Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Спецглавы высшей математики (методы математической физики) [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

11.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Вола	F -	пола	сил, то линейный интеграл представля
ет собой работу		этого	силового поля здоЖь лнйаи Г.
			З А Д А Ч И
100.	Вычислить работу А силового			поля F=(2а-у)L■*-
■+(у-ajГ	вдоль первой арки циклоиды			x**a.(t-sini)}

у« а{/~ cost}.

Ращений. Тай как

х 1(і}= aCi-cost},

у '{i}= а sin t f

го по формуле(I)вычаслиы работу А .

. / f

A~ J \ {2.a-Q + acQst)a(j~£ost)-h

+ (j2t-acost--ec}asLnt\ät -

—J (а 2( / - cos itJ - а zcost sin i ] d t ~

о1

ІОІ» Найта циркуляций векторного поля F - у				L~xJ\
і с гК по контуру АВСА,получаемого при пересечении				парабо
лоида	а координатными плоскостями.
Решение.
В этой задаче контур С :wAB+
+W-BC +wCA является кусочно-
гладкой линией, состоящей
аз трех гладких дуг: из кус
ков парабол	X s- { -у	и
i~~y-z*	соответственно
.на плоскостях Х&у, yOz			X

Тоща

- I6 I -

а четверти	онруашости	х	г		s ,	„
				-+£	»= /	на плоскости лг^Ле.
	F d l **fßd% +J F d l ■+/ F d t .
	А&СЯ				»èC	X#
Кавдоѳ ив слагаемых в правой части вычислим отдельно,
I) На	'-'Aß iZ*Ü	. и		d z «s О		, следовательно,
	с		3 Г		sг-
	F ^ у			і ~ л, j .
Из уравнения параболы		ос ' = /~у				находим
	у = І~ зіг			'u	dy=>Sxdx.

F= ( / - х ? ) * Г ~ d i'-d x T + d yJ d x T -S x d ccJ

ß d z s [(f~x*J ^ i x 3] d x “ (x * + 2 x 3- 2 х й-+f ) d x ,

При перемещении по дуге AB от точки А до точки В X убывает от I до 0, поэтому

	J F di™ J (		х	*	+ 9 о		i j d x n
	»AB	/ І	â~	2	4	2	з \jâ	3*
		/ І	â~	2	4	2	з \jâ	3*
		= ( t x +			~ J X *x )ft №~33
2)	Ha ''&GiXnQ,		dx*?Ot			F~ У2f+ £ Sk }
		d i ** d y j ~ + d z к .
Следовательно,
	F d i = z &d z ,				О £ z4 /
		f			.
	/ F dH = / z 3d z ^-зг .
	:&c	*>Ѳ.			J
3)	Ha	'~CA,.yaQ J		di/=âj		F - - x 3j ^ z &F}
		d 4 n d x i +dzF/
*.e,
	F-db ~ z *dz		. и		J	Fdt n f		.

"CA

					182
Таким образом,						3(
		u ~ _ i L + J . _____ L					•
	102.		J O	з		" з г г
		Вычислить работу			силового ПОЛЯ г а ■(acostl+
+S$('ntJ)		вдоль дуги		эллипса
от точки А (а ; О)				до точки If (0; £)
__	ЮЗ. Вычислить линейный интеграл векторного поля
F“ хГ+ yj~+(oc+y-fJ%					вдоль	отрезка прямой AB, где
А (I; I ; I)		И	В (2;	3; 4 ).
	104, Вычислить линейный интеграл векторного поля
F= (х +у) Т				вдоль дуги		Г-ОА	параболы у г«х,
если	0 (0?	0 ),	А (I;	I ) .

105. Найти работу оилового поля вдоль одного витка ft^M винтовой линии

F = x i + x j - к Г: х = а cost,

y = a s i n t , z = 6 t

(

О4 1 4

2.7T.J.

106^

Найти линейный интеграл векторного поля

F - y z i + z \ f 9 ~ ' y z J t- х у к

вдоль дуги

Г винтовой линии х = Зсолі, y=3âint,

Z=S-t

от точки

А пересечения кривой с плоскость® X Оу

до точ

ки

ее

пересечения

с плоскостью

= 4.

107. Вычислить линейный интеграл векторного поля F=

zz(x + y z'-2Rx)t-t-R(x+y)J'

вдоль дуга

окружности

(x~R)z-4yz=R7 2=0 от

точки

0(0;

точке А

)

1 0 8 . 'Вычислить линейный интеграл

векторного

поля

эсТ+ y j + ZK___________

'іх(х-і) +у(у-/)ч-г(г +2}

■

вдоль

прямолинейного

отрезка

AB,

где

А (

I; I ; I )

(4;

109. Найти, работу поля

сил

Г - х 7і +уу -+.cosг к

по

одному витку дуги

AB ЕДНГОРОЙ

линии

183

. CC^uiCOSt,	Z=‘ 2 t >
где^ точкам А и В соответствуют	t - Ö и t = ]§' Ж.

110.Вычислить линейный интеграл радиуса-вектора г

вдоль линии

JC—t \

у-4'£ч/,

z - t - f

от

точки

(I;4;Q )

до

точки

В (4;

I ) .

І П .

Вычислить линейный интеграл

векторного воля р -

- Х 31 - у * ]

вдоль четверти онрукности

радиуоа

о цент~

ром в начале

координат,

расположенной

первом

квадранте.

Интегрирование произвести против часовой стрелки.

II2 .

Вычислить цирнуляцию векторного

поля

по

окружноота

=с Ч-у

Направление

обхода выбрать

против часовой

стрелки.

Н З . Найти циркуляцию векторного

поля Fs x J

по ок

ружности

радиуса

центром в точке

£ ( х о ; и) і

2 > с ({ /о > г а).

Направление

обхода

- против

часовой

страдай.

т *4

-у

ІГ4. Вычислить циркуляцию венторного поля Р =yi~xj вдоль аамкнутой кривой, обра|оааш|оЙ осями координат а первой четвертью астроиды зс ^*+у в направлении против часовой стрелки.

115.	Вычислить циркуляцию векторного		поля Р^ссГ-
- z j +ук	вдоль контура С,	полученного при	пѳресечеиаи по
верхности	у г ~ 4 - Z -sc	с координатными ллоскоотями

вположительном направлении.

116.Вычислить циркуляцию векторного поля

F —уГч- ZJ-+3CK

вдоль замкнутого контура, полученного пересечением поверх ности

эс%у 2*z &~ R*,

уъ-О, г % 0

с координатными плоскостями, в положительном направлении.

II7 , Вычислить циркуляцию векторного поля

^ ія у і - x j +ZX

вдоль замкнутого контур

	С:	г ’ X £ Ж.+ z < - 4J
	С:	x ?'-hy£^ z z ( z > 0 ) .
		x ?'-hy£^ z z ( z > 0 ) .

Направление обхода ~ положительное.

II8 . Найти циркуляцию векторного поля

F ~ y * i

по замкнутой кривой С, состоящей из правой половины эллипса

X s

у? .

отрезка оси Оу между

точками

Л (0;

-3)

2 І * 9

В (0;

3).

Направление обхода против часовой

стрелки. •

I I 9»

Найти циркуляцию векторного

поля

Р =* ( З х +Sz) Г+(х+ 4y)J i(6X - г) к

по контуру

треугольника

ЛВС о вершинами

(В;

0 ),

В (0;

2; 0 ), С (0* 0; 2} в направлении от

точки А к

точке

В,

точке

120.

Вычислить циркуляцию векторных полей в положи

тельном

направлении:

—

““

— .

вдоль

окружности X

—а

F = x

i+j'-f-zK

+ у

2*0;

2) Р * * ( х - 2 z ) Т + ( х + 5 у

i - r f F x + y j x

вдоль контура треугольника ЛСВ: Л

(I;

0),

(0;

0 ),

(U; 0 ;І ) .

121 •

Вычислить_дориуляіцір

вадторног о поля

Р = і/Г-XJ ■+е

у к

по контуру

эллипса

-fl - {

вчнаправлении

против

часо-

вой стрелки.

122.

Вычислить

циркуляцию векторного поля.

вдоль' линии

F - x I - i - z°i - у к

t\г

пересечения части поверхности (Х-О =z

+у f

находящейся е -первом

октанте,-с

шшскостл.ш

координат

в нал-

163

равнении от точки пересечения	поверхности о ооью Ох к точ
ке пересечения поверхности о	осью Оу .

•123. Вычислить циркуляцию векторного поля

Г =* х у Г +z*J

вдоль линии пересечения части поверхности у г** t - x - z находящейся в первой, октанте, с плоскостями координат в направлении от точки пересечения поверхности с ооью Ох к

точке пересечения повѳрхнооти с ооью

Оу .

12*к Вычислить циркуляцию в положительном направлении

векторного

поля

Р~{хгг у г \ х у }

вдоль замкнутой

линии

С: г —х

г- у 3- 2 а г,

у г- а.г.

§ 3 . 6 .

РОТОР ВЕКТОРНОГО

ПОЛЯ

Ротором

векторного

поля F

называется

вектор rot F

для

которого

nPrrtotF(M) = %mo

т .е .

в каждой

точке

М проекция^ротора

поля

на

любое

напряжение равна пределу отношения циркуляции

поля

вдоль

замкнутого

контура

н величина

площади 6“

поверхности,

натянутой

на

контур

и для которой

вектор п является

нормалью в

точке

М,

когда

СГ-** О

а контур

стяги

вается к точке М. Причем контур L

согласовано

ориентиро

ван

с нормалью

ЯГ

, т .е .

при

обходе

контура

это дви

жение с конца вѳнтора п будет выглядеть против часовой

стрелки.	__
Если векторное поле	FsX l + Уj +Zк	имеет в’ не

которой облаоти проекции с непрерывными частными производ ными первого порядка, то в каждой точке области ротор вентер

ного поля	существует			и
	<•	J	к	I d Z -	Ш . )Tu.l3X_dZ_) r j d y _ âX\ -
xot F=	jg_ J L		Л	I d Z -	Ш . )Tu.l3X_dZ_) r j d y _ âX\ -
xot F=	ax	эу	dz	l a y	d z [ d z	э х ) і [ з х ъ у ) к
	X	У	Z

Основные Формулы для вычисления'ротора
() l o t С я=О	( S	-	постоянный	вектор)-
г) tot(cP)=ciot(F)	( с	-	постоянный	скаляр);

186

i ) i o t ( Ff + F2 )=X x o t F( -+ xot F2 f-

b) xo t (f> FJ - J x o t F-+ g x a d * F;

5) xot (с к г) - 2 c	( С —постоянный вектор);
бч t o t г ^ О;
7) d i/(F f 'xF2)=sF2 xot / f - Pf x o t F, .
ТЕОРЕкЛ СТОКСА. Если векторное поле F~Xi ^UJ^ZK
имеет проекции с непрерывными	часгныгли производными а если

в некоторой области		пространства содержится двухсторонняя
кусочно-гладкая	поверхность б		, ограниченная кусочно-глад
ким контуром Г,	с ортом нормали		п ф выбранным так, чтобы
видимый с его конца		обход контура Г совершался против часо
вой стрелки, то

Ц=У> F d z « J J xot F-n°

г6

г .е , циркуляция			равна потоку			ротора векторного поля F
через поверхность			6	"натянутую"		на контур Г.
Так	как	/7 °=£cosd‘)c0 SßjC0 Sff'},					то на основании			оп
ределения	ротора		эта	формула может быть			записана	так:
						BZ	(дУ	эх		atб.
						д х

Если через точку Мполя F провести плоскость Р									,	оп
ределяемую ортом нормали п°					, то скалярное произведение
xot F(м)- п ф		характеризует			вращательную способность				этого
поля в точке M« Она				зависит	как	от. координат точки М,			так

и от направления плоскости Р и достигает наибольшей величи

ны, равной I tot F (М) I	когда плоскость 'Р перпендикулярна
век ropy xot F (Mj.

-167 -

ЗА Д А Ч И

125.Найти ротор векторного доля іQ-xyz(zi'*yJ+z/<).

Решение. Для вычисления ротора воспользуемся формулой

(4) из основных формул, т .ѳ .

ro tQ *‘ z o t ( f F ) = f x o t F + g x a d / х / f

где	x y z t		F - x T + yJ+ZK - * .
/ =	x y z t		F - x T + yJ+ZK - * .
Тан как		to t F ~ t o t X =» О,
		to t F ~ t o t X =» О,
поэтому
Tot/2- gx cid jxF -				i	7	K
Tot/2- gx cid jxF -				yz	scz	X у
				X	у	Z
~ х ( г г- у г) Г -h y ( x 2~ z z) J -h z ( у г- х г) к .
126.	Пусть		P —y i + z j + х к .			Найти ротор век
торного поля		ß	yT+z/ч-хк
	у	ß	yT+z/ч-хк
	h ”	*	“ \1ссг ^ у г-/-гг			■

127.Найти lot F в любой точке для векторных по

лей: _

1) F = х Г ~ г г/ ■+ у2/?;

2)F - y z i -t-xzj~-+ х у к .

128.Вычислить ротор заданных векторных долей:

1) F = х у Т - у г у + y z * ;

2) F --=cnctg(x-y+z)(T~3f~2F) ;

3) F = у 2 і - х гJ + г г к .

188

129. Показать, тао скалярное произведение вектора (yz) 'іч-(ссг) J +(ху)гк на овой-вихрь равно нулю,

130.	Доказать, что		вектор 5.-^ yzad(c*x+ßy+fi~z)
перпендикулярен к		своему	ротору.
131.	Найти	ротор поля f х ^		,	где
/ =	оеЧ+уг/ - х гк ,			у »	T -J+ 2 к .

132. Вычислить ротор вектора напряженности И магнит ного поля, образованного электрическим током силой У , те куівдм по бесконечно длинному прямолинейному проводу.

	133. Показать, что циркуляция векторного поля						_
	F - y z (2x+y+z}T+xz(x+2y+z)j'i-xy(x+yi-2z)k
по любому замкнутому контуру равно нулю.
	134. Вычислять циркуляцию векторного поля
	F - X z i ~ y z £J~+ ^У*
вдоль	замкнутой линия		-		-
		Г г ~ х г- у г+2а,
	Г	• \	г г	-	а	г
	с	• ]х	+у	-	а	р
и ротор этого поля в			точке	А		р	об
и ротор этого поля в			точке	А		(0; - а ; а ) , Направление	об
хода	полояительяо.
	135. Найти с	помощью теоремы Стокса циркуляцию век
торного поля _						_
	( у - * ) Г + (2 х - y )J + z k

вдоль замкнутой кривой С, состоящей из отрезков координат

ных осей Ох, Оу и дуги окружности x =3cost, y~3$int}				^
ZухО от точки,	где параметр	t - 0 ,	до точі'.и, где t =	-
136. С помощью тесремы		Степса	найти циркуляцию век
торного поля	_	'
	у * i - x ZJ-i-z к
по контуру, получаемому при пересечении параболоида
дг'Ѵ z Z= f - у	о координатными плоскостями. Направ
лениеобхода,полокительиое.

137. Пользуясь формулой Стокса, вычислить циркуляцию

векторного	поля _	_
	F - o c l - b x z j - + Z K
по контуру,	образованному	Пересе іениам поверхности z * =
= 4 - х - у	с плоокостямя	координат. Направление обхода по

ложительное.

	В задачах І38 -І4І о помощью,теоремы Стокса найти цир
куляцию данных векторных полей F				по	указанному контуру Г
в	положительно^ направлении.			Г	- замкнутая кривая,
	138.	F ° y i - X j ,	а
соотоящая иа		коррдинатных осей Оу, Ох			и дуги астроиды
	x * R c o s 4 , у~ RsiaH,		Cxz-O, у^О , z~0J.
	139.	F**(х - 2z)7+(x i-Hy+zjj+(SX +LJ} F,
а Г- контур		треугольника АВС,	где	A(I;	0; 0 ), В (0; I ; 0),
С	(0; 0; I ) .

140.F~ (x-y+Jz)r+(y~3x+z)J+(x-3y+z)K}

а	Г - линия пересечения				плоскости			2 х+3у+6г-3=* О'
с	координатными плоскостями.
	I4 I.	F —y i + zT+XRj а					Г	- линия		пересечения по
верхности г = 2 ( і - х - у г]					с	плоскостью			Z	= 0.
	В следующих задачах 142-145 вычислить циркуляцию век
торного поля			вдоль кривой			в положительном				направлении дву
мя способами (непосредственно							и по теореме			Стокса).
	142.	=	г	Jr	г-	-	Г	Г-т^У*.
		F	~ x у	і у	+ г	к ,		: ^ 2 1 Л о .
	143,	F= zT~ у к ,						\ х ‘+ у г=4,
							F •*1X + 2 Z - S .
		—	_		'		__	k	£+ < /W ,
	И 4 . F - x y i + y z j + z x K , Г

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2819 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ