книги из ГПНТБ / Матвеев С.С. Гирокомпасы и гирогоризонткомпасы

Подставляя эти начальные условия в уравнения (3.5.9), с допуще­ ниями (3.5.17) и той же точностью, с которой составлено уравнение (3.5.54), после преобразований получим:

Решим уравнение (3.5.54) применительно к случаю изменения скорости хода судна с постоянным ускорением на постоянном курсе. Тогда, подставив в него выражения (3.5.31) и учтя, что v = 0, после преобразований будем иметь:

Х + Т ( i L T ^ ™ р ) х + 1 Г [ U l + т s i n к ) х = f l { t ) + h { t ) > ( 3 - 5 - 5 8 )

где

(3.5.59)

f — J2- v c o s ^ R

Выражение для угла В применительно к рассматриваемому маневру судна было получено ранее [см. (3.5.51)]. Пренебрегая в нем членом, зависящим от момента трения L„, приближенно получим [см. (3.5.51), (3.5.33) и пример 3.1]:

180

приближенное равенство:

Подставляя его в левую часть уравнения (3.5.58), получим следующее неоднородное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами:

* + -f- ^ р - c o s j r [ U i + T s i n к ) х = h ®+h {t)- ( 3 - 5 - 6 2 )

Для облегчения его решения примем некоторые дополнительные до­ пущения.

В широтах, меньших 70°, эта ошибка будет еще меньшей. Теперь урав­ нение (3.5.62) можно написать в виде:

Полученное уравнение путем некоторых преобразований нетрудно привести к виду уравнения Матье (по однородной его части), периоди­ ческие решения которого хорошо известны. Исследования решения уравнения (3.5.63), выполненные автором, показывают, что удержание в левой его части второго члена дает несущественное уточнение ре­ зультата. Поэтому при приближенном исследовании баллистических погрешностей этим членом в данном уравнении можно заранее пре­ небречь и, следовательно, привести его к виду:

181

при t = О, х0 = О

где v0 — значение v при t = 0.

Решая уравнение (3.5.64) методом вариаций произвольных по­ стоянных и беря интегралы по частям при v = const, для начальных условий (3.5.65) получим:

Полученное решение определяет баллистическую погрешность рас­ сматриваемого ГК во время и к концу изменения скорости хода судна на постоянном курсе, с постоянным ускорением, при начальных усло­ виях (3.5.56). Анализируя это решение, нетрудно убедиться, что по­ грешность Xj обусловливается неравенством нулю возмущающего члена / х (f) и, следовательно, несоблюдением соотношения DV = Hg [см. (3.5.55)].

Это сотношение, как было показано в § 3.4, может быть написано также в виде Tv — Т0 [см. (3.4.4)]. Погрешность же х ш имеет место лишь при «неравенстве нулю члена f2 (t). При этом из выражения (3.5.59) видно, что данный член при маневрах судна все время будет равен нулю лишь в случае, когда В = 0, т. е. при полной стабилиза­ ции ЧЭ ГК по углу 6.

182

Это выражение в точности соответствует формуле для баллистической погрешности первого рода, известной из приближенной теории, когда при выводе исходных уравнений движения пренебрегают составляю­ щими скорости и ускорения судна вдоль параллели, а также поворот­ ными ускорениями, т. е. при учете влияния на показания ГК лишь меридианальной составляющей ускорения судна [25].

Формула (3.5.70), согласно упомянутой приближенной теории, определяет баллистическую погрешность гирокомпаса при отсутствии у него успокоителя в случае движения судна любым постоянным кур­ сом с постоянным ускорением. Согласно приведенной нами теории она определяет баллистическую погрешность рассматриваемого ГК лишь при движении судна с постоянным ускорением вдоль меридиана.

Заметим далее, что применительно к кратковременным маневрам судна можно упростить формулу (3.5.67). Действительно, при про­ должительности маневра, не превышающей 1—1,5 мин, с достаточно высокой степенью точности справедливы соотношения:

погрешности ГК к концу маневра судна для случаев его перемещения

183

Баллистические погрешности гирокомпаса во время и к концу циркуляции судна. Применительно к равномерной круговой цирку­ ляции судна с постоянной скоростью при отсутствии дрейфа и тече­ ния, на основании выражений (3.5.32) дифференциальное уравнение (3.5.54) примет вид:

184

Выражение для угла В применительно к рассматриваемому случаю было получено ранее [см. (3.5.52)].

Пренебрегая в нем членом, зависящим от момента трения L„, при­ ближенно будем иметь [см. (3.5.52), (3.5.35) и пример 3.2]:

Поскольку практически со,, «< соц, то последний член в этом выра­ жении оказывается сравнительно малым и им можно пренебречь. Тогда получим:

Кроме того, нетрудно видеть, что амплитудное значение коэффи­ циента D В/Я при х в уравнении (3.5.73) приблизительно в сон/соц раз меньше амплитудного значения коэффициента d cos (co„/ + К 0 ) , и убе­ диться далее, что указанным первым коэффициентом при приближен­ ном решении задачи можно пренебречь. Тогда вместо уравнения (3.5.73) будем иметь:

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение с пе­ риодическими коэффициентами, которое путем некоторых преобразо­ ваний (с исключением правой части) приводится к виду уравнения Матье. Общее решение последнего может быть получено методом раз­ ложения в ряд по степеням малого параметра, а частное решение не­ однородного уравнения — пользуясь, например, методом вариаций произвольных постоянных.

Решая указанным способом уравнение (3.5.77) для начальных условий (3.5.56) и отбросив малые члены, для вычислений с точностью

185

тельных циркуляциях (в пределах одной полной циркуляции продол­

186

(ОоФц

где

А">о сон

Приведенное выше решение (3.5.78) определяет баллистическую погрешность рассматриваемого ГК, имеющую место во время равно­ мерной круговой циркуляции судна и к концу ее. При этом нетрудно показать, что погрешность хх обусловливается неравенством нулю возмущающего члена fx (t) и, следовательно, несоблюдением соотно­

рода.

Следует заметить, что при получении выражения (3.5.75) мы исхо­ дили из уравнений (3.5.18) и (3.5.30), а значит, принимали во внима­ ние не только меридианальные составляющие скорости и ускорения судна, как это делается в приближенной теории, но и составляющие вдоль параллели.

Исходя из уравнений (3.6.18), (3.5.30) и (3.5.73) нетрудно убе­ диться, что пренебрежение составляющими скорости и ускорения судна вдоль параллели равносильно принятию в уравнении (3.5.73) условий:

Подставляя эти значения в (3.5.78) и учитывая, что при d = ех = 0

RUX

187

Г У 1

Рис 3.1

Рис. 3.2.

Этой формулой, как известно, пользуются при вычислении балли­ стических погрешностей гирокомпаса в рамках приближенной теории, изложенной в ряде работ (см. например, [25]).

Произведем вычисления значений хг, имеющих место во время циркуляции судна и к концу их, по формуле (3.5.79) и сопоставим результаты вычислений с погрешностями, вычисленными по прибли­ женной формуле (3.5.85). Возьмем случай, когда судно совершает равномерную круговую циркуляцию со скоростью v = 27 уз и перио-

Рис. 3.3.

дом полной циркуляции т ц = 240 с. Вычисления произведем для ре­ гулируемого (со0 = v) и нерегулируемого (©„ Ф v) по широте ГК для широт 70, 60 и 40° и начальных курсов 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270 и 315°. Баллистические погрешности гирокомпаса к концу поворотов судна на 90, 180 и 360°, вычисленные при данных условиях по формуле (3.5.79) с точностью до 0,05°, приведены на рис. 3.1—3.5.1 На рис. 3.4 и 3.5 в скобках указаны значения погрешностей, вычисленные по приближенной формуле (3.5.85), а на рис. 3.1—3.3, относящихся к ре­ гулируемому по широте ГК, эти значения погрешностей не указы­ ваются, поскольку при со0 = v они во всех случаях равны нулю.

Все погрешности на данных рисунках указаны в градусах.

189