книги из ГПНТБ / Матвеев С.С. Гирокомпасы и гирогоризонткомпасы
.pdf+ М/Усо£ ( — а , + РФ) — MIV (1 -I-а,ВФ) +
(3.11.5)
2В (sine^. + cose^*) [В' + со^ — (а, + а^) ft] +
+ 2h* (e r - e 0 r ) + 2ft* ( ^ - ^ ) + L* = 0.
Принимая во внимание, что согласно (3.7.14), (3.11.2) и (1.6.8) при
Ml ---- const |
|
|
2h* (er —6 or) ——2Bsinerco^; ] |
|
|
2B cos er = MlV\ |
(3.11.6) |
|
d(2B cossr) __ ^д> |
||
|
и, кроме того, учитывая допущение (2.10.12), можно уравнения (3.11.5) с точностью до величин первого порядка относительно углов al P ft, 6 и •ф* написать в следующем виде:
2В cos (otj + со? ft—ftp) —2В sin er (а, + <oCi) ^* +
+ MlVa{ |
+ Mglft—L* |
= 0; |
ft — со£ |
а, + (a, + |
p + |
+ L* [2B (cos er—sin er ip*)]-' = 0;
(3.11.7)
2B sin ertp* + 2B cos едлр* + 2B cos еггр*гр* + + М/Vojja, — Mgl$ + L ; = 0;
2B sin erp — 2B sin er (a, + co£_) ft +
+ 2B cos er (ВУ + <og y) + 2/i* ( л р * - ^ ) + L * r - 0 .
Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента ГК, справедливые для случая произвольного маневрирования судна при отсутствии качки. Они удовлетворяются тождественно при a x = f t = р = яр* = 0 и соблюде нии равенств:
^ = 0; L ; = 4 = LJ = 4 = 0. |
(3.11.8) |
Последние равенства, как нетрудно видеть из изложенного в § 3.1 и 3.7, при L T = 0 идентичны равенствам (3.1.5) — (3.1.8).
230
Согласно (3.7.18), (1.6.8) и (3.11.6) будем иметь:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.11.9) |
|
|
|
|
|
2В cos sr = MlV = |
MlRUf{t)\ |
|
|
|||||||
|
|
2Вsin |
е, = 2В]Л—cos4 |
|
= |
2В |
— |
|
|
{^^)t%(Г); |
(3.11.10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MIV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2S sin er |
|
|
|
|
|
||
|
На основе |
(3.11.9), (3.11.10), |
(3.5.13), |
(2.10.5), (3.11.2), |
(3.7.17) |
||||||||||
и (3.7.18) дифференциальные уравнения |
(3.11.7) |
при L* = L* = L'z = |
|||||||||||||
= L r |
= 0 могут быть представлены |
в |
виде: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
х = (1 - /VP*)- 1 |
№ |
+ лпя|>* - п3х~ |
(л, + лО Ф]; |
|
||||||||
|
|
|
= |
пгх—дф—л2В; |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.11.11) |
||
|
|
|
я|>* = (1 + |
л4 гр*)-' [-л7я|>* - п9х + л8 В]; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Р = |
(1 + л ^ * ) - 1 |
[хЬ + п,т>- (л1 0 + |
я1 2 ) гр*+п10гр*], j |
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х=а1—а1г |
= а1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
«х = ^ - = |
^ ( 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
л2 |
= |
coj, = U sin ф + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Од, |
I cos ф + |
J |
— ( t ) P |
—vMU.) |
|
-2- |
|
||||
|
|
|
|
N |
1 |
RU |
K |
E |
N |
21RU |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Я£//2(г) |
|
|
|
|
' |
|
||
|
|
|
|
|
( V 4 —VK,Un) |
/ |
|
VE |
\ |
|
• |
VN |
|
||
|
|
|
|
|
\ |
COS ф 4 |
|
j |
-f- V., |
|
|||||
|
|
|
|
|
К E |
N |
2) |
|
RU |
N |
RU |
|
|||
л 3 |
= |
2B cos ел |
У |
|
|
|
|
RUf*(t) |
|
|
|
|
|
||
n4 |
|
|
MIRU |
|
|
/2 (0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
- ctg er |
2B |
У-( MIRUy2B |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n6 |
= tger |
= |
J f2V) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
231
Mgl |
v2 |
25 cos е г |
~~ Uf (t) |
:ctge,er =- -nfn'4 '3'
Mgl 2B sin er
|
ы_ = ctge, |
C0£, = / j 4 « 2 , |
|
|||
|
26 sin er |
|
|
|
|
|
'10 "-= |
2ft* |
|
|
2ft* |
(3.11.12) |
|
2B sine, |
25 |
1 — |
MIRU \ 2 |
|
||
|
|
2S |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
tg erco£, = |
nb /ij; |
|
|
|
|
|
ctg erco|, |
n^tii, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h* — |
2BU)f(t) |
%=h~ |
e0r = e0 -arccos |
|
25 |
|
||
|
2h* — MlRUT~ (t) |
|||||
|
|
|
|
|
Следует заметить, что уравнения (3.11.11) могут быть использо ваны при исследовании возмущенных движений ГК данного типа как регулируемых, так и нерегулируемых по широте и скорости судна. Однако, если в первом случае, когда угол гр* мал, эти уравнения остаются справедливыми в неограниченном диапазоне широт, то во втором случае, когда е0 = const (например, ГК «Курс-3»), ими можно пользоваться лишь при значениях гр* (и, следовательно, гр*), не пре вышающих 5 — 10°, т. е. в ограниченном диапазоне широт. При очень малых углах х, ft, В и гр* можно пользоваться упрощенной по сравне нию с (3.11.11) системой уравнений, написанной с точностью до вели чин первого порядка, относительно углов и соответствующих им угло вых скоростей (см. [11] и § 3.5).
Эта упрощенная система уравнений при прежних обозначениях будет иметь вид:
х = пп гр* — п3х—(пв + n2 ) ft; |
|
|
•& = п1х—п2$; |
(3.11.13) |
|
гр* = — /г7 гр*—па х + л8 В; |
||
|
||
В = п2Ъ—(л10 + л ц ) гр* + nwty0. |
|
Однако в каждом конкретном случае следует обосновывать возмож ность ее применения, учитывая также зависимость коэффициентов л4 и пъ от широты.
232
В § 3.7 было показано, что двухгироскопный компас с непосред ственным управлением при регулировке, в соответствии с равенством (3.7.12), будет идентичным пространственному гирокомпасу Гекке- лера—Аншютца.
Напишем дифференциальные уравнения движения |
такого |
ГТК |
в виде, удобном для решения на ЭЦВМ, и обратимся |
с этой |
целью |
к системе (3.11.7). Принимая далее во внимание (3.11.1), (3.11.2) и (3.7.12), путем очевидных преобразований получаем следующее выра жение:
2h* (op*—ар*) = Muf (COs2 6^'*—S'n2 г№*— S ' n & r C 0 S е$**)'
которое с точностью до величин первого порядка малости относительно угла ар* может быть написано в виде:
2/Г (0J/-0J,;) = - J 5 L (cos2 e r - s i n 2 вг ) op*.
Подставив его в последнее уравнение (3.11.7) и учитывая, что сог ласно (3.11.6) и (1.6.8).
cos^e, = 2В cos е^шс,,
MIR
r |
г |
ё' |
после преобразований, при L* = 0, получим: |
|
|
В' = (1 + /г4ор*)-1(л:г> + п2 а7-/г1 за|)*), |
(3.11.14) |
|
где дополнительно по сравнению с (3.11.12) обозначено: |
|
|
|
_ < з л , л 5 |
) |
Остальные же уравнения в рассматриваемом случае |
при L x = L y |
— |
— L z = О будут такими же, как и соответствующие |
им в системе |
|
(3.11.7). |
|
|
Таким образом, при регулировке, определяемой равенством (3.7.12), с точностью до величин первого порядка относительно углов х, ft, В и ар* и их производных по времени, будем иметь систему уравнений, отли чающуюся от (3.11.13) лишь последним из них, которое примет вид
1см. (3.11.14)]: |
|
6' = n2 ft—п1 3 Ц*. |
(3.11.16) |
Такие же уравнения могут быть получены, если исходить не из (3.11.7), а из (3.7.3). Для этого достаточно лишь дополнительно учесть, что согласно (3.11.4), (3.7.19) и (1.6.8):
sin е cos е = sin (ег + ip*) cos (er +- op*) = sin er cos er + + cos2 erop*—sin2 e/ip*—sin &r cos era|)*2
233
4 В 2 sin er cos er = 2B sin ег ш^.
MIR
Результаты исследования с помощью ЭЦВМ устойчивости невоз мущенного движения гирогоризонткомпасов на конечных интервалах времени применительно к случаю циркуляции судна. Указанное иссле-
х, дуг. мин
Ь5(п.ц); 90(п.ц],М(п.и*); Ю(лц*)
О |
-1 |
J |
t_ |
0,5
0/П.Ц1;0(АЦ*);0!ПД 90(лц)
|
•i,dyz.c |
|
|
|
2 |
- |
Зв(/1.ц) |
Остальные случаи |
|
|
|
/ |
||
1 |
|
|
|
|
|
1 / |
1 |
|
|
|
|
—-720 t,c |
||
О |
|
/ |
350 |
|
|
_ |
W/лц) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
710 t,c 90(лц) В1п.ц);01п.ц*);0(лц1
80ln.nl
90(л.ц*);90(л.ц*)
Рис. 3.9.
дование было выполнено для двухгироскопного гирогоризонткомпаса с непосредственным управлением, в котором соблюдаются соотноше ния (3.11.8) или (3.7.17) и для ГГК Геккелера—Аншютца. Для этого
на ЭЦВМ выполнялись |
решения системы дифференциальных уравне |
ний (3.11.11) при гр* = |
0, а также при замене последнего ее уравнения |
на (3.11.14). |
|
234
При указанных вычислениях |
были приняты исходные |
данные: |
|||
v — 30 уз; т ц = |
6 мин; ср = 80° и MIRU/2B = 1. |
|
и В при |
||
Полученные в результате решения значения |
величин х, •& |
||||
менительно к начальным условиям: |
|
|
|
||
* = 0; |
x = x0 = 2,0-10- 4 |
рад; г} = г% = 4 , 5 - Ю - 5 |
рад; |
|
|
В = В0 = 3,0- Ю - 6 рад; |
ip* = (гр*),= 0 = 2,0• Ю"5 |
рад |
|
||
показаны в виде соответствующих кривых на |
рис. 3.9 |
для |
правых |
||
(п. ц) и левых |
(л. ц) циркуляции с начальных |
курсов |
0,45 |
и 90°.1 |
Те из них, которые относятся к пространственному ГК Геккелера—Ан- шютца, помечены звездочкой, например, 45° л. ц,* в отличие от 45° л. ц,
полученных в результате решения системы |
уравнений (3.11.11) при |
|
гр*, = 0. |
|
|
Из рисунка |
видно, что при некоторых |
циркуляциях (единичных |
маневрах) судна |
имеет место увеличение начальных отклонений ЧЭ от |
положения невозмущенного движения. Однако выраженной неустой чивости движения обоих типов ГГК не наблюдается, что согласуется с выводами ряда работ [14 и др.].
Анализ результатов, приведенных на рис. 3.9, показывает, что даже при столь малых начальных отклонениях, принятых для вычисле ний, погрешности ГГК в некоторых случаях возрастают за время циркуляции почти до одной дуговой минуты (см. кривые 45° л. ц и др.). При этом наиболее интенсивное возрастание погрешностей наблю дается в тех случаях, когда во время циркуляции оказываются срав нительно большими отклонения J3 и ф (см. кривые 45° л. ц, 90° л. ц и др.). Отсюда следует, что высокая точность показаний рассматривае мых ГГК в условиях маневрирования судна может быть получена только, если перед началом маневра они будут находиться в поло жении динамического равновесия с весьма высокой степенью точности (и особенно по координатам гт и В). Кроме того, как следует из данного рисунка, в поведении таких ГГК имеются и некоторые отличия. Од нако в большинстве случаев они являются незначительными.
§ 3.12. Баллистическая погрешность второго рода двухгироскопного компаса с гидравлическим успокоителем
Предварительные соображения. Учитывая замечания, приведенные в начале § 3.5, примем в качестве исходной систему уравнений (2.10.1), записав ее в следующем виде:
1 На этих кривых указаны значения Ко в градусах.
235
2Вcose (а, + co£i—r>B-f-cogft)—
Yl
|
|
•D' |
|
R |
Ъ + |
Су-С=0; |
|
|
|||
|
|
|
g |
|
|
|
|||||
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2B cose [ft— o)g a, -f- \ax |
+ |
co^ pj — Cy |
|
|
Yl |
L ! = |
0; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
(3.12.1) |
|
у = |
— F I ft + |
v • |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8°~~R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
|
2B sin ее + D , - L + |
D , - ^ - L + Dx R |
g |
1 |
P + 1 * . = 0; |
|
||||||
|
2B sin e [p + |
to6( |
- |
(a, + соj ft] |
+ |
L n p + |
L; = 0, |
|
|||
где дополнительно обозначено |
[см. (2.10.27)]: |
|
|
|
|||||||
С Я = В —2/x .gp*; |
D ; = D — 2/ |
-gp*; |
D = Mg/. |
(3.12.2) |
|||||||
Полагая |
в уравнениях (3.12.1): |
|
|
|
|
|
|||||
а 1 |
= ^ = у = р = е=:0; |
a 1 = =a l r ; |
ft |
= |
ft>; |
y = y,.; |
|
||||
Р = РГ ; |
е = еЛ; |
L n p |
= ( L n p ) r ; |
V = const |
(vN = 0, vE = const) |
и= L*, = L*. = L*. = 0,
для положения равновесия ЧЭ будем иметь: а 1 г = 0;
/ Ч
25 cos е г — / |
— • |
|
YL |
|
|
||
|
1 |
g |
|
go |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ftr = - |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
^JL (go — ~^~) |
+ 2B cos er |
С |
(3.12.3) |
||||
g { |
^ |
/ |
|
|
|
« |
|
У CO,
>
go — •
Pr = 0; ( £ п р ) г = - 2 В 8 т е Д с о е - с о 5 Ф г ) ,
236
где
V |
°F |
со. = — = const и |
со. = £/ - f — tgcp = const. |
Из выражений (3.12.3) видно, что положение равновесия ЧЭ по углам ft, у и е зависит от величин V и со^. С изменением последних в общем случае будет изменяться и положение равновесия по указан ным углам.
Пользуясь приведенными уравнениями, можно получить общие выражения для баллистических погрешностей гирокомпаса, имеющих место как во время маневра судна, так и после его окончания. Для этого
необходимо |
прежде |
всего |
найти |
законы |
изменения углов х = аг — |
a\r — a i . |
ft. у, 8 |
и е во |
время |
маневра |
в предположении, что перед |
началом его ЧЭ ГК находился в положении равновесия. Они могут быть получены путем решения уравнений (3.12.1) для начальных усло
вий |
[см. |
(3.12.3)]: |
при |
t — 0; |
х = хг |
= |
а 1 л = |
0; ft = |
ftr; |
у = |
у/, |
|||
В = |
р\ = |
0; е = |
ег . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение для х будет представлять собой выражение баллистичес |
|||||||||||||
кой погрешности гирокомпаса во время маневра судна. |
|
|
|
|||||||||||
|
Пользуясь этими решениями уравнений (3.12.1), можно определить |
|||||||||||||
значения |
хк, ftK, |
ук, |
р к |
и ек |
для |
момента окончания маневра |
судна. |
|||||||
Подставив |
далее |
величины |
хк — xr; |
ftK—ft/, |
ук — уг\ |
6К — Вг |
и |
|||||||
ек — 8Г |
в |
качестве |
начальных |
значений |
соответствующих |
углов |
||||||||
в уравнение для |
свободных |
колебаний |
ЧЭ |
ГК |
по азимуту, получим |
общее выражение для баллистической погрешности гирокомпаса, имеющей место после маневра судна. При этом все члены, зависящие от величин С и F, характеризуют баллистическую погрешность второго рода Х\\. Однако необходимо отметить, что решение указанных урав нений обычно сопряжено с преодолением значительных трудностей.
Найдем приближенное выражение погрешности хи применительно к кратковременным маневрам судна, для чего упростим систему (3.12.1), а именно в первом ее уравнении пренебрежем малыми членами:
2Bcose](—ftB+ cOgft) и |
^ j - V ^ i - |
Так как максимальные значения Р т а х и у т а х |
в реальных условиях ра |
боты ГК значительно меньше значения (aJmax, то во втором уравне
нии той же системы пренебрежем членами Су |
—-— |
и (а, + о>£ j В, |
|
( * ° - т ) |
|
а в третьем, четвертом и пятом уравнениях |
отбросим |
соответственно |
малые члены — F — — — , — Усо. а. и —2В sin е (а. + со.) ft.
8°~т
237
Тогда с учетом допущения будем иметь:
2Bcosefx+co,) V Ы /
т}—cot x = 0; Si
7 = —F (r>4-v
(2.10.12), |
при |
L x = L y — L z = L* — 0 |
|
^-Усог |
4-D,T> + |
CV = 0; |
|
дт |
el |
U |
|
|
|
|
(3.12.4) |
Vco,
|
<J(2Bcoss) _ g ^ y |
+ D |
p = |
0 |
|
|
|
|
|
|
dt |
8 |
|
M |
|
|
|
|
(3.12.5) |
|
2B sine (P + |
a > 6 i ) + L n p |
= |
0, |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C^2X 2 5p*g; |
л = а , — а 1 г |
= |
а г |
|
|
|||
В результате произведенных |
упрощений мы вместо одной |
системы |
|||||||
(3.12.1) зависимых друг от друга нелинейных |
дифференциальных |
||||||||
уравнений получили две независимые системы |
линейных |
уравнений. |
|||||||
Системой |
(3.12.4) приближенно |
характеризуются |
движения |
чувстви |
|||||
тельного |
элемента ГК по азимуту |
и высоте, |
а |
также |
перемещение |
масла в успокоителе. Системой же уравнений (3.12.5) характеризуются
движения |
гиросферы вокруг оси ОХ (по углу Р) и гироскопов вокруг |
||||||
вертикальных осей (по углу е). |
|
|
|
||||
Рассмотрим систему (3.12.4), причем заметим, что в ее уравнениях, |
|||||||
согласно |
равенствам |
(1.6.7) — (1.6.10): |
|
|
|||
v = V{RUX |
+^)2+^; |
|
|
|
* |
||
w £ , = |
t / 2 |
+ l |
f tg<p + |
6; |
|
|
|
tg6 = - |
|
|
|
|
|
|
|
8 = JL |
I arctg |
vN |
cos б — ( o £ |
— VNU2) sin б |
(3.12.6) |
||
|
|
|
|||||
|
dt |
\ |
|
|
|
|
|
= |
Y(RUl+VEy |
+ |
v% (ua + |
^ t g Ф j + |
|
||
|
|
|
+ vN cos8 — [vE—vNU2) |
sin 6. |
|
238
Полагая в уравнениях (3.12.4):
х = Ь — у = 0; х = х/, •& = •&,. и у = уг,
для положения равновесия будем иметь:
а1г = хг = 0;
|
' D'„ |
\ |
|
—У- V — 2S cos zr |
|
ftr = |
g |
D„ — C |
|
|
V(of
g
cuf
l l
CVcHf
g
(3.12.7)
Решив систему (3.12.4), можно убедиться, что составляющие ско рости и ускорения судна вдоль параллели при некоторых маневрах оказывают существенное влияние на характер и величину баллисти ческой погрешности гирокомпаса, и ими, в общем случае, нельзя пре небрегать.
Исследование погрешности второго рода хп с учетом этих состав ляющих и поворотных ускорений приведено ниже в § 3.13 для ГК, затухание которого на время маневра судна выключается.
В настоящем параграфе мы приведем приближенное решение за дачи для оценки лишь качественной зависимости погрешности хи от параметров гидравлического успокоителя.
Законы изменения угла у во время маневра судна. Из второго урав нения системы (3.12.4) следует:
f> = со, х.
Интегрируя это выражение для случая, когда перед началом ма невра ЧЭ находился в положении равновесия, получим:
(3.12.8)
где т>г 0 — значение угла г) в положении равновесия перед началом ма невра; t — момент времени маневра, для которого вычисляется
Будем рассматривать кратковременные маневры судна, для кото рых приближенно примем:
i |
|
^ с о ^ т я к О . |
(3.12.9) |
о |
|
Можно показать, что при возрастании за время маневра |
угла х от О |
до 3° (хср як 1,5°) максимальная ошибка в вычислении |
погрешности |
239