книги из ГПНТБ / Матвеев С.С. Гирокомпасы и гирогоризонткомпасы

применительно к случаю его работы на неподвижном относительно Земли основании.

Дифференциальные уравнения (1.1.56) прецессионного движения ЧЭ такого ГК для общего случая были выведены в § 1.1. Подставляя в эти уравнения выражения (1.6.15), (1.4.36) и (1.6.12), а также положив в них

применительно к малым колебаниям без учета сжатия Земли с точно­

го

z

стью до величин первого порядка относительно углов а, 0, В, у и их производных по времени при L x = L y = L z = L r = 0 будем иметь:

90

после преобразований, с точностью до величин первого порядка ма­

чувствительного элемента двухгироскопного компаса с гидравли­ ческим успокоителем около положения равновесия, определяемого равенствами (2.2.3).

С целью получения приближенных выражений, которые могут быть использованы при определении параметров гидравлического успокоителя, принимая во внимание замечания, приведенные в на­ чале § 2.1, произведем упрощения системы уравнений (2.2.6). Анало­ гично тому, как мы поступали с системой уравнений (2.1.9), пренеб­ режем в уравнениях малыми членами: —H0U2ty*, Я(У2 В*, —H0 U2 y,

91

(2.2.6) связанных между собой дифференциальных уравнений будем иметь следующие две независимые друг от друга системы:

Сравнение приведенных ниже решений системы (2.2.8) с соот­ ветствующими решениями системы (2.2.6), выполненными с помощью электронной вычислительной машины, показало, что их отличия по колебаниям основной частоты (см. § 2.1 и 3.7) оказываются заметными лишь в широтах, непосредственно примыкающих к ф = 90°. Поэтому с достаточно высокой степенью точности при исследовании свободных

Все коэффициенты уравнения (2.2.10) положительны. Как известно, один из корней уравнения этого вида всегда действителен. Остальные могут быть действительными или комплексными в зависимости от того, положителен или отрицателен дискриминант, который для дан­ ного уравнения равен [4]:

где т, п и q — некоторые вещественные числа. При этом, согласно формулам Виета, между корнями и коэффициентами указанного уравнения существуют следующие соотношения [17, 25]:

m + 2n = F; n2 + q2 + 2tnn = cog; т (n2 + q2) = pa>»F. (2.2.14)

92

Решения системы (2.2.8), с учетом (2.2.13), могут быть представ­ лены следующим образом [171:

Для определения постоянных интегрирования по начальным ус­

Из выражений (2.2.15) следует, что свободные колебания ЧЭ рас­ сматриваемого гирокомпаса около положения равновесия по углам х, у и 2 будут затухающими, если вещественные части корней (2.2.13) характеристического уравнения (2.2.10) отрицательны. Необходимые и достаточные условия для этого, как известно, могут быть определены исходя из критерия Гурвитца, который в интересующем нас случае приводит к неравенствам [17, 25]:

93

Пользуясь равенствами (2.2.14), можно по известным величинам F,

со2, и р определить коэффициенты т, п и q.

В реальных гирокомпасах этого типа коэффициент т по абсо­ лютной величине примерно в три раза больше коэффициента п. Сле­ довательно, в системе (2.2.15) первый (апериодический) член правой части выражения для х уменьшается гораздо быстрее, чем второй (пе­ риодический) член.

После того как апериодическое движение, соответствующее этому

Колебания гиросферы по азимуту, согласно (2.2.19), представлены графически на рис. 2.2; из (2.2.19) следует, что период их равен

Фактор затухания этих колебаний в соответствии с его определением ирис. 2.2 может быть записан в виде [см. (2.1.19) и (2.2.20)]:

Закон изменения во времени амплитуд периодического члена хп, определяемого выражением (2.2.19), имеет вид:

(xa)A = e-niEQ.

Чтобы найти промежуток времени, необходимый для уменьшения амплитуды nepiпериодического члена до одной сотой ее первоначальной

94

Аналогично этому промежуток времени Ег, необходимый для того, чтобы начальное значение апериодического члена Ade~mt в выражениях (2.2.15) уменьшилось в сто раз, будет определяться равенством:

Из приведенных выше формул видно, что с помощью гидравли­ ческого успокоителя можно обеспечить гашение свободных колебаний чувствительного элемента гирокомпаса.

х

ч

\

Рис. 2.2.

В дальнейшем (см. § 2.6) будет показано, каким образом при ис­ пользовании этих формул определяются параметры успокоителя исходя из заданной интенсивности гашения колебаний.

§ 2.3. Погашение колебаний гирокомпаса с п о м о щ ь ю момента, действующего на чувствительный элемент относительно вертикальной оси

Уравнения движения чувствительного элемента. Предположим, что гирокомпас снабжен специальным приспособлением, которое соз­ дает некоторый момент L z d , действующий на ЧЭ относительно верти­ кальной оси 0Z и пропорциональный углу отклонения главной его оси ОХ от плоскости горизонта (при работе на неподвижном относи­ тельно Земли основании — от плоскости истинного горизонта).

Пусть направление момента Ld будет таким, чтобы создаваемое им прецессионное движение всегда стремилось привести главную ось ОХ ЧЭ кратчайшим путем к совпадению с плоскостью горизонта. Такое^требование является необходимым, так как в противном случае колебания ЧЭ будут расходящимися.

95

где Q — коэффициент пропорциональности (или крутизна характе­ ристики демпфирующего момента), зависящий от конструктивных параметров прибора; 0 — угол наклона главной оси ОХ ЧЭ к плоскости истинного горизонта (8 > 0 — вниз). Для ГК с гидравлическим маят­ ником L \ — —Q6.

Рассмотрим влияние момента L \ на характер колебаний ЧЭ в слу­ чае гирокомпаса с косвенным управлением.

Дифференциальные уравнения прецессионного движения ЧЭ одногироскопного компаса данного типа, составленные с учетом мо­

небречь инерционными членами и подставить в них выражения

Подставив далее в уравнения (2.3.4) вместо переменных а и 0 их выражения из (2.1.14) и приняв во внимание, что, согласно этим выра­ жениям, а = х и 61 == у, после преобразований получим:

1 О влиянии инерционности маятника (акселерометра) на переходные ха­ рактеристики ГК с косвенным управлением см. § 4.7.

96

Из выражений (2.3.9) следует, что колебания чувствительного эле­ мента около положения равновесия в рассматриваемом случае яв­ ляются затухающими.

Период затухающих колебаний и фактор затухания, согласно ра­ венствам (2.1.20), (2.1.19), (2.3.10) и (2.3.8), будут равны соот-

97

ветственно:

Подставляя значение Q из (2.3.12) в (2.3.11), после преобразований получим:

Величины Tdn f удобно представить также в следующем виде [19]:

где т) — угол схождения равноугольной спирали, который, в свою очередь, определяется из равенства:

Аналогично выражению (2.2.22), применительно к рассматривае­ мому гирокомпасу, на основании (2.3.9) можно написать:

h

где Ег —промежуток времени, необходимый для того, чтобы ампли­ туда угла х уменьшилась до одной сотой ее первоначальной величины.

Ниже (см. § 2.9) нами будет показано, каким образом, пользуясь приведенными выше формулами, определяются параметры приспо­ собления для гашения колебаний гирокомпаса исходя из заданной интенсивности затухания колебаний.

§ 2.4. Погашение колебаний гирокомпаса с п о м о щ ь ю момента, действующего на чувствительный элемент

относительно горизонтальной оси и пропорционального угловой скорости его вращения по отношению к плоскости горизонта

Предварительные замечания. Рассматриваемый способ гашения колебаний предусмотрен в гирокомпасе «Сперри Мк!».1 Колебания

к гирогоризонткомпасу типа Бегена—Монфрэ—Карпантье, а также в работе [28].

98

демпфируются при помощи специального электромагнитного устрой­ ства (демпфера), которое создает момент, пропорциональный угловой скорости вращения ЧЭ по отношению к плоскости горизонта (по вы­ соте) и действующий на последний относительно горизонтальной оси прецессии. Величина этого момента при работе прибора на неподвиж­ ном относительно Земли основании равна:

Уравнения движения чувствительного элемента и анализ их ре­ шений. Дифференциальные уравнения прецессионного движения ЧЭ рассматриваемого гирокомпаса, составленные для указанных усло­ вий, с допущениями и обозначениями, принятыми в уравнениях (2.3.4), будут иметь вид:

Системой уравнений (2.4.4) или (2.4.5) характеризуются свободные колебания чувствительного элемента около положения равновесия, определяемого равенствами (2.4.3).

По своему виду уравнения (2.4.5) идентичны уравнениям (2.3.7). Поэтому решения их и все другие вытекающие из этих решений соот­ ношения могут быть получены из формул (2.3.9) — (2.3.17), если поло­ жить в них

2 b - ^ - ( Q = ^ ) .

99