможных исходов в этом случае может быть использо­ ван подход, изложенный в работе [5.24] и основанный на

Рассмотренный пример показывает, что несмотря на кажущуюся громоздкость получаемых матриц, преобра­ зование последних на ЭВМ не представляет трудностей ввиду большого количества в них нулевых элементов. Однако при исследовании стохастической сетевой моде­ ли необходимо кроме вероятностей исходов определить среднее время выполнения повторяющихся операций, а также стоимостные и другие ресурсные параметры. Воз­ никает задача замены этих операций некоторыми экви­ валентными в смысле времени выполнения, стоимости и других параметров.

Рассмотрим вариант задачи с использованием вре­ менного эквивалента. Пусть каждый повторный цикл испытаний характеризуется временем t2 или функцией распределения вероятностей f{U), а продолжительность операций, непосредственно следующих за альтернатив-