книги из ГПНТБ / Матвеев С.С. Гирокомпасы и гирогоризонткомпасы
.pdfВ уравнениях (1.8.4) или (1.8.5), согласно изложенному выше, P i . 9i н r i представляют собой проекции абсолютной угловой скорости
вращения |
рассматриваемого |
физического |
маятника |
(системы |
||
OxXxYxZx) |
на оси 01Х1, |
0XYX |
и 0XZX |
соответственно; L.v, и |
L U i — |
|
проекции на оси 0ХХХ |
и 0XYX |
вектора |
момента, |
создаваемого всеми |
приложенными к маятнику внешними силами, включая и силы инер
ции от переносного движения системы Oxb}L |
кроме сил реакции ротора |
|||
гироскопа на его камеру, которые |
создают |
момент dHldt, |
учтенный |
|
в уравнениях |
отдельно. |
|
|
|
Напишем сначала выражения для рх, qx |
и гх. Для этого спроекти |
|||
руем на оси 0ХХХ, 0XYX и 0XZX угловые скорости а, 0М и |3М относи |
||||
тельного движения маятника по отношению к системе 0ХЪ\^, |
а также |
|||
показанные на рис. 1.20 угловые |
скорости UX + V°EIRX, |
V°^IRX И |
||
U\ "т [vQ/Ri] |
tg ф системы Ox^riC |
по отношению к инерциальному |
пространству, обусловленные вращением Земли и собственным дви жением точки подвеса маятника относительно Земли. В дальнейшем, при рассмотрении влияния качки на показания гирокомпасов, мы будем пренебрегать несфёричностыо Земли и считать, что гравитацион
ная |
вертикаль |
0£* совпадает |
с геоцентрической вертикалью 0£' |
|||||
(см. рис. 1.10 и 1.16). |
|
|
|
|
||||
|
Итак, в общем случае качки судна будем иметь: |
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
ft»o. Л , |
|
(1.8.7) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
где |
R \ , R \ — расстояния точки |
Oi от центра Земли в случае соот |
||||||
ветственно наличия и отсутствия качки судна; |
v°' — скорость движе |
|||||||
ния точки Ох |
по отношению к Земле в направлении оси 0^ , обуслов |
|||||||
ленная качкой. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Из рис. 1.20, аналогично выражениям (1.6.15), для рассматривае |
|||||||
мого случая |
получим: |
|
|
|
|
|||
|
|
Pi = |
Рм + а |
% c o s а c o s |
6М "г"ш11s ' n а c o s |
— |
|
|
|
|
|
|
|
— ( а + co£ )sin9M ; |
|
|
|
|
Qi = 0М cos Вм + |
С0| (—sin а. cos 8М + cos а sin Вм sin 0М) + |
|
|||||
|
|
+ |
©т, (cos а cos Вм |
+ sin а sin Вм sin 0М) + |
(1.8.8.) |
|||
|
|
|
|
+ (a+co£ )cos 0М sin Вм ; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
rx = |
С0| (cos a cos 6М sin 0М + sin a sin 6М) + |
|
||||
|
|
+ ап |
(sin a sin 0Mcos 6М — cos a sin Вм) + |
|
||||
|
|
|
+ |
(а 4- со£) cos 0М cos Вм —0М sin В н > |
|
70
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим далее |
моменты |
LA-, и L U l в виде: |
|
|
|
||||
|
|
L ^ L i . |
+ L l + |
L;,; |
^ , = 4 |
+ 4 |
+ 4 . |
(1.8.9) |
|
Здесь |
Li , и L'y , — проекции |
соответственно |
на |
оси ОхХх |
и 01Y1 |
||||
момента, создаваемого действующими на маятник |
силами |
инерции |
|||||||
и тяготения |
к Земле; |
L d X t и |
L y i |
— проекции соответственно на оси |
|||||
0ХХХ |
и O i l 7 ! |
демпфирующего момента L d ; L*-, и L*yi |
— проекции соот |
||||||
ветственно на оси ОхХх |
и OxYx |
момента, создаваемого всеми другими |
|||||||
приложенными к маятнику внешними силами. |
|
|
|
||||||
Напишем теперь выражения для моментов L ' x , |
и LJyr При этом уч |
||||||||
тем, |
что проекции абсолютного ускорения |
точки, |
перемещающейся |
по земной сфере радиусом R к северу со скоростью vN и к востоку со
скоростью vE, |
на оси, связанной |
с Землей |
координатной |
системы |
|||
0ХЪ% (или O&nQ, определяются |
выражениями |
(1.6.12). |
|
||||
В рассматриваемых условиях качки судна расстояние Rx |
точки Ох |
||||||
от центра Земли |
определяется |
выражением (1.8.7), и она |
обладает |
||||
дополнительным |
ускорением v°' в |
направлении |
оси Ох£,х, |
которое |
|||
в выражениях |
(1.6.12) не учтено. Кроме того, в тех же выражениях |
||||||
не учтены поворотные ускорения |
и v^yUi |
+ — J, |
векторы |
которых направлены вдоль осей Ох£, и —0х ч\ соответственно, а также ускорение RXUX = U°'UX, вектор которого также направлен вдоль
оси —Ох-г\.
Таким образом, для интересующего нас случая можно написать:1
(1.8.10)
Кроме ускорений (1.8.10) необходимо еще принимать во внимание ускорение g силы тяжести, вектор которого направлен вдоль оси—0£ (см. рис. 1.20).
1 Подробный вывод выражений, аналогичных (1.8.10), приведен в рабо те [34].
71
Нетрудно убедиться, что выражения для моментов L ' X i и L\J x |
можно |
|
представить в виде (см. § 1.4): |
|
|
4 = - м ; 0 ; , ; |
L^-M*rfXi. |
(1.8.П) |
где М* — масса всех частей основного компаса, подвешенных |
в нак |
|
тоузе в точке О и I* — расстояние |
их общего центра тяжести от этой |
|
точки; /Х ] и /У ( — проекции соответственно на оси ОуХу и ОуУу |
уско |
рений (1.8.10), а также ускорения g силы тяжести, взятого с обратным
знаком [см. |
(1.4.30) |
], равные: |
|
|
|
|
|
|
||
/ * , = |
i\ |
c o s а c o |
s е и + |
i ° ' s i n а |
c |
o s 6 |
м— |
(s |
+ /'t') s i n |
9 м ; |
С= |
's' |
( " c o s |
PMs i |
n а + c o |
s а |
s i n |
P«s i |
n 9 M) + |
(1.8.12) |
|
|
|
|
+ y ° l ( c o s a c o s P M + |
|
||||||
|
+ |
sin a sin pM sin 6 M ) + |
(g + |
j^) |
cos 8И sin 6M . |
В рассматриваемом случае качки судна имеют место неравенства:
~^€м\Ги |
j^«M;I:; |
^ « м ; / ; ; |
J-^«MX |
(\Я.Щ |
Ну |
Ну |
Ну |
Ну |
|
С учетом этого, а также выражений (1.8.8) — (1.8.12) приме нительно к малым углам а, Эм и р\, уравнения (1.8.5) при Я = const приближенно могут быть написаны в следующем виде:
VNVE tgcp-
+
|
|
|
(1.8.14) |
|
- oO l + 2 0 o l t / 2 + |
_5L£_tgV - |
|
—o°. |
2U.+ |
|
|
В уравнениях (1.8.14) величины v%', v°E\ v\\', |
V°N и V°E опре |
||
деляются выражениями |
(1.7.5)—(1.7.8) |
и (1.8.10). |
|
72
Уравнения движения относительно |
системы OI§*IJ*CI. |
Аналогич |
||
ным образом могут быть составлены дифференциальные |
уравнения |
|||
движения |
относительно системы О&г]^, |
ось Oi£i которой направлена |
||
вдоль радиуса Земли |
(см. рис. 1.12 и |
1.16). Для этого |
обратимся |
|
к рис. 1.21, где введены следующие координатные системы: |
|
|||
O^rft* |
— система |
координатных |
осей, связанных |
с Землей, |
имеющая начало в точке Ох подвеса компаса в нактоузе. Направления осей: Ох £* — вдоль радиуса Земли, вверх; 0^* — в плоскости,
|
Рис. |
1.21. |
|
касательной к земной сфере, к северу; ось 0^* |
образует с осями 0Х £* |
||
и Ох £* правую систему |
координат; |
|
|
Oi£iT]i£i — система |
координатных осей, повернутая относительно |
||
системы Oi£*V£* вокруг оси Oi£* |
на угол 6?', определяемый равен |
||
ством: |
|
|
|
|
8f- = arctgf |
""'А |
(1-8.15) |
где v%x и Ufi — линейные скорости точки Ох |
в направлении осей Ох\* |
(к северу) и —С^т]* (к востоку), которые с достаточной степенью точ ности можно считать равными скоростям точки Ох в направлении осей OjJ и Охч\, так как система O^t, повернута относительно системы Ог1*Л*С* вокруг оси 0 ^ * на весьма малый угол к2 (см. рис. 1.16).
73
Кроме того, на рисунке показаны положительные значения углов отклонения: х (оси 0\Х\ от плоскости 0|£*£*); т}м (оси 0\Х\ от плос кости Oi£iT)i горизонта) и Вм (оси 0\ZX от плоскости 0\Х£\ верти кала, проходящей через ось 0ХХХ).
Аналогично выражениям (1.6.7) и (1.6.9) имеем:
|
(1.8.16) |
riO. |
(1.8.17) |
со. |
|
При этом величины v%1 и v°Ex определяются |
выражениями (1.7.7) и |
и (1.7.5). Положительные направления векторов угловых скоростей
V\IR\ |
и tog, с |
которыми система Oi?*rji£i вращается в инерциальном |
||
пространстве в случае качки судна, также указаны на рис. 1.21. |
||||
Проектируя угловые скорости х, т}м , 6М, VXIRX |
и cos на оси 01Х1> |
|||
OxYx |
и OxZx, |
получим проекции абсолютной угловой скорости маят |
||
ника на эти связанные с ним оси соответственно: |
|
|||
|
Pi = К + ^ c o s х c |
o s *» - (х + «Ч)s i n ®«; |
|
|
|
|
кх |
|
(1.8.18) |
|
|
+ |
(х + а[) cosftM sinBM ; |
|
|
|
|
||
|
г, = (х + |
coj) cos ftM cos 6 M - f t M sin p„ + | i - X |
||
|
|
X (cosxcosPM sinT3-M 4-sinxsinPH ). |
|
|
Аналогично |
выражениям (1.6.11) для случая |
движения точки Ох |
с абсолютной скоростью Vx вдоль оси—Ог|* по земной сфере радиусом
Rx |
будем |
иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
;0, __ у . |
;0, _ V lVA |
(1.8.19) |
|
где |
/°» и /?•— проекции линейного |
ускорения |
точки О на оси |
|||
|
5 i |
\ |
. |
|
|
|
OiSi, OiT)* и |
соответственно. |
|
|
|
||
|
Выражения (1.8.19) справедливы для случая Rx |
— const. В рас |
||||
сматриваемом же случае качки судна Rx |
изменяется, и точка Ох |
имеет, |
||||
дополнительное |
по сравнению с (1.8.19) |
ускорение |
вдоль оси |
Ofa, |
которое с достаточно высокой степенью точности может быть принято равным ускорению v°l точки Ох в направлении оси Ох £-
74
Абсолютная скорость точки 0\ в направлении оси Oi£* прибли женно может быть принята равной ее скорости v°' в направлении оси 0Х%. Вследствие неравенства этой скорости нулю в общем случае по явится дополнительное к (1.8.19) ускорение {VX1R-L) uf', вектор кото рого направлен вдоль оси—0,^*.
Таким образом, в условиях качки судна окончательно получим:
|
' T ; = V t ; |
3 — ( |
1 - 8 |
. 2 |
0 ) |
где |
определяется выражениями (1.7.7) и (1.7.5). |
|
|||
Проектируя на оси ОхХх и OxYx |
ускорения |
(1.8.20), с |
учетом, |
||
как и ранее, ускорения g0, |
вектор которого будем считать направлен |
||||
ным вдоль радиуса Земли (оси —0£*), и взяв его с обратным |
знаком, |
||||
будем |
иметь соответственно: |
|
|
|
|
|
i* = V.co' cosxcosft |
— | V, +— |
v?'\ cosft |
sinx— |
|
j* = V,(0g (—sinxcos BM + cos;tsin pM sin |
— |
(1.8.21) |
V\ + ~ - o°'j (cos x cos PM + sin x sin pM sin #M ) |
+ |
+ (g 0 + i f - ^ ) c o s # H s i n p M .
Поступая далее так же, как и в начале параграфа, получим прибли женно уравнения:
:М\1\
|
|
(1.8.22) |
|
V ^ - [ V |
^ V t x V l ] X |
Здесь Vx |
и cog определяются |
выражениями (1.8.5)—(1.8.Т7), a UJV, |
К'' |
v E vt и ^ - ( 1 . 7 . 5 ) - ( 1 . 7 . 8 ) . |
§ 1.9. Выражения |
для проекций |
линейных |
скорости |
и ускорения точки |
подвеса чувствительного |
элемента |
|
гирокомпаса, |
обусловленных |
качкой судна |
Движение относительно системы Ox§t}^. В общем случае движения гирокомпаса точка подвеса его ЧЭ, лежащая на оси 0XZX (см. рис. 1.20), будет обладать по отношению к системе Ох\ч\Х, имеющей начало в точке Ох подвеса всего компаса в нактоузе, линейными ско ростями относительного ее движения, равными:
г>1 = 6М х h; |
v2 = рм х |
lx, |
v3 = а х |
lx, |
где |
|
|
|
(1.9.1) |
|
|
|
|
|
1Х =—Zxlx, |
Z x ~ o p T |
оси |
OxZx и lx |
= OxO. j |
Как видно из рис. 1.20, вектор vx будет направлен вдоль оси —Ох Хх , вектор v2 — вдоль оси OxYx, а вектор v3 — перпендикулярно плос кости, проходящей через оси Oxt, и OxZx. Значения указанных скоро стей, исходя из того же рисунка, будут равны:
vx |
= QJX |
sin (90° - |
Вм) = |
djx cos B„; |
(1.9.2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
« 2 |
= |
Рм'ь |
v3 = al1sm(£lX; |
—Zx). |
|
||
Нетрудно убедиться, что |
|
|
|
|
|||
sin (С;'— Z1 ) = sin(Z1 ; |
£) = ] / |
1 — cos2 GH cos2Bb, |
(1.9.3) |
||||
Применительно к |
малым |
значениям углов 0М и 6М на основании |
|||||
(1.9.2) и (1.9.3) приближенно |
получим: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(1.9.4) |
Проекции скоростей vx |
и v2 |
на оси Ох%, — Охт] и Ох£, будут равны |
|||||
соответственно (см. |
рис. |
1.20): |
|
|
|
|
|
vNa = —и, cos a cos 8М |
+ о, (—sin a cos Вм + |
cos а sin Вм sin 8М ); |
|
||||
и £ ц = — y , s i n a c o s 0 M — v 2 |
(cos а cos 6м -(-sin а sin 8м sin 9М ); |
(1.9.5) |
° С = u i s i n 8 M + y 2 s i n P M c o s 0 M -
С учетом (1.9.4) на основании выражений (1.9.5) с точностью до величин второго порядка малости относительно углов а, 8М и Вм и соответствующих им угловых скоростей будем иметь:
(1.9.6)
76
Дифференцируя (1.9.6) по времени, получим:
N0 |
|
1 \ и 1 "м |
1 "м ) ' £„ |
1 ^"м 1 м 1 м ) ' (19 7) |
||
v |
- I т |
0 |
_|_я р + |
9 2 |
I кз\ |
|
£о |
1 I, |
м м |
1 " ы " м 1 |
м 1 |
t'ul |
|
Движение относительно Земли. Суммарная линейная скорость точки подвеса ЧЭ гирокомпаса по отношению к Земле (т. е. по отношению к системе 02 £rjQ представляет собой сумму скоростей, определяемых выражениями (1.9.6) и (1.7.7). Проекции ее на оси 01, —От] и 0£, параллельные соответствующим осям системы 02 £г)£, будут равны:
^ = < H - ^ o - = l 0 i C o s K + 1 i 0 i s |
i n ^ - i , |
(в„ + М |
|
vE = xfld + vEo = - л 0 , cos К +10, |
sin К-1, |
( Р и - f 8 и а) |
(1.9.8) |
где 1 0 , t ] 0 и £ 0 определяются выражениями (1.7.5).
Дифференцируя далее (1.9.8) или складывая (1.7.8) и (1.9.7) по лучим для проекций линейного ускорения точки О на оси 0£, —Оц и 0£ соответственно следующие выражения:
»Sr = 5 0 t cos iC + Л 0 . |
/С—2, (0м + Р м а + р > ) ; |
|
||
vE |
= - r , 0 i cos К +10, |
sin tf-/, (Р н + |
Эн а + 8м а) |
(1.9.9) |
где t0 , f) 0 |
и £ 0 определяются |
выражениями |
(1.7.6). |
|
Аналогичным образом можно показать, что если исходить из урав нений (1.8.22), характеризующих колебания маятника в рассматри ваемом случае по отношению к системе OiiiTii£i (см. рис. 1.21), то для проекций линейных скорости и ускорения точки подвеса ЧЭ гирокомпаса по отношению к Земле на оси 01, —On и 0£ получим приб лиженно выражения:
о", = 10_ cos К+V |
sin К - 1 , [*„ + Р м |
[х+бк)]; |
|
v* = - л 0 , cos К+ |
l 0 i sin K - l , [Рм + % |
( * + б к ) ] |
(1.9.10) |
og - to . + ' i ( ^ А + Р А ) ;
77
^ = i 0 l C O S * + Ч s i n |
ft,+P„ |
( * + . « . ) + P « |
( * + б к ) ] ; |
|
|
" l = - % 1 c o s X + l 0 l s i n / C - / J P M + * H ( ^ + e K ) + |
* M ( i + 6 K ) ] ; |
> (1.9.П) |
|||
"'"c-eo. + |
' i ( * и * и + |
РыРм + * - + Р2 м ). |
|
|
|
где | 0 , r\0 |
и £0 определяются |
выражениями (1.7.5), a £ 0 , r i 0 |
и t,Q — |
||
(1.7.6). |
|
|
|
|
|
§ 1.10. Уравнения движения чувствительных элементов гирокомпасов в общем случае качки судна при отсутствии его хода
Предварительные замечания. В § 1.6 был изложен способ состав ления уравнений движения ЧЭ гирокомпасов различных типов отно сительно связанных с Землей координатных систем 0£v|£ и О ^ т ] ^ применительно к случаю произвольного перемещения точек их под веса по земной сфере неизменного радиуса R.
В рассматриваемом общем случае качки судна расстояние точки О подвеса ЧЭ от центра земной сферы в соответствии с принятыми ранее
обозначениями равно (см. рис. 1.21): |
|
|
RK = R + Udt, |
(1.10.1) |
|
где R = R\ — 1\ — расстояние точки О подвеса ЧЭ от центра |
земной |
|
сферы при отсутствии качки; R\ — расстояние точки |
0\ |
подвеса |
всего компаса в нактоузе от центра земной сферы при отсутствии качки; у£ — скорость движения точки О подвеса ЧЭ по отношению к Земле в направлении оси 0£, обусловленная качкой судна и определяемая выражением (1.9.8).
Ускорение v\ точки О по отношению к Земле в направлении оси 0£ при качке судна определяется выражением (1.9.9) и в общем случае также не равно нулю. При отсутствии же качки скорость v\ и ускорение v\ в случае движения точки О по земной сфере неизмен ного радиуса R равны нулю.
Отсюда следует, что интересующие нас уравнения движения чув ствительных элементов ГК по отношению к системе 0£т}£ можно не
посредственно получить |
из |
уравнений их движения |
по |
отношению |
||
к той же системе, составленных для случая произвольного |
перемеще |
|||||
ния точек подвеса ЧЭ по земной сфере неизменного радиуса R, |
если |
|||||
подставить в последние: вместо R величину RK, определяемую равен |
||||||
ством (1.10.1); вместо vN, |
vE, |
vN и vE—соответственно |
величины |
v1^, |
||
vE, и* и vE, |
определяемые |
равенствами (1.9.8) и (1.9.9), и вместо |
g— |
|||
величину g + |
v^, где w£ определяется выражением (1.9.9). |
|
|
78
В выражениях для горизонтальных составляющих /'g и / линейных ускорений точки подвеса ЧЭ, согласно (1.8.10), следует учесть допол-
vKN |
( |
«" \ |
нительные ускорения v\ — |
и v\ I 2с7,-) |
I . При этом получен |
ии |
\ |
&К} |
ные таким образом системы уравнений необходимо дополнить для ги рокомпасов, у которых 1-у Ф 0, уравнениями (1.8.14).
Нетрудно убедиться, что аналогичным образом могут быть полу чены с достаточно высокой степенью точности интересующие нас урав нения и по отношению к системе О^тцЁ^, ось 0£i которой направлена вдоль радиуса Земли (см. § 1.8). Для этого необходимо в уравнениях
движения ЧЭ гирокомпасов по отношению к системе О ^ Г Ц ^ , |
состав |
ленных для случая произвольного перемещения точек их |
подвеса |
по земной сфере неизменного радиуса R, произвести указанные выше |
подстановки из выражений (1.10.1), (1.9.10) и (1.9.11), соответственно
для R, vN, vE, vN и vE, а вместоg0 |
подставить g-0 + х%. |
В выражении же составляющей |
линейного ускорения точки под |
веса ЧЭ в направлении оси Оц[, согласно (1.8.20), необходимо учесть
ускорение — (VJRK) v\. Полученные этим путем системы уравнений следует дополнить для гирокомпасов, у которых 1Х Ф 0, уравнениями (1.8.22).
Уравнения движения относительно систем 0\\i\£\ и 0\ч&. Таким образом, интересующие нас уравнения движения чувствительных
элементов ГК относительно системы 0\\ч\\£\ при допущении о сферич ности Земли можно найти, подставив в общие уравнения, приведен ные в § 1.1—1.3, вместо (1.6.13) и (1.6.14) соответственно следующие выражения:1
р = |
Р - f |
cos х cos |
ft—(JC+CU") |
sin ft; |
|
<7 = ft cos 8 -f- — (—sin x cos 6 + |
cos x sin P sin ft) + |
||||
+ |
[x+(ol) |
cos ft sin P; |
|
(1.10.2) |
|
r=(x+a>£\ |
cos ft cos p—ft sin P + — (cos x cos p sin ft-f- |
||||
+ sin x sin p); |
|
|
|
||
/» = V„toS cos х cos ft—(vK |
+ — |
u'Mcos ft sin x— |
|||
к |
Ь, |
^ |
/?к |
V |
|
1 Здесь и в дальнейшем для случая качки а,у заменяется на х.
79