книги из ГПНТБ / Амиро И.Я. Ребристые цилиндрические оболочки

Представим Y (х) в виде суммы двух слагаемых1:

Ы

А

да X — ± г'С находим, что все коэффициенты этого выражения по-

ложительны. После подстановки (11.66) в (II.68) выражение % ^ ^kL lk + FlkL^k — 2 Ій Лг А) принимает вид

ха f1^ ) 2

x [ e ~ l V f [ a ^ - 2 & ^ L a h ] k \ ' +

и приведения подобных получим, что все коэффициенты при С2— положительные числа.

Следовательно, удалось показать, что уравнение (II.64)__ уравнение относительно £2 с положительными коэффициентами. Как известно, уравнение с положительными коэффициентами не имеет положительных корней. Поэтому £ не может быть действи­ тельным положительным числом, а х не может быть чисто мнимым. Іаким образом, корни уравнения (11.64) либо действительные, либо комплексные числа, а это значит, что описываемые ими состояния затухают при удалении от загруженного края.

1 Обозначения 2 ' и 2" введены для того, чтобы оттенить, что суммирова- IИ,’ 1Кромеп ^ Г /В0Д1Г£j==:£. СЯ В Перв0М случае по всем *• кР°ме '= 'ь во втором - по всем

50

Подставляя во вторую сумму (11.66) и (11.73), приводя подобные в полученном выражении, нетрудно убедиться, что и вторая сумма представляется в виде суммы дробей, в которых все коэффициенты

ние (II.65) не имеет чисто мнимых корней 1. Отсюда следует, что циклически антисимметричные состояния, определяемые ненуле­ выми корнями этого уравнения, затухают при удалении от загру­ женного края.

Анализируя характеристические уравнения для оболочки, нагру­ женной произвольной нагрузкой, предположим, что ребра слабо со­ противляются изгибу в плоскости, касательной к срединной по­ верхности обшивки, и кручению и примем А.1с= Х2с= ^зс= (хс = 0. Тогда уравнения системы (11.49) можно записать в виде

Сравнивая (11.75) и (11.64), нетрудно убедиться, что все сделан­ ные выше выводы о свойствах корней уравнения (11.64) можно автоматически перенести на уравнение (II.75). Следовательно, сре­ ди корней уравнения (11.75) также нет чисто мнимых, и соответ­ ствующие состояния носят характер местного возмущения.

Протяженность зоны возмущений определяется, как известно, величиной минимальной вещественной части корней соответствую­ щих характеристических уравнений. Определим ее, предположив, что минимальную вещественную часть имеет минимальный по мо­ дулю корень характеристического уравнения 2.

Рассмотрим сначала уравнения (11.64) и (11.65). При определе­ нии минимальных корней уравнения (11.64) будем предполагать, что выполняется одно из следующих сильных неравенств:

Упрощая (II.64) в соответствии с (11.76), получаем следующее

(Пі = ~2 ), коэффициенты которого зависят только от Цс и Лс.

2 Для этого предположения имеются такие основания: минимальную веще­ ственную часть имеет минимальный по модулю корень в двух предельных слу­ чаях (неподкрепленная и конструктивно ортотропная оболочка). Вещественные части корней характеристических уравнений для указанных оболочек и корней уравнений (11.77), (11.79), (11.82) имеют тот же порядок, что и мнимые части этих корней или больше их.

52

условия существования малых корней уравнения (11.64), опре­ деляемых по формуле (11.78). Покажем, что условия (11.76) не только достаточные, но и необходимые условия существования ука­

занных корней. Для этого просуммируем ряды Фі (Хп), входя­ щие в (11.64). Будем предполагать, что к расчету обшивки приме­ нима техническая теория оболочек, а ширина ребер настолько мала,

и ее четные производные по Ѳвплоть до шестой (S2, S4, S6). Разлагая на простые множители знаменатель общего члена ряда S0 и исполь­

53

ряд по яХд и ограничиваемся в полученных рядах первым отличным от нуля слагаемым. Оценивая оставшиеся слагаемые, нетрудно убе­ диться, что они будут малыми лишь в случае, если выполняются неравенства (11.76). Подстановка указанных выше первых нерав­

ных нулю слагаемых в (11.64) вместо суммы по I (Ф? (Хп)— Х0)

позволяет из (11.64) получить уравнение (11.77), а следовательно, и формулы (11.78).

Поскольку (11.76) — необходимые условия замены указанных сумм по I их приближенными значениями, соответствующими зна­ чениям, входящим в (II.77), следует считать, что (II.76) необходи­ мые и достаточные условия для вычисления малых корней

характеристического уравнения (11.64) из приближенного уравне­ ния 1 (II.77).

Погрешность, с которой минимальная вещественная часть корней уравнения (11.64) определяется по формуле (II.78), может быть оценена также следующим образом: трансцендентное уравнение (IL64) заменяется полиномом высокой степени и системой уравне­ ний восьмой степени. Затем определяются все корни указанного полинома высокой степени и корни уравнений восьмой степени; из найденных корней выбирается корень, имеющий минимальную вещественную часть, которая и сравнивается с Re Хшіп, подсчитан­ ным по формуле (11.78). Результаты сравнения представлены на рис. 3. В рассмотренном случае трансцендентное уравнение заме­ нялось полиномом 20-й степени. На рис. 3 приняты такие обозна­

обозначены кривые, полученные в результате вычислений по фор­ муле (П.77), штриховыми — кривые, полученные в результате вы­ числения корней полинома 20-й степени. Вычисления вы-

1 Из приведенных рассуждений следует также, что (11.76) — необходимые (ЦД79)ТаТОЧНЫе УСЛ0ВИЯ ДЛЯ 0ПРеДеления малых корней уравнения (11.65) из

54

вплоть до весьма малых значений с (с = 0,5) приближенная формула дает хорошее качественное и удовлетворительное количественное совпадение с более точным решением.

X'

Рис. 3.

Возвращаясь к уравнению (11.65) и упрощая его при предполо­ жениях (11.76), получаем для определения минимальных корней этого уравнения такое уравнение четвертой степени

1 К такому же виду приводится одно из уравнений, которое можно полу­ чить из (11.49) при щ = 1. Все полученное ниже относится и к этому случаю.

Минимальные корни характеристического уравнения (11.49) определяются в соответствии с предположениями, использованными при выводе уравнения (11.75); при этом предполагается выполнение одного из следующих сильных неравенств:

не применим анализ, выполненный для случая, когда л, = 0. От­

сюда, в свою очередь, следует, что малые корни уравнения (11.75)

можно определить из приближенного уравнения (11.82), если име­ ют место неравенства (11.76).

1 Рассматриваются оболочки, для которых ц0< 1 . Для реальных оболочек Хі,2 и %з,4 могут оказаться порядка k\ отсюда следует, что при больших k влия-

ние самоуравновешенных циклически антисимметричных нагрузок на напря­ женное состояние оболочки может оказаться несущественным.

При выводе уравнений системы (11.82) принято, что а2< 1 , бс< 1 , т]с<1.

56

Нетрудно заметить, что при Ь2п, = 1 уравнение (П.82) отлича­ ется от характеристического уравнения для конструктивно орто-

тропной оболочки [73] только наличием слагаемого — в коэф­

фициенте при XminУравнение для определения минимальных не­ нулевых корней в циклически симметричном состоянии (11.77) можно получить из (11.82), если принять п, = 0.

Уравнение, аналогичное (11.77), получается из (11.82) и при % = 1. В этом случае из (11.82) находим, что ненулевые минималь­ ные корни соответствующего уравнения системы (11.75) опреде­ ляются из уравнения четвертой степени

соотношения. После указанного упрощения получаем уравнение, совпадающее с (II.77). Минимальная вещественная часть корней характеристического уравнения в этом случае определяется форму­ лой (П.78).

При /гх > 1 минимальные корни уравнения (II.72), а следова­ тельно, и уравнения (11.75) могут быть получены в результате ана­

одно из них совпадает с (II.77) (при Ь2Пі— 1), другое записывается в таком виде;

«X (дЗ-1)2

(11.84)

1 + Ѵс< - ѵ 2 ’

Теперь, поскольку известны минимальные ненулевые веществен­ ные части корней для всех возможных типов характеристических уравнений (11.64), (II.65), (II.75), можно определить протяженность зоны возмущений напряженно-деформированного состояния. В ка­ честве характеристики, определяющей протяженность зоны краевых возмущений, удобно выбрать расстояние от края оболочки, при удалении на которое усилия, моменты и перемещения уменьшаются в заданное число раз. Приняв, что влияние возмущений будет не­

57

существенным на таком расстоянии от края оболочки, на котором характеристики состояния уменьшились в е2 раз, получим для опре­ деления протяженности зоны возмущений следующую формулу:

где %*— вещественная часть минимального корня, соответствую­ щего заданной нагрузке характеристического уравнения.

§ 3. Определение напряженно-деформированного состояния

Предлагаемый метод определения напряженно-деформированного состояния ребристых оболочек построен в предположении, что изменяемость быстропеременных (в окружном направлении) состоя­ ний (при заданной относительной толщине обшивки и расстоянии между ребрами) не зависит от жесткости ребер. В этом случае ка­ ждое уравнение системы характеристических уравнений предла­ гается заменить бесконечной системой алгебраических уравнений, одно из которых (іѴ-степени) определяет малые корни характеристи­ ческого уравнения, а остальные (восьмой степени) — его большие корни. Подробное изложение метода выполним на примере оболоч­ ки, подверженной действию циклически симметричных самоуравновешенных краевых нагрузок. Общее решение однородной системы уравнений равновесия представим в таком виде х:

и = ^ C le ^ V A ^ .sC o slk Q ,

1 Здесь и ниже допускается, что к обшивке применима техническая теория оболочек.

58.

59